L^{p}-RÄUME

Es sei X = (X, A, μ) ein Maßraum. Wir bezeichnen für 1 ≤ p < ∞ mit L^{p}(X) die Menge aller meßbaren p-integrablen Funktionen von X nach ℂ, d.h.

L^{p}(μ) = L^{p}(X) = {f : X → ℂ meßbar; ∫_{X} |f|^{p}dμ < ∞}.

Ferner sei für f : X → ℝ das wesentliche Supremum von f definiert als

ess sup(f) = inf{M ∈ (−∞, ∞) ; f ≤ M μ-fast überall}

und

L^{∞}(X) = {f : X → ℂ meßbar ; ess sup(|f|) < ∞}.

Man definiert für f ∈ L^{p}(X)

∥f∥_{p} := (∫_{X} |f|^{p}dμ)^{\frac{1}{p}} (1 ≤ p < ∞)

bzw. für f ∈ L^{∞}(X)

∥f∥_{∞} := ess sup(|f|)

und beweist folgende Aussagen:

(a) Es gelte \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1. Für f ∈ L^{p}(X) und g ∈ L^{q}(X) ist f · g ∈ L^{1}(X), und es gilt

∥f · g∥_{1} ≤ ∥f∥_{p} ∥g∥_{q} (Höldersche Ungleichung).

(b) Für f, g ∈ L^{p}(X) ist auch f + g ∈ L^{p}(X), und es gilt

∥f + g∥_{p} ≤ ∥f∥_{p} + ∥g∥_{p} (Minkowskische Ungleichung).

Die so definierten L^{p}(X) (1 ≤ p ≤ ∞) sind Vektorräume und die Abbildungen ∥ · ∥_{p} sind Halbnormen auf L^{p}(X).

Es sei nun 1 ≤ p ≤ ∞ fest. Sei

N_{p} = {f ∈ L^{p}(X) ; ∥f∥_{p} = 0}.

Mit der Minkowskischen Ungleichung folgt sofort, daß N_{p} ein Untervektorraum von L^{p}(X) ist. Der Quotientenraum

L^{p}(X) = L^{p}(X)/N_{p}

versehen mit

∥f + N_{p}∥_{p} := ∥f∥_{p}

ist ein normierter Raum, der sogar vollständig ist. Im Spezialfall p = 2 ist L^{2}(X), versehen mit dem Skalarprodukt

⟨f + N_{p}, g + N_{p}⟩ := ∫_{X} f\overline{g} dμ,

ein Hilbertraum.

Die Elemente von L^{p}(X) sind also Mengen von Funktionen, die sich nur auf einer μ-Nullmenge unterscheiden und daher alle die gleiche p-Norm besitzen. Man sagt aber häufig, daß eine Funktion f : X → ℂ in L^{p}(X) liegt, und meint damit, daß f ∈ L^{p}(X) gilt.