UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Dominik Faas �

Übungen zur Vorlesung Analysis III

Wintersemester 2005/2006

Blatt 4 Abgabetermin: Montag, 21.11.2005

Sei (X, ∥ · ∥) ein normierter Raum und x_{n} ∈ X (n ∈ ℕ). Man sagt: Die Reihe ∑_{n=0}^{∞} x_{n} konvergiert

gegen ein x ∈ X, falls lim_{N→∞} ∑_{n=0}^{N} x_{n} = x gilt und konvergiert absolut, falls ∑_{n=0}^{∞} ∥x_{n}∥ < ∞ gilt.

Aufgabe 16 (4 Punkte)

Es sei (X, ∥ · ∥) ein normierter Raum. Zeigen Sie: X ist genau dann vollständig, wenn jede absolut konvergente Reihe in X konvergiert.

Aufgabe 17 (2+2=4 Punkte)

(a) Seien a, b ∈ ℂ. Zeigen Sie: Eine Funktion φ : (0, ∞) → ℝ ist genau dann eine Lösung

von

(1) y′′ + \frac{a}{t}y′ + \frac{b}{t^{2}} y = 0,

wenn die Funktion ψ : ℝ → ℝ, ψ(x) = φ(e^{x}) eine Lösung von

(2) y′′ + (a − 1)y′ + by = 0

ist.

(b) Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen

(i) y′′ − \frac{2}{t}y′ + \frac{2}{t^{2}} y = 0 (ii) y′′ + \frac{3}{t}y′ + \frac{1}{t^{2}} y = 0

Aufgabe 18 (1+2=3 Punkte)

Wir betrachten das homogene lineare Gleichungssystem

(I) y′ = ( \begin{matrix}0 & −6 & 2 \\ 6 & 0 & −3 \\ −2 & 3 & 0 \end{matrix} ) y.

(a) Bestimmen Sie alle Lösungen von (I) über ℂ.

(b) Bestimmen Sie alle Lösungen von (I) über ℝ. Hinweis: Geeignete ℂ-Linearkombinationen von φ_{j}(x) = e^{λ_{j}x}a_{j} (j = 1, 2) sind reellwertig, falls λ_{1} und λ_{2} sowie a_{1} und a_{2} konjugiert komplex zueinander sind.

Aufgabe 19 (2+1+2=5 Punkte)

Sei A ∈ M(n × n, ℂ).

(a) Zeigen Sie: Ist λ ein Eigenwert von A und x ∈ ker(A − λ)^{j} (j ≥ 1), so ist die Funktion

φ_{x} : ℝ → ℂ^{n}, φ_{x}(t) = ∑_{k=0}^{j−1} \frac{t^{k}}{k!}e^{λt}(A − λ)^{k}x

eine Lösung der Differentialgleichung y′ = Ay mit φ_{x}(0) = x.

(b) Für i = 1, …, n sei x_{i} ∈ ker(A−λ_{i})^{j_{i}} (j_{i} ≥ 1, λ_{i} Eigenwert von A), so dass (x_{1}, …, x_{n}) eine Basis von ℂ^{n} ist. Zeigen Sie, dass (φ_{x_{1}}, … φ_{x_{n}}) ein Lösungsfundamentalsystem von y′ = Ay ist.

(c) Bestimmen Sie alle Lösungen der Differentialgleichung

y′ = ( \begin{matrix}1 & −3 & 1 & 0 \\ 2 & −4 & 1 & −1 \\ 0 & 0 & −1 & −2 \\ −2 & 3 & −1 & 0 \end{matrix} ) y.

Aufgabe 20^{∗} (4^{∗} Punkte)

Es seien m, D > 0 und α ≥ 0. Wir betrachten die Differentialgleichung für den gedämpften harmonischen Oszillator:

(1) mx′′ + αx′ + Dx = 0

Berechnen Sie ein reelles Lösungsfundamentalsystem von (1). Finden Sie eine Lösung mit der Anfangsbedingung x(0) = 0, x′(0) = v_{0} und skizzieren Sie diese. (Hinweis: Fallunterscheidung)

Diese Übungsblätter können Sie sich auch über unsere Homepage besorgen:

http://www.math.uni-sb.de/∼ag-eschmeier/lehre