UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Dominik Faas �

Übungen zur Vorlesung Analysis III

Wintersemester 2005/2006

Blatt 6 Abgabetermin: Montag, 5.12.2005

Sei X eine Menge und (A_{n})_{n∈ℕ} eine Folge in P(X). Man definiert

lim sup_{n→∞} A_{n} = {x ∈ X; x ∈ A_{n} für unendlich viele n ∈ ℕ}
lim inf_{n→∞} A_{n} = {x ∈ X; x ∈ A_{n} für fast alle n ∈ ℕ}.

Die Folge (A_{n})_{n} heißt konvergent, falls lim sup_{n} A_{n} = lim inf_{n} A_{n}(=: lim_{n} A_{n}) gilt.

Aufgabe 26 (4∗1=4 Punkte)

Sei (X, A, μ) ein Maßraum und A_{n} ∈ A für n ∈ ℕ. Zeigen Sie:

(a) lim sup_{n→∞} A_{n} = ⋂_{n=0}^{∞} ⋃_{k=n}^{∞} A_{k}, lim inf_{n→∞} A_{n} = ⋃_{n=0}^{∞} ⋂_{k=n}^{∞} A_{k}.

(b) μ(lim inf_{n→∞} A_{n}) ≤ lim inf_{n→∞} μ(A_{n}).

(c) μ(lim sup_{n→∞} A_{n}) ≥ lim sup_{n→∞} μ(A_{n}), falls μ( ⋃_{n=0}^{∞} A_{n}) < ∞.

(d) Ist A_{n} konvergent und μ( ⋃_{n=0}^{∞} A_{n}) < ∞, so gilt μ( lim_{n→∞} A_{n}) = lim_{n→∞} μ(A_{n}).

Aufgabe 27 (6∗1=6 Punkte)

Sei X eine Menge und seien A, A_{n}, B ⊂ X (n ∈ ℕ). Zeigen Sie:

(a) χ_{A∩B} = χ_{A} · χ_{B}.

(b) χ_{A∪B} = χ_{A} + χ_{B} − χ_{A} · χ_{B}.

(c) χ_{A∩B^{c}} = χ_{A}(1 − χ_{B}).

(d) χ_{AΔB} = |χ_{A} − χ_{B}|.

Dabei sei AΔB = (A ∩ B^{c}) ∪ (B ∩ A^{c}) die symmetrische Differenz von A und B.

(e) χ_{lim sup A_{n}} = lim sup χ_{A_{n}}.

(f) χ_{lim inf A_{n}} = lim inf χ_{A_{n}}.

Aufgabe 28 (4 Punkte)

Seien F_{1}, …, F_{n} ∈ B(ℝ). Zeigen Sie, dass F_{1} × … × F_{n} ∈ B(ℝ^{n}) ist.

Aufgabe 29 (2+2=4 Punkte)

Sei (X, M) ein messbarer Raum. Zeigen Sie:

(a) Ist f : X → ℝ messbar und beschränkt, so gibt es eine Folge (f_{k})_{k≥1} von einfachen Funktionen f_{k} : X → ℝ, die gleichmäßig auf X gegen f konvergiert.

(b) Ist f : X → [0, ∞) messbar, so gibt es eine Folge (f_{k})_{k≥1} von einfachen Funktionen f_{k} : X → [0, ∞), die punktweise monoton wachsend gegen f konvergiert, das heißt es gilt

f(x) = lim_{k→∞} f_{k}(x) und f_{j}(x) ≤ f_{j+1}(x)

für alle x ∈ X und j ≥ 1.

(Hinweis: Beweis von Satz 5.14)

Ein Maßraum (X, A, μ) heißt vollständig, wenn zu N ∈ A mit μ(N) = 0 und M ⊂ N auch M ∈ A gilt.

Aufgabe 30^{∗} (1^{∗}+1^{∗}+2^{∗}+1^{∗}=5^{∗} Punkte)

Sei (X, A, μ) ein Maßraum und

A_{0} = {M ⊂ X; es gibt ein N ∈ A mit μ(N) = 0 und M ⊂ N}.

das System aller Teilmengen von μ-Nullmengen. Man definiert

Â = {A ∪ M; A ∈ A und M ∈ A_{0}},
μ̂ : Â → [0, ∞], μ̂(A ∪ M) = μ(A) (A ∈ A, M ∈ A_{0}).

Zeigen Sie:

(a) Â ist eine σ-Algebra auf X.

(b) μ̂ ist ein wohldefiniertes Maß auf (X, Â).

(c) (X, Â, μ̂) ist die minimale vollständige Erweiterung von A, das heißt:

• (X, Â, μ̂) ist vollständig mit A ⊂ Â und μ̂|_{A} = μ.

• Ist (X, B, ν) ein vollständiger Maßraum mit A ⊂ B und ν|_{A} = μ, so folgt Â ⊂ B und ν|Â = μ̂.

(d) (X, A, μ) ist genau dann vollständig, wenn A = Â ist.

Diese Übungsblätter können Sie sich auch über unsere Homepage besorgen:

http://www.math.uni-sb.de/∼ag-eschmeier/lehre