UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Christoph Barbian, Dominik Faas �

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie II

Wintersemester 2004/05

Blatt 5 Abgabetermin: Montag, 29.11.2004

Eine komplexe Mannigfaltigkeit der Dimension p ist ein topologischer Hausdorffraum M zusammen mit einem System von Homöomorphismen (auch Karten genannt)

φ_{i} : U_{i} → V_{i} (i ∈ I),

zwischen offenen Mengen U_{i} ⊂ M und V_{i} ⊂ ℂ^{p}, so daß

• M = ⋃_{i∈I} U_{i} gilt.

• Wann immer U_{i} ∩ U_{j} ≠ ∅ ist, ist

φ_{j} ∘ φ_{i}^{−1} : φ_{i}(U_{i} ∩ U_{j}) → φ_{j}(U_{i} ∩ U_{j})

eine biholomorphe Abbildung zwischen offenen Mengen in ℂ^{p}.

Aufgabe 20 (4 Punkte) Sei M ⊂ ℂ^{n} eine Untermannigfaltigkeit im Sinne der Vorlesung. Man zeige, daß M versehen mit der Relativtopologie des ℂ^{n} zusammen mit einem geeigneten System von Karten eine komplexe Mannigfaltigkeit ist.

Für eine offene Menge D ⊂ ℂ^{n} nennt man A ⊂ D analytisch in D, falls A abgeschlossen in D ist und zu jedem a ∈ A eine offene Umgebung U von a und eine holomorphe Abbildung h ∈ O(U, ℂ^{m}) existieren, so dass A ∩ U = Z(h).

Aufgabe 21 (2+1+1=4 Punkte) Sei D ⊂ ℂ^{n}, D_{1} ⊂ ℂ^{n_{1}}, D_{2} ⊂ ℂ^{n_{2}} offen Mengen. Zeigen Sie:

(a) Endliche Vereiningungen und endliche Durchschnitte analytischer Mengen in D sind wieder analytisch in D.

(b) Sind A_{1} ⊂ D_{1}, A_{2} ⊂ D_{2} analytisch, so ist A_{1} × A_{2} ⊂ D_{1} × D_{2} analytisch.

(c) Ist f : D_{1} → D_{2} holomorph und A ⊂ D_{2} analytisch, so ist f^{−1}(A) ⊂ D_{1} analytisch.

Aufgabe 22 (2+2=4 Punkte) Sei M ⊂ C^{n} eine komplexe Untermannigfaltigkeit. Zeigen Sie:

(a) Es gibt eine offene Menge D ⊂ ℂ^{n}, so dass M ⊂ D abgeschlossen in D ist.

(b) Ist D ⊂ ℂ^{n} offen, so dass M ⊂ D abgeschlossen in D ist, so ist M analytisch in D.

Aufgabe 23 (1+3=4 Punkte) Sei ε > 0 und 0 ≠ f ∈ O(B_{ε}(0)).

(a) Zeigen Sie, dass f eine eindeutige punktweise konvergente Reihenentwicklung der Form

f(z) = ∑_{k=0}^{∞} p_{k}(z) (z ∈ B_{ε}(0))

mit homogenen Polynomen p_{k} ∈ ℂ[z_{1}, …, z_{n}] vom Grad k besitzt. Diese darstellende Reihe konvergiert automatisch kompakt gleichmäßig auf B_{ε}(0).

(b) Seien p_{k} (k ∈ ℕ) wie im Teil (a). Sei m die kleinste natürliche Zahl mit p_{m} ≠ 0. Zeigen Sie, dass eine unitäre Matrix A ∈ M_{n}(ℂ) existiert, so dass die Funktion

B_{ε}(0) → ℂ ; z ↦ f(Az)

z_{n}-regulär in 0 von der Ordnung m ist.

Aufgabe 24^{∗} (2^{∗}+2^{∗}=4^{∗} Punkte) Ist Ω ein Reinhardtbereich, f ∈ O(Ω) und r ∈ τ(Ω ∩ (ℂ^{∗})^{n}), so sei

f_{r}(z) = ∫_{∂_{0}P_{r}(0)} \frac{f(ξ)}{(ξ_{1} − z_{1}) · . . . · (ξ_{n} − z_{n})}dξ_{1} … dξ_{n} (z ∈ P_{r}(0)).

(a) Seien s = (s_{1}, …, s_{n}), t = (t_{1}, …, t_{n}) ∈ (0, ∞)^{n} mit s_{j} < t_{j} für j = 1, …, n. Wir betrachten den Reinhardtbereich

Ω := {z ∈ ℂ^{n}; s_{j} < |z_{j}| < t_{j} für j = 1, …, n} .

Zeigen Sie, dass die Funktion f_{r}|_{P_{s}(0)} : P_{s}(0) → ℂ unabhängig von r ∈ τ(Ω) ist. (Hinweis: Man kann die Cauchy-Integralformel im eindimensionalen Fall benutzen.)

(b) Sei Ω ein einfacher Reinhardtbereich und f ∈ O(Ω). Zeigen Sie, dass die Funktionen f_{r} für alle r ∈ τ(Ω∩(ℂ^{∗})^{n}) auf einer geeigneten Nullumgebung mit f übereinstimmen. (Hinweis: Betrachen Sie die Menge

{r ∈ τ(Ω ∩ (ℂ^{∗})^{n}); f_{r} stimmt mit f auf einer Nullumgebung überein } .)