UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Dominik Faas �

Übungen zur Vorlesung Analysis III

Wintersemester 2005/2006

Blatt 3 Abgabetermin: Montag, 14.11.2005

Aufgabe 11 (2+2+2=6 Punkte)

(a) Sei I ⊂ ℝ ein Intervall und A = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} ) : I → M(2 × 2, ℝ) eine stetige

Abbildung. Die Differentialgleichung y′ = Ay besitze die Lösung \binom{φ_{1}}{φ_{2}} : I → ℝ^{2} mit φ_{1}(x) ≠ 0 für alle x ∈ I. Zeigen Sie: Hat man Lösungen v : I → ℝ von v′ = (a_{22} − a_{12} \frac{φ_{2}}{φ_{1}} ) v und u : I → ℝ von u′ = \frac{a_{12}}{φ_{1}} v, so erhält man durch

ψ(x) = u(x) ( \begin{matrix}φ_{1}(x) \\ φ_{2}(x) \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}0 \\ v(x) \end{matrix} )

eine weitere Lösung von y′ = Ax. Diese ist dann linear unabhängig zu φ, falls v ≢ 0.

(b) Man bestimme alle Lösungen des Differentialgleichungssystems

y′_{1} = −y_{1} + \frac{1}{x}y_{2}
y′_{2} = (1 − x)y_{1} + y_{2}.

Hinweis: Eine Lösung ist φ(x) = \binom{1}{x}.

(c) Man bestimme alle Lösungen des Differentialgleichungssystems

y′_{1} = −y_{1} + \frac{1}{x}y_{2} + log x + \frac{1}{x}
y′_{2} = (1 − x)y_{1} + y_{2} + (x − 1) log x

über I = (0, ∞).

Aufgabe 12 (3 Punkte)

Bestimmen Sie die Lösung φ der Differentialgleichung

y′ = ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 6 \end{matrix} ) y + ( \begin{matrix}x + 2 \\ 3x − 1 \end{matrix} )

mit φ(0) = 0. Sie können dazu den folgenden Satz benutzen:

Gibt es zu der Matrix A ∈ M(n × n, ℂ) eine Basis (a_{1}, …, a_{n}) von ℂ^{n} aus Eigenvektoren von A zu den Eigenwerten λ_{1}, …, λ_{n} so bilden die Funktionen

φ_{k} : ℝ → ℂ^{n}; φ_{k}(x) = a_{k}e^{λ_{k}x}

ein Fundamentalsysytem von Lösungen der Differentialgleichung y′ = Ay.

Seien g, h : G → ℝ stetige Funktionen auf einer offenen Menge G ⊂ ℝ^{2} mit 0 ∉ h(G). Die Differentialgleichung y′ = −\frac{g(t,y)}{h(t,y)} heißt exakt, falls eine Funktion F ∈ C^{1}(G) mit g = \frac{∂F}{∂t} und h = \frac{∂F}{∂y} existiert.

Aufgabe 13 (2+2=4 Punkte)

(a) Sei y′ =^{(∗)} −\frac{g(t,y)}{h(t,y)} eine exakte Differentialgleichung. Zeigen Sie: Eine differenzierbare Funktion φ : I → ℝ auf einem Intervall I ⊂ ℝ löst (∗) genau dann, wenn t ↦ F (t, φ(t)) konstant ist.

(b) Sei G = {(t, y) ∈ ℝ^{2}; t ≠ 1 und 2y ≠ t} und f : G → ℝ definiert durch

f(t, y) = (y − \frac{1}{t − 1}) (2y − t)^{−1} .

Bestimmen Sie die maximale Lösung des Anfangswertproblems

y′ = f(t, y), y(0) = −1.

Aufgabe 14 (2+2=4 Punkte)

Bestimmen Sie alle Lösungen der folgenden Differentialgleichungen.

(a) y′′ + y′ − 2y = 0.

(b) y′′ + y′ − 2y = 4e^{2t}.

Eine Funktion f : (−r, r) → ℝ (r ∈ (0, ∞]) heißt gerade, falls f(−x) = f(x) und ungerade, falls f(−x) = −f(x) für alle x ∈ (−r, r) gilt.

Aufgabe 15^{∗} (4^{∗} Punkte)

Seien a, b : (−r, r) → ℝ stetige Funktionen (r > 0) so, dass a ungerade und b gerade ist. Zeigen Sie, dass die Differentialgleichung

y′′ + a(x)y′ + b(x)y = 0

ein Fundamentalsystem von Lösungen besitzt, dass aus einer geraden und einer ungeraden Funktion besteht.

Diese Übungsblätter können Sie sich auch über unsere Homepage besorgen:

http://www.math.uni-sb.de/∼ag-eschmeier/lehre