UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Dominik Faas �

Übungen zur Vorlesung Analysis III

Wintersemester 2005/2006

Blatt 11 Abgabetermin: Montag, 23.1.2006

Aufgabe 51 (4 Punkte)

Wir betrachten die Funktion f : ℝ^{2} → ℝ mit

f(x, y) = \{ \begin{matrix}1 & , & falls x ≥ 0 und x ≤ y < x + 1 \\ −1 & , & falls x ≥ 0 und x + 1 ≤ y < x + 2 \\ 0 & , & sonst. \end{matrix}

Zeigen Sie: Die Funktionen f(x, ·) (x ∈ ℝ) und f(·, y) (y ∈ ℝ) liegen in L^{1}(ℝ), auch die Funktionen x ↦ ∫_{ℝ} f(x, y)dλ(y) und y ↦ ∫_{ℝ} f(x, y)dλ(x) liegen in L^{1}(ℝ) und es gilt

∫_{ℝ} (∫_{ℝ} f(x, y)dλ(y)) dλ(x) ≠ ∫_{ℝ} (∫_{ℝ} f(x, y)dλ(x)) dλ(y).

Wieso ist dies kein Widerspruch zum Satz von Fubini (Satz 10.5) ?

Aufgabe 52 (3+2=5 Punkte)

(a) Beweisen Sie das folgende Resultat, das schon Archimedes (287(?)-212 v.Chr.) gefunden hat: Das Volumen des Segments eines Paraboloids

S = \{(x, y, z) ∈ ℝ^{3}; x ∈ [0, h] und y^{2} + z^{2} ≤ \frac{r^{2}x}{h}\} (r, h > 0)

ist halb so groß wie das Volumen eines Zylinders mit dem Radius r und der Höhe h. Wie verhält sich das Volumen eines Kegels mit Grundflächenradius r und Höhe h zu dem Volumen des Zylinders?

(b) Seien r, R ∈ ℝ mit 0 < r < R und sei T ⊂ ℝ^{3} der Torus, der durch Rotation der

Kreisscheibe

{(x, y, z) ∈ ℝ^{3}; y = 0 und (x − R)^{2} + z^{2} ≤ r^{2}}

um die z-Achse entsteht. Berechnen Sie λ(T).

Aufgabe 53 (2+2=4 Punkte)

Seien μ, ν und λ die Lebesgue-Maße auf R^{k}, R^{n−k} und R^{n} und seien A ∈ B(R^{k}), B ∈ B(R^{n−k}) Borelmengen. Zeigen Sie:

(a) Haben A und B endliches Lebesgue-Maß, so ist λ(A × B) = μ(A) · ν(B). (Hinweis: Zeigen Sie zunaechst mit Hilfe geeigneter Quaderüberdeckungen von A und B, dass A × B eine Menge endlichen Lebesgue-Maßes ist.)

(b) Ist μ(A) = 0, so ist auch λ(A × B) = 0.

Sei im Folgenden τ_{n} das Volumen der n-dimensionalen Einheitskugel K_{n} = {x ∈ ℝ^{n}; ∥x∥ ≤ 1}.

Aufgabe 54 (1+2+2=5 Punkte)

Seien r, R ∈ ℝ mit 0 ≤ r < R, sei f : [r, R] → ℂ eine stetige Funktion und sei K = {x ∈ ℝ^{n}; r ≤ ∥x∥ ≤ R}. Für festes N ∈ ℕ^{∗} bezeichne T = T (N) = (t_{k})_{k=0}^{N} die durch

t_{k} = r + \frac{k}{N} (R − r) (k = 0, …, N)

definierte Teilung des Intervalls [r, R]. Zeigen Sie nacheinander:

(a) Für jedes k = 1, …, N gibt es einen Punkt ξ_{k} ∈]t_{k−1}, t_{k}[ mit

t_{k}^{n} − t_{k−1}^{n} = nξ_{k}^{n−1}(t_{k} − t_{k−1}).

(b) Sei A_{k} = {x ∈ ℝ^{n}; t_{k−1} < ∥x∥ ≤ t_{k}} (k = 1, …, N) und f_{N} = ∑_{k=1}^{N} f(ξ_{k})χ_{A_{k}}. Es gilt:

lim_{N→∞} ∫_{ℝ^{n}} f_{N}dλ = nτ_{n} ∫_{r}^{R} f(t)t^{n−1}dt.

(c) Es ist

∫_{K} f(∥x∥)dλ = nτ_{n} ∫_{r}^{R} f(t)t^{n−1}dt.

Aufgabe 55^{∗} (3^{∗} Punkte)

Es sei K ⊂ ℝ^{3} der Durchschnitt der beiden (unendlich langen) Zylinder

Z_{1} = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3}; x^{2} + z^{2} ≤ 1} und Z_{2} = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3}; y^{2} + z^{2} ≤ 1}.

Berechnen Sie λ(K).

Diese Übungsblätter können Sie sich auch über unsere Homepage besorgen:

http://www.math.uni-sb.de/∼ag-eschmeier/lehre