UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Michael Wernet �

Übungen zur Vorlesung Mathematik für Informatiker I

Wintersemester 2011/2012

Blatt 10 Abgabetermin: Freitag, 13.01.2012

Aufgabe 36 (1+1+1+1=4 Punkte)

Zeigen Sie, dass für alle x, y > 0 und a, b ∈ ℝ gilt

(i) x^{a}y^{a} = (xy)^{a},

(ii) x^{a}x^{b} = x^{a+b},

(iii) (x^{a})^{b} = x^{ab},

(iv) 1^{a} = 1 und x^{0} = 1.

Aufgabe 37 (2+2=4 Punkte)

(a) Sei a ∈ ℝ_{>0} \ {1}. Begründen Sie, dass die Abbildung

ℝ → ℝ_{>0}, x ↦ a^{x}

bijektiv ist.

(b) Seien a, b ∈ ℝ_{>0} \ {1} und x, y ∈ ℝ_{>0}. Zeigen Sie, dass

log_{a}(xy) = log_{a}(x) + log_{a}(y)

und dass

log_{a}(x) = log_{b}(x) log_{a}(b).

Aufgabe 38 (4 Punkte)

Für t ∈ ℝ seien cos t, sin t wie in der Vorlesung definiert durch

cos t = Re(e^{it}), sin t = Im(e^{it}),

wobei e^{z} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{z^{n}}{n!} sei für z ∈ ℂ. Zeigen Sie, dass für s, t ∈ ℝ gilt

cos(s ± t) = cos s cos t ∓ sin s sin t,
sin(s ± t) = sin s cos t ± cos s sin t.

(bitte wenden)

Aufgabe 39^{∗} (4^{∗} Punkte)

Zeigen Sie, dass für alle x ∈ ℝ mit 0 < |x| ≤ 1 gilt

|\frac{e^{x} − 1}{x} − 1| ≤ |x|e.

(Hinweis: Argumentieren Sie wie im Beweis von Satz 12.1 (ii).)

Hinweise:

Neben den bereits bekannten Zulassungsbedingungen ist für die Hauptklausur eine Anmeldung über das HISPOS-System verpflichtend. Diese kann bis zwei Wochen vor der Hauptklausur vorgenommen und/oder widerrufen werden.

Als einziges Hilfsmittel ist bei den Klausuren ein handbeschriebenes DIN A4-Blatt, Vorderund Rückseite, erlaubt. Darüber hinausgehende Hilfsmittel, insbesondere Vorlesungsmitschriften, Bücher oder Taschenrechner, sind nicht erlaubt.

Wir Wünschen Ihnen frohe Weihnachten und einen guten Start ins neue Jahr!!!