Ergänzungen zur Funktionentheorie II

A Parameterabhängige Integrale

Satz A1. Seien (X, M, μ) ein Maßraum, U ⊂ ℝ^{n} eine offene Menge und f : X × U → ℂ eine Funktion. Sei j ∈ {1, …, n} so, dass

(i) f(·, y) ∈ L^{1}(μ) ist für alle y ∈ U,

(ii) f partiell differenzierbar ist nach y_{j} und die partielle Ableitung

∂_{j}f : X × U → ℂ, (x, y) ⟼ lim_{h→0} \frac{f(x, y + he_{j}) − f(x, y)}{h}

noch partiell stetig in y_{j} ist und

(iii) eine integrable Funktion g ∈ L^{1}(μ) existiert mit

|∂_{j}f(x, y)| ≤ g(x) ((x, y) ∈ X × U).

Dann ist die Funktion F : U → ℂ, F (y) = ∫_{X} f(x, y)dμ(x) partiell diffe-

renzierbar nach y_{j} und

∂_{j}F (y) = ∫_{X} ∂_{j}f(x, y)dμ(x) (y ∈ U).

Beweis. Sei y ∈ U fest und sei δ > 0 mit y + he_{j} ∈ U für |h| < δ. Ist (h_{k}) eine Nullfolge in (−δ, δ) \ {0}, so sind die Funktionen

g_{k} : X ⟶ ℂ, g_{k}(x) = \frac{f(x, y + h_{k}e_{j}) − f(x, y)}{h_{k}}(k ∈ ℕ)

μ-integrabel mit

|g_{k}(x)| = |\frac{1}{h_{k}} ∫_{0}^{h_{k}}(∂_{j}f)(x, y + te_{j})dt | ≤ g(x) (x ∈ X).

Da lim_{k→∞} g_{k}(x) = (∂_{j}f)(x, y) für alle x ∈ X gilt, folgt die Behauptung als Anwendung des Satzes von der majorisierten Konvergenz.

Verlangt man in Satz A.1 statt (ii), dass

f(x, ·) ∈ C(U)

für alle x ∈ X gilt und ersetzt man (iii) durch die Bedingung, dass

|f(x, y)| ≤ g(x) ((x, y) ∈ X × U)

mit einer geeigneten integrablen Funktion g ∈ L^{1}(μ) gilt, so ist die in Satz A.1 definierte Funktion F : U → ℂ zumindest noch stetig.

Satz A2. Seien (X, M, μ) ein Maßraum, U ⊂ ℂ^{n} offen und f : X × U → ℂ eine Funktion so, dass (i) f(·, z) ∈ L^{1}(μ) ist für alle z ∈ U,

(ii) f(x, ·) ∈ O(U) ist für alle x ∈ X und

(iii) eine integrable Funktion g ∈ L^{1}(μ) existiert mit

|f(x, z)| ≤ g(x) ((x, z) ∈ X × U).

Dann ist die Funktion F : U → ℂ, F (z) = ∫_{X} f(x, z)dμ(x) holomorph mit

∂_{j}F (z) = ∫_{X} (∂_{j}f) (x, z)dμ(x) (1 ≤ j ≤ n, z ∈ U).

Hierbei sei (∂_{j}f)(x, z) = (\frac{∂}{∂z_{j}} f(x, ·))(z) für x ∈ X und z ∈ U.

Beweis. Gemäß der obigen Bemerkung zu Satz A.1 ist F stetig. Für den Beweis der Holomorphie und die Berechnung der partiellen Ableitungen dürfen wir annehmen, dass n = 1 ist. Sei z_{0} ∈ U fest und r > 0 mit \overline{D}_{2r}(z_{0}) ⊂ U. Dann gilt für z ∈ D_{r}(z_{0}) und x ∈ X

|∂f(x, z)| = |\frac{1}{2πi} ∫_{∂D_{2r}(z_{0})}  \frac{f(x, ξ)}{(ξ − z)^{2}} dξ| ≤ \frac{2}{r} g(x).

Ist (z_{k})_{k≥1} eine Folge in D_{r}(z_{0}) \ {z_{0}} mit Limes z_{0}, so konvergiert die Folge

g_{k} = \frac{f(·, z_{k}) − f(·, z_{0})}{z_{k} − z_{0}} ∈ L^{1}(μ)

punktweise auf X gegen die Funktion ∂f(·, z_{0}) und wird wegen

|g_{k}(x)| = |\frac{1}{z_{k} − z_{0}} ∫_{[z_{0},z_{k}]} (∂f)(x, z)dz| ≤ \frac{2}{r}g(x) (x ∈ X)

durch eine μ-integrable Funktion majorisiert. Also folgt die Behauptung mit dem Satz von der majorisierten Konvergenz.