UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Dominik Faas �

Übungen zur Vorlesung Analysis III

Wintersemester 2005/2006

Blatt 9 Abgabetermin: Montag, 9.1.2006

Aufgabe 41 (3+2=5 Punkte)

Sei (X, A, μ) ein Maßraum und ∅ ≠ Y ∈ A eine messbare Menge. Wir betrachten die auf Y eingeschränkte σ-Algebra A|_{Y} (vergleiche Aufgabe 22) und die Einschränkung ν = μ|_{(A|_{Y} )} des Maßes auf A|_{Y}. (Dann ist (Y, A|_{Y} , ν) offenbar wieder ein Maßraum.) Sei E ein Banachraum. Zeigen Sie:

(a) Ist f ∈ L^{1}(μ, E), so ist f|_{Y} ∈ L^{1}(ν, E) und es gilt ∫_{Y} f|_{Y} dν = ∫_{X}(f · χ_{Y})dμ .

(b) Ist g : Y → E eine Funktion und

g̃ : X → E, g̃(x) = \{ \begin{matrix}g(x) & , & falls x ∈ Y \\ 0 & , & falls x ∈ X \ Y \end{matrix}

die triviale Fortsetzung von g auf X, so gilt

g̃ ∈ L^{1}(μ, E) ⇔ g ∈ L^{1}(ν, E)

und in diesem Fall ist ∫_{Y} gdν = ∫_{X} g̃dμ.

Aufgabe 42 (4 Punkte)

Sei (X, A, μ) ein Maßraum, I ⊂ ℝ ein offenes Intervall und f : I × X → ℝ eine Funktion mit folgenden Eigenschaften:

(i) Für jedes t ∈ I ist ist die Funktion X → ℝ, x ↦ f(t, x) in L^{1}(μ, R).

(ii) Für jedes x ∈ X ist die Funktion I → ℝ, t ↦ f(t, x) differenzierbar. Die Ableitung dieser Funktion im Punkt t ∈ I bezeichnen wir mit \frac{∂f}{∂t} (t, x).

(iii) Es gibt eine Funktion g ∈ L^{1}(μ, R) mit

|\frac{∂f}{∂t} (t, x)| ≤ g(x) ∀t ∈ I, x ∈ X.

Zeigen Sie:

• Für jedes t ∈ I ist die Funktion X → ℝ, x ↦ \frac{∂f}{∂t} (t, x) in L^{1}(μ, R).

• Die Funktion F : I → ℝ, F (t) = ∫_{X} f(t, x)dμ(x) ist differenzierbar.

• Für jedes t ∈ I gilt

F′(t) = ∫_{X} \frac{∂f}{∂t} (t, x)dμ(x).

(Hinweis: Wenden Sie den Satz von der majorisierten Konvergenz und den Mittelwertsatz auf geeignete Differenzenquotienten an.)

Aufgabe 43 (6∗1=6 Punkte)

Welche der folgenden Funktionen μ_{i}^{∗} : P(ℝ) → [0, ∞] (i = 1, …, 6) sind äußere Maße auf ℝ? Geben Sie für diese die σ-Algebra der μ_{i}^{∗}-messbaren Mengen an.

μ_{1}^{∗}(A) = \{ \begin{matrix}0 & ; & A = ∅ \\ 1 & ; & A ≠ ∅ \end{matrix} , μ_{2}^{∗}(A) = \{ \begin{matrix}0 & ; & A = ∅ \\ ∞ & ; & A ≠ ∅ \end{matrix} ,

μ_{3}^{∗}(A) = \{ \begin{matrix}0 & ; & A beschränkt \\ 1 & ; & A unbeschränkt \end{matrix} , μ_{4}^{∗}(A) = \{ \begin{matrix}0 & ; & A = ∅ \\ 1 & ; & A ≠ ∅, A beschränkt \\ ∞ & ; & A unbeschränkt \end{matrix} ,

μ_{5}^{∗}(A) = \{ \begin{matrix}0 & ; & A abzählbar \\ 1 & ; & A überabzählbar \end{matrix} , μ_{6}^{∗}(A) = \{ \begin{matrix}0 & ; & A abzählbar \\ ∞ & ; & A überabzählbar \end{matrix} .

Aufgabe 44 (6∗1=6 Punkte)

Berechnen Sie die folgenden Integrale:

(a) ∫_{[0,2]×[−1,2]} (2x − 3y) dλ(x, y)

(b) ∫_{[1,2]×[1,2]} e^{x+y} dλ(x, y)

(c) ∫_{[0, \frac{π}{2} ]×[0, \frac{π}{2} ]} sin(x + y) dλ(x, y)

(d) ∫_{[1,2]×[2,3]×[0,2]} \frac{2z}{(x+y)^{2}} dλ(x, y, z)

(e) ∫_{[0,1]^{3}} \frac{x^{2}z^{3}}{1+y^{2}} dλ(x, y, z)

(f) ∫_{ℝ} f dλ, wobei f : ℝ → ℝ, f(x) = \{ \begin{matrix}1 & ; & x ∈ ℚ \\ 0 & ; & x ∈ ℝ \ ℚ \end{matrix}

(Begründen Sie hier auch, wieso f ∈ L^{1}(λ, ℝ) ist.)

Aufgabe 45^{∗} (1^{∗}+3^{∗}=4^{∗} Punkte)

(a) Zeigen Sie, dass jede abzählbare Menge Q ⊂ ℝ eine Lebesgue-Nullmenge ist.

(b) Es sei K_{0} = [0, 1] und für K_{n} = ⋃_{i=1}^{r_{n}}[a_{i}^{n}, b_{i}^{n}] (r_{n} ∈ ℕ, a_{i}^{n} < b_{i}^{n} für 1 ≤ i ≤ r_{n}) sei

K_{n+1} = ⋃_{i=1}^{r_{n}} ([a_{i}^{n}, a_{i}^{n} + \frac{1}{3}(b_{i}^{n} − a_{i}^{n})] ∪ [a_{i}^{n} + \frac{2}{3}(b_{i}^{n} − a_{i}^{n}), b_{i}^{n}]) .

Die Menge K = ⋂_{n∈ℕ} K_{n} heißt Cantormenge. Zeigen Sie, dass K eine überabzählbare Lebesgue-Nullmenge ist. (Hinweis: Für die Überabzählbarkeit zeigen Sie, dass K genau aus den Punkten x ∈ [0, 1] besteht, die eine 3-adische Entwicklung ohne die Ziffer 1 besitzen.)

Diese Übungsblätter können Sie sich auch über unsere Homepage besorgen:

http://www.math.uni-sb.de/∼ag-eschmeier/lehre

Frohe Weihnachten und ein gutes neues Jahr!