UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Dominik Faas �

Übungen zur Vorlesung Analysis III

Wintersemester 2005/2006

Blatt 5 Abgabetermin: Montag, 28.11.2005

Aufgabe 21 (1+1+2=4 Punkte)

Sei (X, d) ein metrischer Raum und ∅ ≠ A ⊂ X. Es sei

d_{A} : X → [0, ∞), d_{A}(x) = inf_{a∈A} d(x, a)

die Abstandsfunktion zu A. Zeigen Sie:

(a) Es gilt |d_{A}(x) − d_{A}(y)| ≤ d(x, y) für alle x, y ∈ X.

(b) d_{A} ist stetig.

(c) Für x ∈ X gilt: d_{A}(x) = 0 ⇔ x ∈ \overline{A}.

Für X ≠ ∅, M ⊂ P(X) und Y ⊂ X sei M|_{Y} = {A ∩ Y; A ∈ M} ⊂ P(Y).

Aufgabe 22 (1+2+1+1=5 Punkte)

Sei X ≠ ∅ eine Menge, A eine σ-Algebra auf X und ∅ ≠ Y ⊂ X. Zeigen Sie:

(a) A|_{Y} ist eine σ-Algebra auf Y.

(b) Ist E ⊂ A ein Erzeuger von A, so ist E|_{Y} ein Erzeuger von A|_{Y}.

(c) Ist d eine Metrik auf X, so ist d|_{Y ×Y} eine Metrik auf Y und für V ⊂ Y gilt: V ⊂ (Y, d|_{Y ×Y}) offen ⇔ ∃U ⊂ (X, d) offen mit V = U ∩ Y.

(d) Ist d eine Metrik auf X und A die Borelsche σ-Algebra auf (X, d), so ist A|_{Y} die Borelsche σ-Algebra auf (Y, d|_{Y ×Y}).

Aufgabe 23 (4∗1=4 Punkte)

Sei (X, A) ein messbarer Raum und seien f, g, f_{n} : X → ℝ (n ∈ ℕ) messbare Funktionen. Die Folge f_{n} sei punktweise beschränkt, das heißt für alle x ∈ X existiere ein C_{x} ≥ 0 mit |f_{n}(x)| ≤ C_{x} für alle n ∈ ℕ. Zeigen Sie, dass auch die folgenden Funktionen messbar sind.

max(f, g) : X → ℝ , x ↦ max(f(x), g(x))
sup_{n} f_{n} : X → ℝ , x ↦ sup_{n∈ℕ}f_{n}(x)
lim sup_{n} f_{n} : X → ℝ , x ↦ lim sup_{n∈ℕ}f_{n}(x)
lim_{n} f_{n} : X → ℝ , x ↦ \{ \begin{matrix}lim_{n∈ℕ}f_{n}(x) & , & falls dieser Limes existiert \\ 0 & , & sonst \end{matrix}

Beachten Sie dabei, dass diese Aussagen richtig bleiben, wenn man max und sup durch min und inf ersetzt.

Aufgabe 24 (2+2=4 Punkte)

Sei (X, A, μ) ein Maßraum mit μ(X) < ∞. Zeigen Sie

(a) Sind A, B ∈ A, so gilt

μ(A ∪ B) = μ(A) + μ(B) − μ(A ∩ B).

(b) Sind A_{1}, …, A_{n} ∈ A, so gilt

μ(A_{1} ∪ … ∪ A_{n}) = ∑_{k=1}^{n} ∑_{M∈S_{k}^{(n)}}(−1)^{k+1}μ ( ⋂_{i∈M} A_{i}) ,

wobei S_{k}^{(n)} die Menge der k-elementigen Teilmengen von {1, …, n} sei.

Aufgabe 25^{∗} (4^{∗} Punkte)

Sei (X, A, μ) ein Maßraum und seien A_{k} ∈ A (k ∈ ℕ) mit ∑_{k=0}^{∞} μ(A_{k}) < ∞. Wir betrachten

die Menge

M = {x ∈ X; x ∈ A_{k} für unendlich viele k ∈ ℕ}.

Zeigen Sie, dass M ∈ A und μ(M) = 0 gilt.

Diese Übungsblätter können Sie sich auch über unsere Homepage besorgen:

http://www.math.uni-sb.de/∼ag-eschmeier/lehre