UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Christoph Barbian, Dominik Faas �

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie II

Wintersemester 2004/05

Blatt 7 Abgabetermin: Montag, 13.12.2004

Aufgabe 30 (2+2=4 Punkte) Sei Ω ⊊ ℂ^{n} offen und a ∈ Ω. Es sei

r_{a} := dist(a, ℂ^{n} \ Ω) = inf{∥a − w∥; w ∈ ℂ^{n} \ Ω} .

Zeigen Sie:

(a) r_{a} = max{r > 0; B_{r}(a) ⊂ Ω}.

(b) Ist K ⊂ Ω kompakt, so ist B_{r_{a}}(a) ∩ K^{c} ≠ ∅.

Aufgabe 31 (2+2=4 Punkte) Sei Ω ⊂ ℂ^{n} offen und K ⊂ Ω kompakt. Zeigen Sie:

(a) K̂_{Ω} ist beschränkt und abgeschlossen in Ω.

(b) K̂_{Ω} ist kompakt ⇔ \overline{K̂_{Ω}}^{ℂ^{n}} ⊂ Ω ⇔ dist(K̂_{Ω}, ℂ^{n} \ Ω) > 0.

Aufgabe 32 (4 Punkte) Sei Ω ⊊ ℂ^{n} offen. Zeigen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen:

(i) Ω ist Existenzbereich einer holomorphen Funktion.

(ii) Es gibt eine holomorphe Funktion f ∈ O(Ω), so dass für jedes a ∈ Ω die Funktion f|_{B_{ra}(a)} auf keine offene Umgebung von \overline{B_{r_{a}}(a)} fortgesetzt werden kann (r_{a} wie in Aufgabe 30).

(iii) Es gibt eine holomorphe Funktion f ∈ O(Ω), so dass für alle w ∈ ∂Ω und alle r > 0 keine holomorphe Funktion F ∈ O(B_{r}(w)) existiert, die mit f auf einer Zusammenhangskomponente von B_{r}(w) ∩ Ω übereinstimmt.

(Hinweis: Zeigen Sie (i) ⇒ (iii) ⇒ (ii) ⇒ (i) und beachten Sie den Beweis von Satz 5.3 aus der Vorlesung.)

Man nennt ein Gebiet G ⊂ ℂ^{n} lokal zusammenhängend, falls für jeden Randpunkt z ∈ ∂G und jede offene Umgebung V ⊂ C^{n} von z eine kleinere offene Umgebung U ⊂ V von z existiert, so dass U ∩ G zusammenhängend ist.

Aufgabe 33 (1+3=4 Punkte)

(a) Finden Sie ein Gebiet G ⊂ ℂ, das nicht lokal zusammenhängend ist.

(b) Sei G ⊂ ℂ^{n} ein lokal zusammenhängendes Gebiet und sei f ∈ O(G). Zeigen Sie, dass G genau dann Existenzgebiet von f ist, wenn f sich auf kein Gebiet G_{1} ⊋ G holomorph fortsetzen lässt.

Aufgabe 34^{∗} ( 4^{∗} Punkte) Seien D ⊂ ℂ^{n} offen und A_{1}, A_{2} analytisch in D. Weiter sei p ∈ A_{1} ∩ A_{2}, so dass für alle offenen Umgebungen U ⊂ D von p gilt, dass U ∩ A_{1} ⊄ A_{2} und U ∩ A_{2} ⊄ A_{1}. Zeigen Sie, dass p singulär in A_{1} ∪ A_{2} ist. (Hinweis: Aufgabe 26 (b))