UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Christoph Barbian, Dominik Faas �

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie II

Wintersemester 2004/05

Blatt 4 Abgabetermin: Montag, 22.11.2004

Ein Reinhardtbereich G ⊂ ℂ^{n} heißt einfach, falls G zusammenhängend ist und 0 enthält.

Aufgabe 15 (1+2+2=5 Punkte)

(a) Zeigen Sie, dass jeder vollständige Reinhardtbereich G ⊂ ℂ^{n} einfach ist.

(b) Sei G ⊂ ℂ^{n} ein einfacher Reinhardtbereich. Betrachte

Ĝ := ⋃_{z∈G∩(ℂ^{∗})^{n}} P_{τ(z)} .

Zeigen Sie, dass Ĝ der kleinste vollständige Reinhardtbereich ist, der G enthält. (Man nennt Ĝ folglich auch die vollständige Hülle von G.)

(c) Gilt die Umkehrung von (a)

• im Fall n = 1 ?

• im Fall n ≥ 2 ?

Seien U, V ⊂ C^{n} offen. Man nennt eine stetige Abbildung f : U → V eigentlich, falls für alle kompakten Mengen K ⊂ V auch das Urbild f^{−1}(K) ⊂ U kompakt ist.

Aufgabe 16 (1+2+2=5 Punkte)

Seien U, V ⊂ ℂ^{n} offen und f : U → V stetig.

(a) Zeigen Sie: f biholomorph ⇒ f eigentlich.

Finden Sie eine eigentliche, holomorphe Funktion, die nicht biholomorph ist.

(b) Seien U, V außerdem beschränkt. Zeigen Sie, dass f genau dann eigentlich ist, wenn für jede Folge (z_{k})_{k∈ℕ} in U mit dist(z_{k}, ∂U) →^{k} 0 folgt, dass dist(f(z_{k}), ∂V) →^{k} 0. Dabei bezeichne dist wie gewohnt die Abstandsfunktion, also

dist(z, A) = inf_{y∈A} ∥z − y∥ (∅ ≠ A ⊂ ℂ^{n}, z ∈ ℂ^{n}) .

(c) Man betrachte den Einheitspolyzylinder und die Einheitskugel P_{1}(0), B_{1}(0) ⊂ ℂ^{2}. Zeigen Sie, dass es keine eigentliche, holomorphe Funktion f : P_{1}(0) → B_{1}(0) gibt. (Hinweis: Man kann sich am Beweis des biholomorphen Falls (siehe Vorlesung 2.14) orientieren.)

Aufgabe 17 (2+2=4 Punkte)

(a) Sei ∅ ≠ M ⊂ ℂ^{n} eine beliebige nichtleere Teilmenge. Zeigen Sie, dass M genau dann eine komplexe Untermannigfaltigkeit der Dimension p = 0 ist, wenn M diskret ist.

(b) Zeigen Sie, dass die Menge M = {(z, w) ∈ ℂ^{2}; z^{2} = w^{3}} ⊂ ℂ^{2} die Nullstellenmenge einer holomorphen Funktion, aber keine komplexe Untermannigfaltigkeit ist.

Aufgabe 18 (3 Punkte)

Sei n ≥ 2, U ⊂ ℂ^{n} offen und f ∈ O(U). Zeigen Sie, dass die Nullstellenmenge Z(f) = {z ∈ U; f(z) = 0} von f keine isolierten Punkte enthält.

Aufgabe 19^{∗} (3^{∗} Punkte)

Seien U ⊂ ℂ^{n}, V ⊂ ℂ^{m} offene Mengen und f : U → V biholomorph. Zeigen Sie, dass n = m gelten muss.