UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Dominik Faas �

Übungen zur Vorlesung Analysis III

Wintersemester 2005/2006

Blatt 8 Abgabetermin: Montag, 19.12.2005

Aufgabe 36 (3+1=4 Punkte)

Sei (X, A, μ) ein Maßraum und E ein Banachraum über k = ℝ oder k = ℂ. Zeigen Sie für eine Funktion g ∈ L^{1}(μ, E).

(a) Ist f : X → k μ-messbar und existiert eine μ-Nullmenge N ∈ A, so dass f|_{X\N} beschränkt ist, so ist f · g ∈ L^{1}(μ, E) und es gilt

∥fg∥_{1} ≤ ∥f∥_{∞,X\N} · ∥g∥_{1}.

(b) Die Behauptung in (a) bleibt richtig, wenn man die Voraussetzung, dass f μ-messbar ist, ersetzt durch die Bedingung, dass f Borel-messbar ist.

Aufgabe 37 (3+1=4 Punkte)

Sei R = ∏_{ν=1}^{n}[a_{ν}, b_{ν}] ein kompakter Quader im ℝ^{n}.

(a) Für ν = 1, …, n sei T_{ν} = (t_{ν,i})_{1≤i≤r_{ν}} eine Teilung von [a_{ν}, b_{ν}]. Weiterhin sei

I = ∏_{ν=1}^{n}{1, …, r_{ν}} und R_{i} = ∏_{ν=1}^{n}[t_{ν,i_{ν}−1}, t_{ν,i_{ν}}] für i = (i_{1}, …, i_{n}) ∈ I.

Zeigen Sie, dass V (R) = ∑_{i∈I} V (R_{i}) gilt.

(b) Zeigen Sie, dass V (S) ≤ V (R) für jeden kompakten Quader S ⊂ R gilt.

Sei (X, A) ein messbarer Raum. Ein komplexes Maß auf (X, A) ist eine Abbildung ν : A → ℂ mit ν(∅) = 0 und ν(⋃_{n∈ℕ} A_{n}) = ∑_{n=0}^{∞} ν(A_{n}) für jede Folge (A_{n})_{n∈ℕ} paarweise disjunkter Mengen A_{n} ∈ A.

Aufgabe 38 (2+1+1=4 Punkte)

Sei (X, A, μ) ein Maßraum und f ∈ L^{1}(μ, ℂ). Zeigen Sie:

(a) Durch

ν_{f}(A) = ∫_{A} fdμ (:= ∫_{X} f · χ_{A} dμ) (A ∈ A)

wird ein komplexes Maß ν_{f} auf (X, A) definiert.

(b) Jede μ-Nullmenge ist auch eine ν_{f}-Nullmenge.

(c) Ist (A_{k})_{k∈ℕ} eine Folge paarweise disjunkter Mengen A_{k} ∈ A mit X = ⋃_{k∈ℕ} A_{k}, so gilt

∑_{k=0}^{∞} |ν_{f}(A_{k})| ≤ ∥f∥_{1}.

Aufgabe 39 (3+1=4 Punkte)

(a) Sei μ : B(ℝ) → [0, ∞] ein Borelmaß auf ℝ mit μ({t}) = 0 für alle t ∈ ℝ und sei f ∈ L^{1}(μ, E) für einen Banachraum E. (Wenn Sie möchten, können Sie sich auf den Fall E = k(= ℝ oder ℂ) beschränken.) Zeigen Sie, dass die Funktion

F : ℝ → E, F (x) = ∫_{(−∞,x]} fd_{λ}

stetig ist.

(Hinweis: Satz von der majorisierten Konvergenz)

(b) Zeigen Sie durch ein Beispiel, dass die Aussage in (a) falsch wird, wenn man die Voraussetzung μ({t}) = 0 für alle t ∈ ℝ fallen lässt.

Aufgabe 40^{∗} (4^{∗} Punkte)

Sei (X, A, μ) ein Maßraum und f, f_{n} ∈ L^{1}(μ, ℝ) (n ∈ ℕ) nichtnegative Funktionen. Es gelte:

(i) f_{n} ⟶^{n} f punktweise μ-fast überall.

(ii) ∫_{X} f_{n}dμ ⟶^{n} ∫_{X} fdμ.

Zeigen Sie, dass ∫_{X} |f − f_{n}|dμ ⟶^{n} 0 gilt. (Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass die Funktionen

g_{n} = f − sup_{k≥n}(f − f_{k})_{+} (n ∈ ℕ)

in L^{1}(μ, ℝ) liegen.)

Diese Übungsblätter können Sie sich auch über unsere Homepage besorgen:

http://www.math.uni-sb.de/∼ag-eschmeier/lehre