UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Michael Wernet �

Übungen zur Vorlesung Mathematik für Informatiker I

Wintersemester 2011/2012

Blatt 11 Abgabetermin: Freitag, 20.01.2012

Aufgabe 40 (1+1+1+1=4 Punkte)

Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen:

(i) f_{1} : (1, ∞) → ℝ, x ↦ ln(ln(x)),
(ii) f_{2} : (0, ∞) → ℝ, x ↦ −\frac{1}{x^{4}} e^{4x^{2}+3x+3},
(iii) f_{3} : (0, ∞) → ℝ, x ↦ ln (\sqrt{1 + cos^{2}(x)}) ,
(iv) f_{4} : (0, ∞) → ℝ; x ↦ x^{sin^{2}(x)}.

Aufgabe 41 (2+2=4 Punkte)

Zeigen Sie:

(a) Sei D ⊂ ℝ. Sind f_{1}, …, f_{n} : D → ℝ_{>0} differenzierbar, so gilt:

(ln(f_{1} ⋯ f_{n}))′ = ∑_{i=1}^{n} \frac{f_{i}′}{f_{i}}.

(b) Für alle n ∈ ℕ, n ≥ 1, lautet die n-te Ableitung von \sqrt{2x}

(−1)^{n+1} (∏_{k=1}^{n−1}(2k − 1)) (2x)^{− \frac{2n−1}{2}} (x > 0).

Aufgabe 42 (4 Punkte)

Zeigen Sie, dass die Funktion

f : ℝ → ℝ, f(x) = \{ \begin{matrix}x^{2} cos \frac{1}{x} & ; x ≠ 0 \\ 0 & ; x = 0 \end{matrix}

in jedem Punkt x ∈ ℝ differenzierbar ist, aber die Ableitung f′ unstetig ist in x = 0.

(bitte wenden)

Aufgabe 43 (2+2=4 Punkte)

(a) Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte

(i) lim_{n→∞} n (\sqrt{1 + \frac{1}{n}} − 1) ,
(ii) lim_{n→∞} n sin \frac{1}{n}.

(Hinweis: Schreiben Sie die Folgenglieder als Differenzenquotienten.)

(b) Zeigen Sie:

lim_{n→∞} (1 + \frac{1}{n})^{n} = e

(Hinweis: Schreiben Sie n ln (1 + \frac{1}{n} ) als Differenzenquotient.)

Aufgabe 44^{∗} (1^{∗}+1^{∗}+2^{∗}=4^{∗} Punkte)

Beweisen Sie die Gültigkeit der Formeln

(i)^{∗} ∑_{k=1}^{n} k\binom{n}{k} = n2^{n−1} (n ≥ 1),
(ii)^{∗} ∑_{k=1}^{n}(−1)^{k−1}k\binom{n}{k} = 0 (n ≥ 2),
(iii)^{∗} ∑_{k=2}^{n} k(k − 1)\binom{n}{k} = n(n − 1)2^{n−2} (n ≥ 2).

Differenzieren Sie dazu die Funktion (1 + x)^{n}.

Aufgabe 45^{∗} (4^{∗} Punkte)

Seien f, g :]a, b[→ ℝ differenzierbar in x_{0} ∈]a, b[ und seien f(x_{0}) = 0 = g(x_{0}), g′(x_{0}) ≠ 0. Zeigen Sie:

lim_{x→x_{0}} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f′(x_{0})}{g′(x_{0})}.

Hinweise:

Neben den bereits bekannten Zulassungsbedingungen ist für die Hauptklausur eine Anmeldung über das HISPOS-System verpflichtend. Diese kann bis zwei Wochen vor der Hauptklausur vorgenommen und/oder widerrufen werden.

Als einziges Hilfsmittel ist bei den Klausuren ein handbeschriebenes DIN A4-Blatt, Vorderund Rückseite, erlaubt. Darüber hinausgehende Hilfsmittel, insbesondere Vorlesungsmitschriften, Bücher oder Taschenrechner, sind nicht erlaubt.