UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Dominik Faas �

Übungen zur Vorlesung Analysis III

Wintersemester 2005/2006

Blatt 14 Abgabetermin: Montag, 13.2.2006

Aufgabe 66 (4 Punkte)

Die Funktionen f_{1}, f_{2}, f_{3} : ℝ^{4} → ℝ seien definiert durch

f_{1}(x_{1}, …, x_{4}) = x_{1}x_{3} − x_{2}^{2}
f_{2}(x_{1}, …, x_{4}) = x_{2}x_{4} − x_{3}^{2}
f_{3}(x_{1}, …, x_{4}) = x_{1}x_{4} − x_{2}x_{3}.

Zeigen Sie, dass

M = {x ∈ ℝ^{4} \ {0}; f_{1}(x) = f_{2}(x) = f_{3}(x) = 0} ⊂ ℝ^{4}

eine zweidimensionale Untermannigfaltigkeit der Klasse C^{∞} ist.

Sei M ⊂ ℝ^{n} eine C^{k}-Untermannigfaltigkeit der Dimension p ≥ 1 (k ∈ ℕ^{∗} ∪ {∞}). Eine Menge A ∈ B(M) heißt Nullmenge, falls für jede Karte ℝ^{p} ⊃ Ω ⟶^{g} V ⊂ M gilt: λ( g^{−1} (A)) = 0.

Aufgabe 67 (1+3=4 Punkte)

Sei M ⊂ ℝ^{n} eine C^{k}-Untermannigfaltigkeit der Dimension p ≥ 1 (k ∈ ℕ^{∗} ∪ {∞}). Zeigen Sie:

(a) Sind A_{k} ⊂ M Nullmengen für k ∈ ℕ, so ist auch A = ⋃_{k∈ℕ} A_{k} eine Nullmenge.

(b) Ist M kompakt und A ∈ B(M), so existieren endlich viele Karten

ℝ^{p} ⊃ Ω_{i} ⟶^{g_{i}} V_{i} ⊂ M (i = 1, …, r)

mit A ⊂ ⋃_{i=1}^{r} V_{i} und A ist dann genau dann eine Nullmenge, wenn λ(g_{i}^{−1} (A)) = 0 für alle i = 1, …, r gilt. (Hinweis: Wenden Sie Satz 11.4 auf geeignete Kartenwechsel an.)

Aufgabe 68^{∗} (2^{∗}+2^{∗}=4^{∗} Punkte)

Für r > 0 und n ≥ 2 sei S_{n−1} = {x ∈ ℝ^{n}; ∥x∥ = r}. Zeigen Sie:

(a) S_{n−1}(r) ist eine kompakte C^{∞}-Untermanigfaltigkeit der Dimension n − 1. Man kann S_{n−1}(r) durch 2n Karten überdecken.

(b) Die Mengen

N_{i} = {x ∈ S_{n−1}(r); x_{i} = 0} ⊂ S_{n−1}(r)} (i = 1, …, n)

sind Nullmengen.

Aufgabe 69^{∗} (4^{∗} Punkte)

Sei K ⊂ ℝ^{3} die abgeschlossene euklidische Kugel mit Radius 1 um (1, 0, 0). Berechnen Sie das Integral

∫_{K} \frac{\sqrt{x}}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} dλ(x, y, z).

(Hinweis: Benutzen Sie Satz 11.13 (Räumliche Polarkoordinaten) und berechnen Sie zunächst die Menge ϱ^{−1} (K) für die dort gegebene Transformation ϱ.)

Aufgabe 70^{∗} (3^{∗}+ 1^{∗}=4^{∗} Punkte)

(a) Sei K ⊂ ℝ^{3} ein kompakter Körper mit der spezifischen Dichte μ : K → [0, ∞) und der Masse m > 0 (vergleiche Aufgabe 65). Der Schwerpunkt S = (s_{1}, s_{2}, s_{3}) ∈ ℝ^{3} von K ist durch

s_{i} = \frac{1}{m} ∫_{K} x_{i}μ(x)dλ(x) (i = 1, 2, 3)

definiert. Beweisen Sie den Satz von Steiner:

Ist L ⊂ ℝ^{3} eine Gerade durch S und L′ eine zu L parallele Gerade im Abstand d ≥ 0 und sind θ_{L} beziehungsweise θ_{L′} die Trägheitsmomente des Körpers (K, μ) bezüglich dieser Achsen, so gilt

θ_{L′} = θ_{L} + md^{2}.

(b) Berechnen Sie das Trägheitsmoment der Kugel aus Aufgabe 65 (a) um die Achse

L = {(0, 2R, 0) + α(1, 0, 0); α ∈ ℝ}.

In den Übungen können Sie sich ab sofort zur Klausur anmelden. Beachten Sie dazu folgende Hinweise:

1. Die Klausur findet am 18.2.2006 von 9:00 bis 12:00 im Hörsaal I statt.

2. Bitte klären Sie mit Ihrem Übungsgruppenleiter, ob Sie zur Klausur zugelassen sind.

3. Als Hilfsmittel zur Klausur dürfen Sie ein (beidseitig) von Hand beschriebenes DIN A4 Blatt benutzen.

Diese Übungsblätter können Sie sich auch über unsere Homepage besorgen:

http://www.math.uni-sb.de/∼ag-eschmeier/lehre