UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Michael Wernet �

Übungen zur Vorlesung Mathematik für Informatiker I

Wintersemester 2011/2012

Blatt 12 Abgabetermin: Freitag, 27.01.2012

Aufgabe 46 (1+1+2+2=6 Punkte)

Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte

(a) lim_{x→0} \frac{e^{−x^{2}} − 1}{sin(x)},
(b) lim_{x→∞} x ln (1 + \frac{1}{x}) ,
(c) lim_{x→0} \frac{ln(1 + x + x^{2}) − x}{x^{2}},
(d) lim_{x→0} \frac{2 cos(x) + e^{x} + e^{−x} − 4}{x^{4}}.

Aufgabe 47 (4 Punkte)

Es soll eine zylindrische Dose mit Volumen V hergestellt werden. Welche Höhe h und welchen Durchmesser d muss die Dose haben, wenn möglichst wenig Material verbraucht werden soll?

Aufgabe 48 (2+2=4 Punkte)

Diskutieren Sie die folgenden Funktionen, d.h. bestimmen Sie den Definitionsbereich, alle Nullstellen, lokalen Minima und Maxima, Wendepunkte sowie das asymptotische Verhalten. Fertigen Sie jeweils eine Skizze an:

(a) f_{1}(x) = x^{3} − 6x^{2} + 5,
(b) f_{2}(x) = xe^{\frac{1}{x}} .

Aufgabe 49^{∗} (2^{∗}+2^{∗}=4^{∗} Punkte)

Zeigen Sie

(a)^{∗} ln(x) ≤ x − 1 für alle x ∈ (0, ∞),
(b)^{∗} 1 + x ≤ e^{x} für alle x ∈ ℝ.

Aufgabe 50^{∗} (4^{∗} Punkte)

Sei D ⊂ ℝ und seien f, g : D → ℝ n-mal differenzierbar. Zeigen Sie, dass

(fg)^{(n)} = ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}f^{(k)}g^{(n−k)}.

(bitte wenden)

Hinweise:

Neben den bereits bekannten Zulassungsbedingungen ist für die Hauptklausur eine Anmeldung über das HISPOS-System verpflichtend. Diese kann bis zwei Wochen vor der Hauptklausur vorgenommen und/oder widerrufen werden.

Als einziges Hilfsmittel ist bei den Klausuren ein handbeschriebenes DIN A4-Blatt, Vorderund Rückseite, erlaubt. Darüber hinausgehende Hilfsmittel, insbesondere Vorlesungsmitschriften, Bücher oder Taschenrechner, sind nicht erlaubt.