HILBERTRÄUME DEFINITION UND ELEMENTARE EIGENSCHAFTEN

1. Definition

Definition. Ein Skalarprodukt oder inneres Produkt auf einem ℂ-Vektorraum H ist eine Abbildung (·, ·) : H × H → ℂ, für die gilt:

(i) (αf + βg, h) = α(f, h) + β(g, h) (α, β ∈ ℂ, f, g ∈ H) (ii) (f, g) = \overline{(g, f)} (f, g ∈ H) (iii) (f, f) ≥ 0 (f ∈ H) und (f, f) = 0 ⇔ f = 0.

Ein Prähilbertraum ist ein ℂ-Vektorraum, der mit einem Skalarprodukt versehen ist.

Satz. Sei H ein Prähilbertraum. Dann ist die Abbildung

∥ · ∥ : H → ℝ , ∥f∥ = \sqrt{(f, f)}

eine Norm auf H und es gilt die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

|(f, g)| ≤ ∥f∥∥g∥ (f, g ∈ H).

Definition. Ein Hilbertraum ist ein Prähilbertraum, der bezüglich der obigen Norm vollständig ist.

Im folgenden seien H und K immer Hilberträume.

2. Orthogonalität

Definition.

(a) Zwei Elemente f, g ∈ H heißen orthogonal, falls (f, g) = 0 gilt. Man schreibt hierfür f ⊥ g.

(b) Zwei Teilmengen S, T ⊂ H heißen orthogonal, falls f ⊥ g für alle f ∈ S, g ∈ T gilt. Man schreibt hierfür S ⊥ T.

(c) Für eine Teilmenge T ⊂ H definiert man den Orthogonalraum T^{⊥} durch:

T^{⊥} = {f ∈ H ; f ⊥ g für alle g ∈ T }

Wie man leicht sieht, ist T^{⊥} ein abgeschlossener Unterraum von H.

Satz. Sei M ein abgeschlossener Untervektorraum von H.

(a) Zu jedem f ∈ H gibt es genau ein f_{0} ∈ M mit

∥f − f_{0}∥ = dist(f, M) = inf{∥f − g∥ ; g ∈ M}.

(b) Für f ∈ H und h ∈ M gilt

∥f − h∥ = dist(f, M) ⇔ f − h ∈ M^{⊥}.

Definition. Nach dem letzten Satz existiert zu jedem abgeschlossenen Untervektorraum M von H und jedem f ∈ H genau ein Element f_{0} ∈ M mit f − f_{0} ∈ M^{⊥}. Hierdurch wird eine Abbildung

P : H → H , f ↦ f_{0}

definiert. Man nennt P die Orthogonalprojektion von H auf M.

Satz. Sei M ein abgeschlossener Untervektorraum von H und sei P die Orthogonalprojektion von H auf M. Dann gilt:

(a) P ist eine lineare Abbildung mit ∥P ∥ ≤ 1.

(b) Es gilt P^{2} = P (das heißt, P ist eine Projektion).

(c) Es gilt kerP = M^{⊥} und ranP = M.

(d) 1_{H} − P ist die Orthogonalprojektion auf M^{⊥}.

Definition. Für eine Teilmenge T ⊂ H definiert man die abgeschlossene lineare Hülle ⋁ T als den Durchschnitt über alle abgeschlossenen Untervektorräume von H, die T enthalten.

Satz. Für jede Teilmenge T von H und jeden Untervektorraum M von H gilt:

(a) ⋁ T = T^{⊥⊥} = (T^{⊥})^{⊥} und ⋁ T = \overline{spanT}

(b) \overline{M} = M^{⊥⊥} und (\overline{M})^{⊥} = M^{⊥}

(c) M ist dicht in H (das heißt \overline{M} = H) genau dann, wenn M^{⊥} = \{0\}.

3. Linearformen

Satz. Sei A : H → K eine lineare Abbildung. Dann sind äquivalent:

(i) A ist stetig. (ii) A ist gleichmäßig stetig. (iii) Es gibt ein C > 0 mit ∥Af∥ ≤ C∥f∥ für alle f ∈ H.

Wegen (iii) werden lineare Abbildungen auch als beschränkt bezeichnet.

Definition.

(a) Sei A : H → K eine stetige lineare Abbildung. Dann definiert man die Operatornorm von A als

∥A∥ = inf{C > 0 ; ∥Af∥ ≤ C∥f∥ für alle f ∈ H}.

(b) Die Menge aller stetigen linearen Abbildungen von H nach K wird mit L(H, K) bezeichnet. Abkürzend schreibt man auch L(H) statt L(H, H). Elemente von L(H, K) bezeichnen wir auch als Operatoren.

(c) Ein Operator A ∈ L(H, K) heißt invertierbar, wenn er bijektiv ist und die inverse (automatisch lineare) Abbildung A^{−1} stetig ist, das heißt A^{−1} ∈ L(K, H) gilt.

(d) Die Elemente des Dualraumes L(H, ℂ) von H werden als stetige lineare Funktionale bezeichnet.

Satz.

(a) Für jeden Operator A ∈ L(H, K) gilt

∥A∥ = sup{∥Af∥ ; ∥f∥ ≤ 1} = sup{∥Af∥ ; ∥f∥ = 1}

und

∥Af∥ ≤ ∥A∥∥f∥ für alle f ∈ H.

(b) Die Operatornorm ∥ · ∥ : L(H, K) → ℝ ist eine Norm auf dem ℂ-Vektorraum L(H, K) und L(H, K) versehen mit dieser Norm ist ein Banachraum.

