UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Michael Wernet �

Übungen zur Vorlesung Mathematik für Informatiker I

Wintersemester 2011/2012

Blatt 13 Abgabetermin: Freitag, 03.02.2012

Aufgabe 51 (2+2+2^{∗}=4+2^{∗} Punkte)

Gegeben sei die Funktion f :] − 1, ∞[→ ℝ, f(x) = ln(1 + x).

(a) Bestimmen Sie die Taylorreihe von f im Punkt x = 0.

(b) In welchen Punkten x ∈ ℝ konvergiert die Reihe aus Teil (a)?

(c)^{∗} Sei R der Konvergenzradius der Taylorreihe aus Teil (a). Konvergiert die Reihe auf dem Intervall ] − R, R[ gegen f?

Aufgabe 52 (4 Punkte)

Berechnen Sie

\frac{d^{2008}}{dx^{2008}} (\frac{1}{1 + x^{2}} )|_{x=0} .

Aufgabe 53 (4 Punkte)

Sei a > 0. Berechnen Sie das Integral ∫_{0}^{a} x^{3}dx mit Hilfe von Riemannschen Summen bezüglich der äquidistanten Teilungen T = (\frac{ia}{n})_{i=0}^{n}.

(Hinweis: Übungsblatt 1.)

Aufgabe 54^{∗} (4^{∗} Punkte)

Sei f : ℝ → ℝ definiert durch f(x) = e^{− \frac{1}{x^{2}}} für x ≠ 0 und f(0) = 0. Zeigen Sie, dass für alle n ∈ ℕ ein Polynom p_{n} existiert mit

f^{(n)}(x) = p_{n} (\frac{1}{x}) e^{− \frac{1}{x^{2}}} für alle x ∈ ℝ \ \{0\}

und dass f^{(n)}(0) = 0 ist.

Aufgabe 55^{∗} (4^{∗} Punkte)

Seien a, c ∈ ℝ_{>0}. Berechnen Sie das Integral

∫_{0}^{a} c^{x}dx

mit Hilfe der äquidistanten Teilungen T = (\frac{ia}{n})_{i=0}^{n}.

(Hinweis: Satz 1.9.)

(bitte wenden)

Hinweise:

Neben den bereits bekannten Zulassungsbedingungen ist für die Hauptklausur eine Anmeldung über das HISPOS-System verpflichtend. Diese kann bis zwei Wochen vor der Hauptklausur vorgenommen und/oder widerrufen werden.

Als einziges Hilfsmittel ist bei den Klausuren ein handbeschriebenes DIN A4-Blatt, Vorderund Rückseite, erlaubt. Darüber hinausgehende Hilfsmittel, insbesondere Vorlesungsmitschriften, Bücher oder Taschenrechner, sind nicht erlaubt.