\underline{Hilfsmittel aus der Analysis II} (Fortsetzung)

Sei (X, d) ein metrischer Raum, d.h. eine Menge X zusammen mit einer Abbildung (Metrik) d : X × X → ℝ so, dass ∀x, y, z ∈ X gilt:

(i) d(x, y) ≥ 0 und d(x, y) = 0 ⇔ x = y;

(ii) d(x, y) = d(y, x);

(iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).

Beispiel: (X, ∥ · ∥) normierter Raum ⇒ d : X × X → ℝ, d(x, y) = ∥x − y∥ Metrik auf X.

8. Eine Folge (x_{k})_{k∈ℕ} in X heißt Cauchy (bzw. konvergent gegen x ∈ X), falls

∀ε > 0 ∃ k_{0} ∈ ℕ mit d(x_{k}, x_{ℓ}) < ε ∀k, ℓ ≥ k_{0} (bzw. d(x_{k}, x) < ε ∀k ≥ k_{0}).

(X, d) heißt vollständig, falls jede Cauchy-Folge konvergiert.

9. Die offene bzw. abgeschlossene Kugel um a ∈ X mit Radius r > 0 sei definiert durch

B_{r}(a) = \{x ∈ X; d(x, a) < r\}, \overline{B}_{r}(a) = \{x ∈ X; d(x, a) ≤ r\}.

Genau wie für normierte Räume (siehe (2)) definiert man die Begriffe ”offene, abgeschlossene, kompakte Teilmenge von X” bzw. ”Umgebung eines Punktes a ∈ X”. Man zeigt, dass eine Menge A ⊂ X abgeschlossen ist genau dann, wenn sie zusammen mit jeder konvergenten Folge auch ihren Limes enthält.

10. Das System 𝔱 := {U ⊂ X; U offen } hat die Eigenschaften:

(i) ϕ, X ∈ 𝔱;

(ii) U, V ∈ 𝔱 ⇒ U ∩ V ∈ 𝔱;

(iii) U_{i} ∈ 𝔱 (i ∈ I, I beliebige Indexmenge) ⇒ ⋃_{i∈I} U_{i} ∈ 𝔱.

Einge Menge 𝔱 ⊂ P(X) mit diesen Eigenschaften heißt Topologie auf X.

11. Jede Teilmenge Y ⊂ X ((X, d) metrischer Raum) versehen wir mit der Relativmetrik d_{Y} : Y × Y → ℝ, d_{Y} (x, y) = d(x, y). Man zeigt sehr einfach, dass eine Menge V ⊂ Y genau dann offen in (Y, d_{Y}) ist, wenn eine offene Menge U ⊂ X existiert mit V = U ∩ Y. Ersetzt man hier ”offen” durch ”abgeschlossen”, bleibt alles richtig.

12. Seien (X, d_{1}), (Y, d_{2}) metrische Räume. Eine Abbildung f : X → Y heißt stetig in x ∈ X, falls ∀ε > 0 ∃ δ > 0 mit f(B_{δ}(x)) ⊂ B_{ε}(f(x)) oder äquivalent, falls lim_{k→∞} f(x_{k}) = f(x) für jede Folge (x_{k})_{k∈ℕ} in X mit lim_{k→∞} x_{k} = x gilt. Für f : X → Y sind äquivalent:

(i) f ist stetig (d.h. stetig in jedem x ∈ X); (ii) ∀ V ⊂ Y offen ist f^{−1} (V) ⊂ X offen; (iii) ∀ A ⊂ Y abgeschlossen ist f^{−1} (A) ⊂ X abgeschlossen. Einschränkungen und Kompositionen stetiger Abbildungen bleiben stetig.

13. Sei (X, d) ein metrischer Raum. Für ϕ ≠ A ⊂ X ist die Abbildung

X → ℝ, x ↦ d(x, A) := inf{d(x, a); a ∈ A}

stetig. Mit der Dreiecksungleichung kann man sogar zeigen, dass

|d(x, A) − d(y, A)| ≤ d(x, y) ∀x, y ∈ X.

14. Sei (X, d) ein metrischer Raum und sei M ⊂ X. Man nennt die Mengen \overline{M} := \{x ∈ X; U ∩ M ≠ ϕ ∀ Umgebungen U von x \}, M^{∘}:= Int(M) := {x ∈ X; ∃ Umgebung U von x mit U ⊂ M}, ∂M := {x ∈ X; ∀ Umgebungen U von x gilt U ∩ M ≠ ϕ ≠ U ∩ M^{c}}. den Abschluss, das Innere bzw. den Rand von M. Es ist einfach zu zeigen, dass \overline{M} die kleinste abgeschlossene Obermenge, M^{∘} die größte offene Teilmenge von M ist und dass ∂M = \overline{M}\ M^{∘} abgeschlossen ist. Die Menge \overline{M} besteht genau aus den Punkten x ∈ X, die Limes einer konvergenten Folge aus M sind.