UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Christoph Barbian, Dominik Faas �

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie II

Wintersemester 2004/05

Blatt 9 Abgabetermin: Montag, 10.01.2005

Aufgabe 40 (4 Punkte) Zeigen Sie, dass eine offene Menge Ω ⊂ ℂ^{N} genau dann ein Holomorphiebereich ist, wenn alle Zusammenhangskomponenten von Ω Holomorphiebereiche sind.

Aufgabe 41 (4 Punkte) Sei K ⊂ ℂ kompakt. Zeigen Sie, dass für die polynom-konvexe Hülle von K

K̃ := {z ∈ ℂ; |p(z)| ≤ ∥p∥_{∞,K} für alle p ∈ ℂ[z] }

gilt, dass ℂ \ K̃ genau die unbeschränkte Zusammenhangskomponente von ℂ \ K ist.

Aufgabe 42 (4 Punkte) Sei D = {z ∈ ℂ^{n}; 1 < ∥z∥ < 3} ⊂ ℂ^{n} und K = {z ∈ D; ∥z∥ = 2} ⊂ D. Was ist die holomorph-konvexe Hülle K̂_{D} von K in D?

Aufgabe 43^{∗} ( 10^{∗} Punkte) Zeigen Sie die Punkte (1) bis (9) über Differentialformen aus der Vorlesung (§6).

Frohe Weihnachten und ein gutes neues Jahr!