UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Dominik Faas �

Übungen zur Vorlesung Analysis III

Wintersemester 2005/2006

Blatt 7 Abgabetermin: Montag, 12.12.2005

Aufgabe 31 (1+3=4 Punkte)

Sei (X, d) ein kompakter metrischer Raum, E ein Banachraum und μ ein endliches Borelmaß auf X. Zeigen Sie für eine stetige Funktion f : X → E.

(a) Zu jedem ε > 0 existieren endlich viele Punkte x_{1}, …, x_{r} ∈ X mit

f(X) ⊂ B_{ε} (f(x_{1})) ∪ … ∪ B_{ε} (f(x_{1})) .

(b) f ist μ-messbar.

(Hinweis: Approximieren Sie f mit Hilfe von (a) punktweise durch eine Folge von Treppenfunktionen.)

Aufgabe 32 (3 Punkte)

Sei (X, A) ein messbarer Raum, x ∈ X und δ_{x} : A → [0, 1], A ↦ χ_{A}(x) das Dirac-Maß zu x. Sei E ein Banachraum. Bestimmen Sie L^{1}(δ_{x}, E) und berechnen Sie ∫_{X} fdδ_{x} für f ∈ L^{1}(δ_{x}, E).

Aufgabe 33 (1+3+2=6 Punkte)

Sei X = ℕ, A = P(ℕ) und μ das Zählmaß auf A, das heißt

μ : A → [0, ∞], μ(A) = \{ \begin{matrix}#A & , & falls A endlich \\ ∞ & , & sonst \end{matrix}

Zeigen Sie:

(a) Eine Funktion f : ℕ → ℝ ist genau dann eine Treppenfunktion, wenn es ein n_{0} ∈ ℕ gibt mit f(n) = 0 für alle n > n_{0}. In diesem Fall ist

∫_{ℕ} fdμ = ∑_{n=0}^{n_{0}} f(n).

(b) Ist f : ℕ → ℝ eine Funktion mit ∑_{n=0}^{∞} |f(n)| < ∞, so ist f ∈ L^{1}(μ, ℝ) und es gilt

∫_{ℕ} fdμ = ∑_{n=0}^{∞} f(n).

(c) Es gilt

L^{1}(μ, ℝ) = {f : ℕ → ℝ; ∑_{n=0}^{∞} |f(n)| < ∞}.

Aufgabe 34 (2+2=4 Punkte)

Sei (X, A, μ) ein Maßraum und f : X → [0, ∞) eine μ-messbare Funktion. Zeigen Sie:

(a) Es gibt eine Folge (g_{n})_{n∈ℕ} von Treppenfunktionen mit 0 ≤ g_{n}(x) ≤ g_{n+1}(x) für x ∈ X und n ∈ ℕ, so dass f(x) = lim_{n} g_{n}(x) für μ-fast alle x ∈ X ist. (Hinweis: Benutzen Sie Aufgabe 29, um zunächst eine Folge einfacher Funktionen zu erhalten, die punktweise μ-fast überall gegen f konvergiert.)

(b) Es gilt

f ∈ L^{1}(μ, ℝ) ⇔ S := sup{∫_{X} gdμ; g ∈ St(μ, ℝ) mit 0 ≤ g ≤ f μ − f.ü.}

und in diesem Fall ist

∫_{X} fdμ = S.

Ein Maßraum (X, A, μ) heißt σ-endlich, falls es A_{n} ∈ A mit μ(A_{n}) < ∞ für n ∈ ℕ gibt, so dass X = ⋃_{n} A_{n} gilt.

Aufgabe 35^{∗} (1^{∗}+3^{∗}=4^{∗} Punkte)

(a) Sei (X, A, μ) ein vollständiger Maßraum und (Y, 𝔅) ein messbarer Raum. Zeigen Sie: Sind f, g : X → Y Abbildungen mit f = g μ-fast überall, so gilt:

f messbar ⇔ g messbar.

(b) Ist (X, A, μ) ein σ-endlicher Maßraum, und (X, Â, μ̂) die mimimale vollständige Erweiterung, so gilt für eine Abbildung f : X → ℝ:

f : (X, A, μ) → ℝ ist μ − messbar ⇔ f : (X, Â) → R ist Borel-messbar.

Diese Übungsblätter können Sie sich auch über unsere Homepage besorgen:

http://www.math.uni-sb.de/∼ag-eschmeier/lehre