Hilfsmittel aus der Analysis II

1. Sei (E, ∥ · ∥) ein normierter Raum, d.h. ein Vektorraum über ℝ (oder ℂ) zusammen mit einer Abbildung (Norm): ∥ · ∥ : E → ℝ, für die gilt

(i) ∥x∥ ≥ 0 (ii) ∥x∥ = 0 ⇔ x = 0 (iii) ∥αx∥ = |α|∥x∥ (α ∈ ℝ) (iv) ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥.

2. (E, ∥ · ∥) heißt vollständig, falls jede Cauchy-Folge in E konvergiert. Für a ∈ E, r > 0 seien

B_{r}(a) = \{x ∈ E; ∥x − a∥ < r\}, \overline{B}_{r}(a) = \{x ∈ E; ∥x − a∥ ≤ r\}.

Seien U, A, K ⊂ E. Man nennt • U offen, falls ∀ a ∈ U ∃ r > 0 mit B_{r}(a) ⊂ U

• A abgeschlossen, falls A^{c} = E \ A ⊂ E offen ist

• K kompakt, falls ∀ (U_{i})_{i∈I} Familie offener Mengen in E mit K ∈ ⋃_{i∈I} U_{i} endlich viele i_{1}, …, i_{r} ∈ I existieren auf K ⊂ U_{i_{1}} ∪ … ∪ U_{i_{r}}

• U Umgebung von a ∈ E, falls V ⊂ E offen existiert mit a ⊂ V ⊂ U.

3. Auf dem ℝ^{n} benutzen wir die euklidische Norm ∥(x_{i})_{i=1}^{n}∥ = ( ∑_{i=1}^{n} |x_{i}|^{2})^{1/2}. Auf dem Raum der (m × n)-Matrizen M(m × n, ℝ) wird durch

∥A∥ = sup{∥Ax∥; x ∈ ℝ^{n} mit ∥x∥ ≤ 1} (A ∈ M(m × n, ℝ))

eine Norm definiert, für die gilt

• max_{i,j} |a_{ij}| ≤ ∥(a_{ij})∥ ≤ \sqrt{mn} max_{i,j} |a_{ij}|

• ∥Ax∥ ≤ ∥A∥ ∥x∥ für A ∈ M(m × n, ℝ) und x ∈ ℝ^{n}. Insbesondere ist

• Konvergenz in M(m × n, ℝ) = koeffizientenweise Konvergenz

• f = (f_{ij}) : D → M(m × n, ℝ) stetig ⇔ f_{ij} stetig ∀ i, j.

4. Für eine stetige Funktion f = (f_{ij}) : [a, b] → M(m × n, ℝ) sei

∫_{a}^{b} f(t)dt = ( ∫_{a}^{b} f_{ij}(t)dt)_{i,j} ∈ M(m × n, ℝ).

Wir benötigen:

5. K ⊂ ℝ^{n} ist kompakt ⟺ (Heine-Borel) K ⊂ ℝ^{n} ist abgeschlossen und beschränkt ⟺ Jede Folge (x_{k}) in K hat eine konvergente Teilfolge mit Limes in K. Ist K ⊂ ℝ^{n} kompakt und f : K → ℝ^{m} stetig, so ist f gleichmäßig stetig und f(K) ⊂ ℝ^{n} ist kompakt.

6. Für eine offene Menge U ⊂ ℝ^{n} und k ∈ ℕ ∪ {∞} sei

C^{k}(U, ℝ^{m}) = {f : U → ℝ^{m}; f ist k-mal stetig partiell differenzierbar}.

Seien U ⊂ ℝ^{n} offen und f ∈ C^{1}(U, ℝ^{m}). Für x ∈ U, ξ ∈ ℝ^{n} mit x+tξ ∈ U ∀t ∈ [0, 1] gilt (Mittelwertsatz)

f(x + ξ) − f(x) = ( ∫_{0}^{1} J_{f}(x + tξ)) · ξ (Matrix mal Spaltenvektor)

und (Mittelwertabschätzung)

∥f(x + ξ) − f(x)∥ ≤ ( sup_{t∈[0,1]} ∥J_{f}(x + tξ)∥)∥ξ∥.

7. Banachscher Fixpunktsatz:

Seien (X, ∥ · ∥) ein vollständiger normierter Raum, A ⊂ X abgeschlossen, ρ ∈ (0, 1). Ist T : A → A eine ρ-Kontraktion, d.h. eine Abbildung mit

∥T x − T y∥ ≤ ρ∥x − y∥ ∀x, y ∈ A.

So existiert genau ein a ∈ A mit T a = a.