UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Dominik Faas �

Übungen zur Vorlesung Analysis III

Wintersemester 2005/2006

Blatt 2 Abgabetermin: Montag, 7.11.2005

Aufgabe 6 (2+2=4 Punkte)

Geben Sie zu den folgenden Anfangswertproblemen maximale Lösungen an.

(a) y′ = \frac{y^{2}+y}{t} , y(1) = −\frac{1}{2}.

(b) y′ = \frac{e^{−y^{2}}}{y(2t+t^{2})}, y(1) = 1.

Aufgabe 7 (2+2=4 Punkte)

Bestimmen Sie alle Lösungen der folgenden Differentialgleichungen.

(a) y′ + y sin t = sin 2t.

(b) y′ − 3y tan t = 1.

Aufgabe 8 (2+2=4 Punkte)

(a) Erraten Sie eine Lösung des Anfangswertproblems y′ = ty + 1 − t^{2}, y(0) = 0 auf ganz ℝ und zeigen Sie, dass diese Lösung eindeutig ist.

(b) Bestimmen Sie alle Lösungen der Differentialgleichung

(1) y′ = ty + 1 − t^{2}.

(Hinweis: Die Differenz zweier Lösungen von (1) löst die homogene DGL y′ = ty.)

Aufgabe 9 (2+2=4 Punkte)

(a) Sei f : J → ℝ eine stetige Funktion auf einem offenen Intervall J ⊂ ℝ mit f(y) ≠ y für alle y ∈ J. Finden Sie zu der Differentialgleichung

(1) y′ = f (\frac{y}{t} ) (t > 0)

eine Differentialgleichung (2) mit getrennten Variablen, so dass gilt:

φ löst (1) ⇔ u mit u(t) = \frac{φ(t)}{t} löst (2).

(b) Berechnen Sie alle Lösungen der Differentialgleichung

y′ = 1 + \frac{y}{t} + \frac{y^{2}}{t^{2}} (t > 0).

Aufgabe 10^{∗} (4^{∗} Punkte)

Versuchen Sie eine Lösung y = y(x) des Anfangswertproblems

(∗) x^{2}y′′ + xy′ + (x^{2} − 1)y = 0, y(0) = 0, y′(0) = \frac{1}{2}

zu finden, indem Sie für y den Potenzreihenansatz

y(x) = ∑_{k=0}^{∞} a_{k}x^{k} (a_{k} ∈ ℝ)

machen. Leiten Sie eine Rekursionsformel für die Koeffizienten a_{k} her und ermitteln Sie daraus einen geschlossenen Ausdruck für a_{k}. Begründen Sie anschliessend, dass die so erhaltene Potenzreihe auf ganz ℝ konvergiert und y tatsächlich (∗) löst.

Diese Übungsblätter können Sie sich auch über unsere Homepage besorgen:

http://www.math.uni-sb.de/∼ag-eschmeier/lehre