Ergänzungen zur Funktionentheorie II

B Differentialformen

Sei E = ℝ^{N}. Wir definieren ℂ–Vektorräume durch Λ_{ℂ}^{0}E^{∗} = ℂ und

Λ_{ℂ}^{p}E^{∗} = {ω; ω : E^{p} → ℂ ist ℝ–multilinear und alternierend}.

Die ℝ–Linearformen

dx_{j} : ℝ^{N} → ℂ, (x_{1}, …, x_{N}) ↦ x_{j} (1 ≤ j ≤ N)

bilden eine Basis des ℂ–Vektorraums Λ_{ℂ}^{1}E^{∗} = {φ; φ : ℝ^{N} → ℂ ist ℝ–linear}. Wie im ℝ–wertigen Fall (vgl. [O.Forster, Analysis 3]) zeigt man die folgenden Ergebnisse:

(1) (Λ_{ℂ}^{1}E^{∗})^{p} → Λ_{ℂ}^{p}E^{∗}, (φ_{1}, …, φ_{p}) ↦ φ_{1}∧…∧φ_{p} mit (φ_{1}∧…∧φ_{p})(v_{1}, …, v_{p}) = det(φ_{i}(v_{j}))_{1≤i,j≤p} definiert eine ℂ–multilineare alternierende Abbildung.

(2) Ist {ψ_{1}, …, ψ_{N}} eine Basis des ℂ–Vektorraums Λ_{ℂ}^{1}E^{∗}, so bilden die For-

men

ψ_{i_{1}} ∧ … ∧ ψ_{i_{p}} (1 ≤ i_{1} < … < i_{p} ≤ N)

eine Basis des ℂ–Vektorraums Λ_{ℂ}^{p}E^{∗}.

(3) Für p, q ≥ 1 gibt es eindeutige ℂ–bilineare Abbildungen

Λ_{ℂ}^{p}E^{∗} × Λ_{ℂ}^{q}E^{∗} ⟶ Λ_{ℂ}^{p+q}E^{∗}, (ω, σ) ⟼ ω ∧ σ,

die mit der Definition in (1) verträglich sind in dem Sinne, dass

(φ_{1} ∧ … ∧ φ_{p}) ∧ (ψ_{1} ∧ … ∧ ψ_{q}) = φ_{1} ∧ … ∧ φ_{p} ∧ ψ_{1} ∧ … ∧ ψ_{q}

für alle φ_{1}, …, φ_{p},; ψ_{1}, …, ψ_{q} ∈ Λ_{ℂ}^{1}E^{∗} gilt. Für a ∈ ℂ und ω ∈ Λ_{ℂ}^{p}E^{∗} definiert man a ∧ ω = ω ∧ a = aω.

(4) Für ω_{1} ∈ Λ_{ℂ}^{p}E^{∗}, ω_{2} ∈ Λ_{ℂ}^{q}E^{∗} und ω_{3} ∈ Λ_{ℂ}^{r}E^{∗} gilt

(ω_{1} ∧ ω_{2}) ∧ ω_{3} = ω_{1} ∧ (ω_{2} ∧ ω_{3}), ω_{1} ∧ ω_{2} = (−1)^{pq}ω_{2} ∧ ω_{1}.

Definition B1. Sei U ⊂ ℝ^{M} eine offene Menge.

a) Eine r–Form über U in N Unbestimmten ist eine Abbildung ω : U → Λ_{ℂ}^{r}E^{∗}.

b) Eine r–Form ω über U wie oben heißt von der Klasse C^{k} (k ∈ ℕ ∪ {∞}), falls die Koordinatenfunktionen von ω bezüglich einer (oder äquivalent bezüglich jeder) Basis des ℂ–Vektorraumes Λ_{ℂ}^{r}E^{∗} in C^{k}(U) liegen. Ist M = 2n und U ⊂ ℂ^{n} ≅ ℝ^{2n} offen, so nennt man ω analytisch, wenn alle Koordinatenfunktionen analytisch sind.

c) Wir schreiben Λ^{r}(dx, C^{k}(U)) (= C_{r}^{k}(U), falls M = N) für den ℂ–Vektorraum aller r–Formen der Klasse C^{k} über U in N Unbestimmten. Hierbei sei dx = (dx_{1}, …, dx_{N}). Entsprechend bezeichnen wir mit Λ^{r}(dx, O(U)) (= O_{r}(U)) den ℂ-Vektorraum aller analytischen r-Formen über einer offenen Menge U ⊂ ℂ^{n}.

Wie üblich schreiben wir die Elemente von Λ^{r}(dx, C^{k}(U)) in der Form

ω = ∑_{|I|=r} ω_{I}dx_{I}.

Hierbei durchläuft I alle Multiindizes 1 ≤ i_{1} < … < i_{r} ≤ N und

dx_{I} = dx_{i_{1}} ∧ … ∧ dx_{i_{r}}.