Satz (Riesz-Fréchet). Sei ϕ : H → ℂ ein stetiges lineares Funktional. Dann gibt es genau einen Vektor f_{0} ∈ H mit

ϕ(f) = (f, f_{0}) für alle f ∈ H,

und es gilt ∥ϕ∥ = ∥f_{0}∥.

4. Orthonormalsysteme

Definition. Sei I ≠ ∅ eine Menge. Eine Familie (f_{i})_{i∈I} von Elementen aus H heißt summierbar, wenn es ein f ∈ H gibt, so daß zu jedem ϵ > 0 eine endliche Teilmenge F_{0} von I mit der folgenden Eigenschaft gibt:

Für jede endliche Teilmenge F von I mit F_{0} ⊂ F gilt ∥f − ∑_{i∈F} f_{i}∥ < ϵ.

Existiert ein solches f, so ist es eindeutig bestimmt und wird die Summe der f_{i} genannt und mit

f = ∑_{i∈I} f_{i}

bezeichnet.

Definition. Sei I ≠ ∅ eine Menge. Eine Familie (e_{i})_{i∈I} von Elementen aus H heißt Orthonormalsystem, wenn

(e_{i}, e_{j}) = \{ \begin{matrix}1 & , & falls i = j \\ 0 & , & sonst \end{matrix}

gilt.

Satz (Besselsche Ungleichung). Sei (e_{i})_{i∈I} ein Orthonormalsystem in H. Dann ist für jeden Vektor f ∈ H die Familie (|(f, e_{i})|^{2})_{i∈I} summierbar in ℂ, und es gilt

∑_{i∈I} |(f, e_{i})|^{2} ≤ ∥f∥^{2}.

Ferner ist die Familie ((f, e_{i})e_{i})_{i∈I} summierbar in H.

Satz. Für jedes Orthonormalsystem (e_{i})_{i∈I} sind äquivalent:

(i) ⋁{e_{i} ; i ∈ I} = H. (ii) Für jedes f ∈ H ist die Familie ((f, e_{i})e_{i})_{i∈I} summierbar in H und es gilt

f = ∑_{i∈I}(f, e_{i})e_{i}.

(iii) Für jedes f ∈ H gilt die Parsevalsche Gleichung

∑_{i∈I} |(f, e_{i})|^{2} = ∥f∥^{2}.

(iv) Es ist {e_{i} ; i ∈ I}^{⊥} = {0}.

Ist I = ℕ, so sind (i) bis (iv) äquivalent zu (v) Für jedes f ∈ H konvergiert die Reihe ∑_{i=0}^{∞}(f, e_{i})e_{i} und es gilt

f = ∑_{i=0}^{∞}(f, e_{i})e_{i}.

Definition. Ein Orthonormalsystem heißt vollständig oder Orthonormalbasis, wenn es eine der äquivalenten Bedingungen aus dem letzen Satz erfüllt.

Satz. Jedes Orthonormalsystem in einem Hilbertraum läßt sich zu einer Orthonormalbasis erweitern. Insbesondere besitzt jeder (nichttriviale) Hilbertraum eine Orthonormalbasis.

5. Operatoren auf Hilberträumen

Definition. Seien A ∈ L(H, K) und g ∈ K. Dann ist die Abbildung

H → ℂ , f ↦ (Af, g)

ein stetiges lineares Funktional. Nach dem Satz von Riesz-Fréchet gibt es ein eindeutig bestimmtes Element A^{∗}g ∈ H mit

(Af, g) = (f, A^{∗}g) (f ∈ H).

Die so definierte Abbildung A^{∗} : K → H heißt die adjungierte Abbildung von A.

Satz.

(a) Für jeden Operator A ∈ L(H, K) ist die adjungierte Abbildung A^{∗} stetig linear, und es gilt

(i) ∥A∥ = ∥A^{∗}∥ (ii) A^{∗∗} = (A^{∗})^{∗} = A. Weiterhin ist die Abbildung

L(H, K) → L(K, H) , A ↦ A^{∗}

antilinear, das heißt, für alle A, B ∈ L(H, K) und α ∈ ℂ gilt

(αA + B)^{∗} = \overline{α}A^{∗} + B^{∗}.

(b) Für zwei Operatoren A, B ∈ L(H) gilt: (AB)^{∗} = B^{∗}A^{∗}.

(c) Ist A ∈ L(H) invertierbar, so ist auch A^{∗} invertierbar, und es gilt

(A^{∗})^{−1} = (A^{−1})^{∗}.

Definition. Ein Operator A ∈ L(H) heißt

(i) Hermitesch oder selbstadjungiert, falls A^{∗} = A gilt. (ii) normal, falls A^{∗}A = AA^{∗} gilt. (iii) unitär, falls AA^{∗} = A^{∗}A = 1_{H} gilt.

Satz.

(a) Für einen Operator A ∈ L(H, K) sind äquivalent:

(i) A ist isometrisch, das heißt ∥Af∥ = ∥f∥ für alle f ∈ H. (ii) (Af, Ag) = (f, g) für alle f, g ∈ H. (iii) A^{∗}A = 1_{H}.

(b) Für einen Operator A ∈ L(H) sind äquivalent:

(i) A ist unitär.

(ii) A ist invertierbar mit A^{−1} = A^{∗}. (iii) A ist surjektiv und isometrisch. (iv) A ist normal und isometrisch.