UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Christoph Barbian, Dominik Faas �

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie II

Wintersemester 2004/05

Blatt 8 Abgabetermin: Montag, 20.12.2004

Eine stetige Abbildung f : Ω_{1} → Ω_{2} zwischen offenen Mengen Ω_{i} ⊂ ℂ^{n_{i}} (i = 1, 2) heißt eigentlich, falls f^{−1}(K) ⊂ Ω_{1} kompakt ist für jede kompakte Menge K ⊂ Ω_{2}.

Aufgabe 35 (2+2=4 Punkte) Seien Ω_{1} ⊂ ℂ^{n_{1}}, Ω_{2} ⊂ ℂ^{n_{2}} holomorph-konvexe, offene Mengen. Zeigen Sie:

(a) Ω_{1} × Ω_{2} ⊂ ℂ^{n_{1}+n_{2}} ist holomorph-konvex.

(b) Existiert eine eigentliche, holomorphe Abbildung f : Ω_{1} → Ω_{2} und ist Ω_{2} holomorphkonvex, so ist auch Ω_{1} holomorph-konvex.

Aufgabe 36 (4 Punkte) Seien U ⊂ ℂ^{n}, V_{1}, …, V_{r} ⊂ ℂ offene Mengen und f_{1}, …, f_{r} ∈ O(U), so dass

Ω := {z ∈ U; f_{i}(z) ∈ V_{i} für i = 1, …, r} ≠ ∅ .

Zeigen Sie: Ist Ω̄ ⊂ U, so ist Ω ein Holomorphiebereich.

Aufgabe 37 (4 Punkte) Seien Ω_{1} ⊂ Ω_{2} ⊂ ℂ^{n} offene Mengen, so dass für jede Funktion f ∈ O(Ω_{1}) eine Folge (f_{k})_{k} holomorpher Funktionen f_{k} ∈ O(Ω_{2}) existiert, die kompakt gleichmäßig auf Ω_{1} gegen f konvergiert. Zeigen Sie: Für jede kompakte Menge K ⊂ Ω_{1} gilt K̂_{Ω_{2}} ∩ Ω_{1} = K̂_{Ω_{1}}.

Sei n ≥ 2 und P := P_{1}(0) ⊂ ℂ^{n} der Einheitspolyzylinder. Sei r ∈ (0, 1)^{n} und

H = H_{r} = {z ∈ P; |z_{1}| > r_{1} oder |z_{j}| < r_{j} ∀j = 2, …, n} .

Dann heißt das Paar (P, H) euklidische Hartogsfigur im ℂ^{n}. Ist (P, H) eine euklidische Hartogsfigur und g : P → ℂ^{n} eine injektive holomorphe Abbildung, so heißt das Paar (g(P), g(H)) (allgemeine) Hartogsfigur im ℂ^{n}.

Aufgabe 38 (1+2+2=5 Punkte) Sei n ≥ 2 und P := P_{1}(0) ⊂ ℂ^{n}. Zeigen Sie:

(a) Ist (P, H) eine euklidische Hartogsfigur im ℂ^{n}, so ist H ein einfacher Reinhardtbereich mit vollständiger Hülle Ĥ = P.

(b) Ist (P̃, H̃) eine Hartogsfigur im ℂ^{n} und f ∈ O(H̃). Dann hat f eine eindeutige holomorphe Fortsetzung auf P̃.

(c) (Kontinuitätssatz) Ist G ⊂ ℂ^{n} ein Gebiet und (P̃, H̃) eine Hartogsfigur mit H̃ ⊂ G, so dass P̃ ∩ G zusammenhängend ist und f ∈ O(G), so hat f eine eindeutige holomorphe Fortsetzung auf G ∪ P̃.

Aufgabe 39^{∗} ( 5^{∗} Punkte) Sei n ≥ 2 und sei r ∈ (0, 1)^{n}. Zeigen Sie, dass G := P_{1}(0) \ P̄_{r}(0) ein Gebiet ist und dass man jede Funktion f ∈ O(G) eindeutig zu einer holomorphen Funktion auf P_{1}(0) fortsetzen kann. (Hinweis: Kontinuitätssatz=Aufgabe 38(c))