Das äußere Produkt aus (3) induziert entsprechende äußere Produkte

∧ : Λ^{p}(dx, C^{k}(U)) × Λ^{q}(dx, C^{k}(U)) → Λ^{p+q}(dx, C^{k}(U)).

Im Spezialfall N = M definiert bzw. zeigt man:

(5) Für f ∈ C^{1}(U) sei df : U → Λ_{ℂ}^{1}E^{∗} die 1–Form definiert durch

df(x) = ∑_{j=1}^{N} (∂f/∂x_{j})(x)dx_{j}.

Dies ist genau das totale Differential Df(x) : ℝ^{N} → ℝ^{2} der C^{1}–Funktion f : U → ℂ = ℝ^{2} an der Stelle x.

(6) Für k ≥ 1 bezeichnet man die ℂ–lineare Abbildung d : C_{r}^{k}(U) → C_{r+1}^{k−1}(U),

d ( ∑_{|I|=r} ω_{I}dx_{I} ) = ∑_{|I|=r}(dω_{I}) ∧ dx_{I}

als die äußere Ableitung.

(7) Für V ⊂ ℝ^{M}, U ⊂ ℝ^{N} offen, φ = (φ_{1}, …, φ_{N}) ∈ C^{1}(V, ℝ^{N})mit φ(V) ⊂ U und eine r–Form ω = ∑_{|I|=r} ω_{I}dx_{I} über U heißt die r–Form über V

φ^{∗}(ω) = ∑_{|I|=r} ω_{i_{1},...,i_{r}} ∘ φ dφ_{i_{1}} ∧ … ∧ dφ_{i_{r}}

der ”pull–back” der r–Form ω unter φ.

(8) Pull–back, äußere Ableitung und äußeres Produkt sind ℂ–linear und miteinander verträglich. Sei ω eine r–Form und σ eine s–Form über U. Ist φ wie oben, so gilt

φ^{∗}(ω ∧ σ) = φ^{∗}(ω) ∧ φ^{∗}(σ).

Sind ω ∈ C_{r}^{1}(U), σ ∈ C_{s}^{1}(U), so ist

d(ω ∧ σ) = (dω) ∧ σ + (−1)^{r}ω ∧ dσ.

Ist φ : V → U eine C^{2}–Funktion, so gilt für ω ∈ C_{r}^{1}(U)

φ^{∗}(dω) = dφ^{∗}(ω).

(9) Das pull–back ist transitiv in dem Sinne, dass für C^{1}–Funktionen ψ : W → V, φ : V → U und jede r–Form ω über U gilt

ψ^{∗}(φ^{∗}(ω)) = (φ ∘ ψ)^{∗}(ω).

Ist W ⊂ V und ψ = j : W → V die Inklusionsabbildung, so gilt

φ^{∗}(ω)|W = j^{∗}(φ^{∗}(ω)) = (φ ∘ j)^{∗}(ω) = (φ|W)^{∗}(ω).

(10) Man kann die äußere Ableitung d benutzen, um eine Sequenz von ℂ– Vektorräumen (den de Rham–Komplex) zu definieren. Denn für jede r– Form ω ∈ C_{r}^{2}(U) gilt

d(dω) = 0.

Sei im Folgenden N = M = 2n. Wir identifizieren E = ℝ^{2n} mit ℂ^{n} als ℝ–Vektorraum. In diesem Fall bilden auch die ℝ–linearen Abbildungen

dz_{j} : ℂ^{n} → ℂ, (z_{1}, …, z_{n}) ↦ z_{j} und d\overline{z}_{j} : ℂ^{n} → ℂ, (z_{1}, …, z_{n}) ↦ \overline{z}_{j}

(1 ≤ j ≤ n) eine Basis des ℂ–Vektorraumes Λ_{ℂ}^{1}E^{∗}. Es ist

dz_{j} = dx_{j} + i dy_{j}, d\overline{z}_{j} = dx_{j} − i dy_{j} (1 ≤ j ≤ n),

und für f ∈ C^{1}(U) (U ⊂ ℂ^{n} ≅ ℝ^{2n} offen) erhält man

df(z) = ∑_{ν=1}^{n} \frac{∂f}{∂x_{ν}} (z)dx_{ν} + \frac{∂f}{∂y_{ν}} (z)dy_{ν} = ∂f(z) + \overline{∂}f(z),

wobei die 1–Formen ∂f, \overline{∂}f : U → Λ_{ℂ}^{1}E^{∗} definiert sind durch

∂f(z) = ∑_{ν=1}^{n}(∂f/∂z_{ν})(z)dz_{ν}, \overline{∂}f(z) = ∑_{ν=1}^{n}(∂f/∂\overline{z}_{ν})(z)d\overline{z}_{ν}.

