UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Dominik Faas �

Übungen zur Vorlesung Analysis III

Wintersemester 2005/2006

Blatt 10 Abgabetermin: Montag, 16.1.2006

Aufgabe 46 (4 Punkte)

Sei (X, A, μ) ein Maßraum, E ein Banachraum und (f_{n})_{n∈ℕ} eine Folge von Funktionen aus L^{1}(μ, E) mit

∑_{n=0}^{∞} (∫_{X} ∥f_{n}∥dμ) < ∞.

Zeigen Sie: Es gibt eine Menge N ∈ A mit μ(N) = 0, so dass die Reihe ∑_{n=0}^{∞} f_{n}(x) für jedes x ∈ X \ N absolut konvergiert. Die Funktion

F : X → E, F (x) = \{ \begin{matrix}∑_{n=0}^{∞} f_{n}(x) & , & falls x ∈ X \ N \\ 0 & , & falls x ∈ N \end{matrix}

ist μ-integrabel und es gilt

∫_{X} F dμ = ∑_{n=0}^{∞} (∫_{X} f_{n}dμ) .

Aufgabe 47 (4 Punkte)

Seien a ∈ ℝ und b ∈ ℝ ∪ {∞} mit a < b, I = [a, b) ein halboffenes Intervall und f : I → ℝ eine stetige Funktion. Zeigen Sie:

f ∈ L^{1}(λ|_{I}, ℝ) ⇔ Das uneigentliche Riemann-Integral ∫_{a}^{b} |f(x)|dx existiert.

In diesem Fall existiert auch das uneigentliche Riemann-Integral von f über [a, b) und es gilt

∫_{I} fdλ = ∫_{a}^{b} f(x)dx.

Aufgabe 48 (1+2+2=5 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

f : [0, ∞) → ℝ, f(x) = \{ \begin{matrix}\frac{sin x}{x} & , & falls x ≠ 0 \\ 1 & , & falls x = 0 \end{matrix} .

Zeigen Sie:

(a) Die Funktion f ist stetig.

(b) Das uneigentliche Riemann-Integral ∫_{0}^{∞} f(x)dx existiert. (Hinweis: Integrieren Sie partiell und benutzen Sie das Cauchy-Kriterium für Folgen, um die Konvergenz von ∫_{0}^{t_{n}} f(x)dx für jede Folge (t_{n}) ⊂ ℝ mit t_{n} → ∞ zu zeigen.)

(c) Die Funktion f ist nicht Lebesgue-integrierbar.

Aufgabe 49 (3 Punkte)

Zeigen Sie, dass die Funktion

f : [0, 1) → ℝ, f(x) = \frac{arcsin x}{\sqrt{1 − x^{2}}}

Lebesgue-integrierbar ist und berechnen Sie

∫_{[0,1)} fdλ.

Aufgabe 50^{∗} (4^{∗} Punkte)

Sei μ : B(ℝ^{n}) → [0, ∞] ein positives Maß, so dass μ(Q) = λ(Q) für jeden offenen Quader Q ⊂ ℝ^{n} gilt. Zeigen Sie, dass μ = λ ist. (Hinweis: Benutzen Sie die Definition des Lebesgue-Maßes λ, um zunächst μ(A) ≤ λ(A) für jede Borelmenge A ∈ B(ℝ^{n}) zu zeigen.)

Diese Übungsblätter können Sie sich auch über unsere Homepage besorgen:

http://www.math.uni-sb.de/∼ag-eschmeier/lehre