UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Dominik Faas �

Übungen zur Vorlesung Analysis III

Wintersemester 2005/2006

Blatt 12 Abgabetermin: Montag, 30.1.2006

Aufgabe 56 (2+2=4 Punkte)

(a) Für v_{1}, …, v_{n} ∈ ℝ^{n} sei

P (v_{1}, …, v_{n}) = {∑_{i=1}^{n} t_{i}v_{i}; 0 ≤ t_{i} ≤ 1 für i = 1, …, n}

das von v_{1}, …, v_{n} aufgespannte Parallelotop. Zeigen Sie:

λ (P (v_{1}, …, v_{n})) = | det(v_{1}, …, v_{n})|.

Hierbei sei (v_{1}, …, v_{n}) ∈ M(n × n, ℝ) die Matrix mit den Spalten v_{1}, …, v_{n}.

(b) Zeigen Sie für alle a = (a_{1}, … a_{n}) ∈ ℝ^{n} \ {0} und alle b ∈ ℝ:

λ ({x ∈ ℝ^{n}; ∑_{i=1}^{n} a_{i}x_{i} = b}) = 0.

(Hinweis: Betrachten Sie zunächst den Fall b = 0.)

Aufgabe 57 (2+3=5 Punkte)

Sei A = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ M(2 × 2, ℝ) eine positiv definite Matrix und

P = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3}; ax^{2} + 2bxy + cy^{2} ≤ z ≤ 1}.

(a) Zeigen Sie, dass P ⊂ ℝ^{3} kompakt ist.

(b) Berechnen Sie das Volumen von P.

(Hinweis: Sie dürfen benutzen, dass eine symmetrische Matrix B ∈ M(2×2, ℝ) mit B^{2} = A existiert. Betrachten Sie die quadratische Form der Matrix A = B^{2}.)

Aufgabe 58 (4 Punkte)

Es bezeichne K_{n} = K_{n}(1) die Einheitskugel im ℝ^{n}. Für α ∈ ℝ sei

F_{α} : K_{n} → ℝ, x ↦ \{ \begin{matrix}∥x∥^{−α} & ; & x ≠ 0 \\ 0 & ; & x = 0 \end{matrix}

Zeigen Sie, dass

F_{α} ∈ L^{1}(λ|_{K_{n}}) ⇔ α < n

gilt und berechnen Sie in diesem Fall das Integral

∫_{K_{n}} F_{α}dλ.

(Hinweis: Aufgabe 54)

Aufgabe 59 (2+2+1=4 Punkte)

(a) Seien n, m ∈ ℕ^{∗} mit m > n, sei U ⊂ ℝ^{n} offen und f : U → ℝ^{m} eine stetig differenzierbare Funktion. Zeigen Sie, dass f(U) ⊂ ℝ^{m} eine Lebesgue-Nullmenge ist.

(b) Zeigen Sie, dass die folgenden Mengen Lebesgue-Nullmengen sind:

• ∂K_{n}(r) = {x ∈ ℝ^{n}; ∥x∥ = r} ⊂ ℝ^{n} (r > 0)

• D_{1} = {(x, y) ∈ ℝ^{2}; x + y = 0} ⊂ ℝ^{2}, D_{2} = {(x, y) ∈ ℝ^{2}; x − y = 0} ⊂ ℝ^{2}

• V +b = {x+b; x ∈ V } ⊂ R^{n}, falls V ein Untervektorraum von R^{n} der Dimension k < n und b ∈ ℝ^{n} ist.

(c) Sei m < n. Geben Sie ein Beispiel für eine Lebesgue-Nullmenge A ⊂ ℝ^{n} und eine stetig differenzierbare Funktion f : R^{n} → ℝ^{m}, so dass f(A) ⊂ ℝ^{m} keine Lebesgue-Nullmenge ist.

Aufgabe 60^{∗} (2^{∗}+2^{∗}+1^{∗}=5^{∗} Punkte)

Sei (X, A, μ) ein Maßraum und f ∈ L^{1}(μ, ℂ). Zeigen Sie:

(a) Ist ∫_{X} fgdμ = 0 für jede beschränkte μ-messbare Funktion g : X → ℂ, so ist f = 0 μ-fast überall. (Hinweis: Wählen Sie eine geeignete Funktion g.)

(b) Ist ∫_{X} fgdμ = 0 für jede Treppenfunktion g ∈ St(μ, ℂ), so ist f = 0 μ-fast überall. (Hinweis: Benutzen Sie, dass man jede beschränkte μ-messbare Funktion im geeigneten Sinne durch Treppenfunktionen approximieren kann.)

(c) Ist ∫_{A} fdμ = 0 für jede Menge A ∈ A mit μ(A) < ∞, so ist f = 0 μ-fast überall.

Diese Übungsblätter können Sie sich auch über unsere Homepage besorgen:

http://www.math.uni-sb.de/∼ag-eschmeier/lehre