Definition B2. Eine Form vom Typ (oder Bigrad) (p, q) über U ist eine (p+q)– Form ω über U, die sich schreiben lässt als

ω = ∑_{|I|=p} ∑_{|J|=q} f_{I,J}dz_{I} ∧ d\overline{z}_{J},

wobei I und J alle Multiindizes 1 ≤ i_{1} < … < i_{p} ≤ n, 1 ≤ j_{1} < … < j_{q} ≤ n durchlaufen und die Abkürzungen dz_{I} = dz_{i_{1}} ∧ … ∧ dz_{i_{p}}, d\overline{z}_{J} = d\overline{z}_{j_{1}} ∧ … ∧ d\overline{z}_{j_{q}} benutzt wurden. Wir schreiben

C_{p,q}^{k}(U) = {ω; ω ist (p, q)–Form der Klasse C^{k} über U}

für den ℂ–Vektorraum aller (p, q)–Formen der Klasse C^{k} über U. Entsprechend bezeichne O_{p,q}(U) den ℂ-Vektorraum aller analytischen (p, q)-Formen über U.

Bemerkung B3. Der Raum C_{r}^{k}(U) zerfällt in die direkte Summe

C_{r}^{k}(U) = ⨁_{p+q=r} C_{p,q}^{k}(U).

Benutzt man die Verträglichkeit der äußeren Ableitung mit äußeren Produkten,

so erhält man für jede (p, q)–Form ω = ∑_{{|I|=p \atop |J|=q}} ω_{I,J}dz_{I} ∧ d\overline{z}_{J} ∈ C_{p,q}^{1}(U)

dω = ∑_{I,J} dω_{I,J} ∧ dz_{I} ∧ d\overline{z}_{J} = ∑_{I,J} ∂ω_{I,J} ∧ dz_{I} ∧ d\overline{z}_{J} + ∑_{I,J} \overline{∂}ω_{I,J} ∧ dz_{I} ∧ d\overline{z}_{J}.

Definition B4. Für p, q ≥ 0 und k ≥ 1 definiert man ℂ–lineare Abbildungen

\begin{matrix}∂ : C_{p,q}^{k}(U) → C_{p+1,q}^{k−1}(U), ω ↦ ∑_{I,J}(∂ω_{I,J}) ∧ dz_{I} ∧ d\overline{z}_{J}, \\ \overline{∂} : C_{p,q}^{k}(U) → C_{p,q+1}^{k−1}(U), ω ↦ ∑_{I,J}(\overline{∂}ω_{I,J}) ∧ dz_{I} ∧ d\overline{z}_{J} \end{matrix}

und setzt sie fort zu ℂ–linearen Abbildungen

∂, \overline{∂} : C_{r}^{k}(U) → C_{r+1}^{k−1}(U).

Nach Definition gilt auf C_{r}^{k}(U) die Identität d = ∂ + \overline{∂}. Durch Vergleich der Bigrade erhält man unter Benutzung von Bemerkung B3 die folgenden Regeln für den Umgang mit den äußeren Differentialen ∂ und \overline{∂}.

Satz B5. Seien V ⊂ ℂ^{m}, U ⊂ ℂ^{n} offene Mengen, sei φ : V → U holomorph und seien ω ∈ C_{r}^{1}(U), σ ∈ C_{s}^{1}(U) und τ ∈ C_{r}^{2}(U) Formen auf U. Dann gilt

a) ∂(∂τ) = \overline{∂}(\overline{∂}τ) = (∂\overline{∂} + \overline{∂}∂)(τ) = 0;

b) ∂(ω ∧ σ) = (∂ω) ∧ σ + (−1)^{r}ω ∧ ∂σ, \overline{∂}(ω ∧ σ) = (\overline{∂}ω) ∧ σ + (−1)^{r}ω ∧ \overline{∂}σ;

c) ∂(φ^{∗}(ω)) = φ^{∗}(∂ω), \overline{∂}(φ^{∗}(ω)) = φ^{∗}(\overline{∂}ω).

Analog zum de Rham–Komplex aus der reellen Analysis betrachtet man in der komplexen Analysis den \overline{∂}–Komplex.

Korollar B6. Für U ⊂ ℂ^{n} offen und p ∈ ℕ ist

0 ⟶ C_{p,0}^{∞}(U) ⟶^{\overline{∂}} C_{p,1}^{∞}(U) ⟶^{\overline{∂}} … ⟶^{\overline{∂}} C_{p,n}^{∞}(U) ⟶ 0

eine Sequenz von ℂ–Vektorräumen (d.h. alle Abbildungen sind ℂ–linear und das Produkt je zweier aufeinanderfolgender Abbildungen ist 0).

Man nennt die Quotientenvektorräume

H^{r}(C_{p,·}^{∞}(Ω), \overline{∂}) = Ker(C_{p,r}^{∞}(Ω) ⟶^{\overline{∂}} C_{p,r+1}^{∞}(Ω))/Im(C_{p,r−1}^{∞}(Ω) ⟶^{\overline{∂}} C_{p,r}^{∞}(Ω))

die Kohomologiegruppen der \overline{∂}–Sequenz. Wir schreiben

H^{r}(C^{∞}(Ω), \overline{∂}) = H^{r}(C_{0,·}^{∞}(Ω), \overline{∂}).