UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Christoph Barbian, Dominik Faas �

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie II

Wintersemester 2004/05

Blatt 6 Abgabetermin: Montag, 6.12.2004

Aufgabe 25 (2+2=4 Punkte) Sei D ⊂ ℂ^{n} offen und A ⊂ D beliebig. Zeigen Sie:

(a) A ist genau dann analytisch in D, wenn für alle p ∈ D eine offene Umgebung U ⊂ D von p und eine holomorphe Funktion h ∈ O(U, ℂ^{m}) mit A ∩ U = Z(h) existieren.

(b) Ist n = 1, so gilt:

A dünn in D ⇔ A diskret in D .

Sei D ⊂ ℂ^{n} offen und A ⊂ D analytisch. Ein Punkt a ∈ A heißt regulär (von der Dimension p) in A (0 ≤ p ≤ n), falls es eine offene Umgebung U ⊂ D von a und eine holomorphe Funktion h ∈ O(U, ℂ^{n−p}) mit rangJ_{h}(a) = n − p und A ∩ U = Z(h) gibt. (Für p = n heißt das: a ∈ Int(a).) Man nennt a ∈ A singulär in A, falls a nicht regulär in A ist.

Aufgabe 26 (1+2+2=5 Punkte) Sei D ⊂ ℂ^{n} offen und A ⊂ D analytisch.

(a) Zeigen Sie, dass die Menge

Reg(A) = {a ∈ A; a regulär in A}

offen in A ist.

(b) Sei a ∈ A regulär von der Dimension p ∈ {0, …, n} in A. Zeigen Sie, dass es paarweise verschiedene i_{1}, …, i_{p} ∈ {1, …, n} und offene Umgebungen V ⊂ D von a und W ⊂ ℂ^{p} von 0 gibt, so dass die Abbildung

P_{i_{1},...,i_{p}} : A ∩ V → W ; (z_{1}, …, z_{n}) ↦ (z_{i_{1}} − a_{i_{1}}, …, z_{i_{p}} − a_{i_{p}})

bijektiv ist.

(Hinweis: Schauen Sie nochmals in den Beweis von Satz 3.2.)

(c) Sei

A = {z = (z_{1}, z_{2}, z_{3}) ∈ ℂ^{3}; z_{1}^{2} = z_{2}z_{3}} ⊂ ℂ^{3} .

Zeigen Sie:

• A ist analytisch in ℂ^{3}.

• Jeder Punkt 0 ≠ a ∈ A ist regulär von der Dimension 2 in A.

• 0 ist singulär in A.

Aufgabe 27 (4 Punkte) Sei U ⊂ ℂ^{n} eine offene Nullumgebung und f ∈ O(U) z_{n}-regulär im Punkt 0 ∈ Z(f). Zeigen Sie: Es gibt ein r > 0, so dass jede auf einer Nullumgebung W ⊂ ℂ^{n−1} definierte Funktion φ : W → ℂ mit |φ(z′)| < r und f(z′, φ(z′)) = 0 für alle z′ ∈ W stetig in 0′ ∈ W ist. (Hinweis: Weierstraß’scher Vorbereitungssatz=4.5)

Aufgabe 28 (1+2+2=5 Punkte) Wir betrachten die Mengen

G_{1} = \{(z_{1}, z_{2}) ∈ ℂ^{2}; |z_{1}| < \frac{1}{2}, |z_{2}| < 1\} und G_{2} = \{(z_{1}, z_{2}) ∈ ℂ^{2}; |z_{1}| < 1, \frac{1}{2} < |z_{2}| < 1\}

und setzen G = G_{1} ∪ G_{2}.

(a) Zeigen Sie, dass G ein einfaches Reinhardtgebiet ist (Wer will, kann dazu auch nur klar schreiben.) und berechen Sie die vollständige Hülle Ĝ von G.

(b) Zeigen Sie, dass die Menge

A = {(z_{1}, z_{2}) ∈ G_{2}; z_{1} = z_{2}}

analytisch in G ist.

(c) Benutzen Sie das Ergebnis von Aufgabe 29, um zu zeigen, dass es keine holomorphe Funktion f ∈ O(G) auf ganz G gibt, so dass Z(f) = A gilt.

Aufgabe 29^{∗} (2^{∗}+2^{∗}=4^{∗} Punkte) Sei Ω ⊂ ℂ^{n} ein einfacher Reinhardtbereich und f ∈ O(Ω). Zeigen Sie:

(a) Die Funktion f hat eine auf ganz Ω konvergente Potenzreihenentwicklung. (Hinweis: Aufgabe 24)

(b) Es gibt genau eine holomorphe Forsetzung f̂ ∈ O(Ĝ) von f auf die vollständige Hülle Ĝ von G.