UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Dominik Faas �

Übungen zur Vorlesung Analysis III

Wintersemester 2005/2006

Blatt 13 Abgabetermin: Montag, 6.2.2006

Aufgabe 61 (Zylinderkoordinaten) (4 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

ϱ : (0, ∞) × [0, 2π] × ℝ → ℝ^{3}, ϱ(r, φ, h) = (r cos φ, r sin φ, h).

Zeigen Sie für eine Funktion f : ℝ^{3} → ℂ:

f ∈ L^{1}(ℝ^{3}) ⇔ \{ \begin{matrix}Die Funktion \\ (0, ∞) × [0, 2π] × ℝ → ℂ, (r, φ, h) ↦ r · f (ϱ(r, φ, h)) \\ liegt in L^{1} ((0, ∞) × [0, 2π] × ℝ) . \end{matrix}

In diesem Fall gilt

∫_{ℝ^{3}} fdλ = ∫_{ℝ} ∫_{[0,2π]} ∫_{(0,∞)} r · f (ϱ(r, φ, h)) dλ(r)dλ(φ)dλ(h).

Aufgabe 62 (3×2=6 Punkte)

Berechnen Sie die folgenden Integrale.

(a) ∫_{M}(x^{2}y − y^{3}x)dλ(x, y) mit M = {(x, y) ∈ (0, ∞)^{2}; x^{2} + y^{2} ≤ 1}.

(b) ∫_{M} \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}dλ(x, y, z) mit M = \{(x, y) ∈ ℝ^{3}; x^{2} + y^{2} + z^{2} ≤ R^{2}\} (R > 0).

(c) ∫_{M} ye^{x+z}dλ(x, y, z) mit M = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3}; x, y ≥ 0, x^{2} + y^{2} ≤ 1 und |z| ≤ 2}.

Aufgabe 63 (4 Punkte)

Für t > 2 sei K_{t} ⊂ ℝ^{2} gegeben durch

K_{t} = {(x, y) ∈ ℝ^{2}; 4 ≤ x^{2} + y^{2} ≤ t^{2} und 0 ≤ y ≤ x}.

Skizzieren Sie K_{t} und berechnen Sie

lim_{t→∞} ∫_{K_{t}} \frac{x − y}{(x^{3} + x^{2}y + xy^{2} + y^{3}) · log^{2}(x^{2} + y^{2})}dλ(x, y).

Aufgabe 64 (4 Punkte)

Die Funktionen f, g : ℝ^{3} → ℝ seien definiert durch

f(x, y, z) = x^{2} + xy − y − z und g(x, y, z) = 2x^{2} + 3xy − 2y − 3z.

Zeigen Sie, dass die Menge

M = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3}; f(x, y, z) = g(x, y, z) = 0} ⊂ ℝ^{3}

eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit der Klasse C^{∞} ist, und dass

φ : ℝ → ℝ^{3}, φ(t) = (t, t^{2}, t^{3})

eine globale Parametrisierung von M ist.

Aufgabe 65^{∗} (2^{∗}+2^{∗}=4^{∗} Punkte)

Für ein Kompaktum K ⊂ ℝ^{3} und eine integrierbare Funktion μ : K → [0, ∞), die als spezifische Dichte des Körpers K interpretiert werde, definieren wir die Masse des Körpers (K, μ) durch

m = m(K, μ) = ∫_{K} μ(x)dλ(x).

Ist außerdem eine Gerade L ⊂ ℝ^{3} gegeben, so sei

θ = θ(K, μ, L) = ∫_{K} dist(x, L)^{2}μ(x)dλ(x)

das Trägheitsmoment des Körpers (K, μ) bezüglich der Achse L.

(a) Sei K = {x ∈ R^{3}; ∥x∥ ≤ R} eine Kugel mit Radius R > 0 und konstanter Dichte μ > 0. Berechnen Sie die Masse von (K, μ) und das Trägheitsmoment von (K, μ) bezüglich einer Achse L, die durch den Mittelpunkt (0, 0, 0) von K geht, zum Beispiel sei L die x_{1}-Achse.

(b) Berechnen Sie für den Zylinder Z = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3}; |x| ≤ a, y^{2} + z^{2} ≤ r^{2}} (a, r > 0) mit konstanter Dichte μ > 0 die Masse und das Trägheitsmoment bezüglich der x-Achse.

In den Übungen können Sie sich ab sofort zur Klausur anmelden. Beachten Sie dazu folgende Hinweise:

1. Die Klausur findet am 18.2.2006 von 9:00 bis 12:00 im Hörsaal I statt.

2. Bitte klären Sie mit Ihrem Übungsgruppenleiter, ob Sie zur Klausur zugelassen sind.

3. Als Hilfsmittel zur Klausur dürfen Sie ein (beidseitig) von Hand beschriebenes DIN A4 Blatt benutzen.

Diese Übungsblätter können Sie sich auch über unsere Homepage besorgen:

http://www.math.uni-sb.de/∼ag-eschmeier/lehre