UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier Dipl.-Math. Michael Wernet �

Übungen zur Vorlesung Mathematik für Informatiker I

Wintersemester 2011/2012

Blatt zur Vorbereitung auf die Klausur Abgabetermin: /

Aufgabe 1

Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass für alle n ≥ 2 gilt

∑_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} > \sqrt{n}.

Aufgabe 2

Sei p eine Primzahl und seien a, b ∈ ℕ. Zeigen Sie:

(a + b)^{p} ≡ a^{p} + b^{p} mod p.

Aufgabe 3

Seien a_{0}, b_{0} ∈ [0, ∞) und

a_{n+1} = \sqrt{a_{n}b_{n}}, b_{n+1} = \frac{1}{2}(a_{n} + b_{n}).

Zeigen sie, dass die Folgen (a_{n})_{n≥0}, (b_{n})_{n≥0} konvergieren und dass lim_{n→∞} a_{n} = lim_{n→∞} b_{n} ist.

(Hinweis: Aufgabe 24.)

Aufgabe 4

Bestimmen Sie die Menge aller x ∈ ℝ, in denen die folgenden Reihen konvergieren

(a) ∑_{n=1}^{∞} \frac{x^{n}}{x^{2n} + 1},
(b) ∑_{n=1}^{∞} (1 + \frac{1}{n})^{n} (x + 2)^{n}.

Aufgabe 5

(a) Sei f : [0, 1] → ℝ beschränkt. Zeigen Sie, dass die Funktion g : [0, 1] → ℝ, g(x) = xf(x) stetig in 0 ist und dass die Funktion h : [0, 1] → ℝ, h(x) = x^{2}f(x) differenzierbar in 0 ist.

(b) Zeigen Sie, dass |x| ≤ | tan(x)| für alle x ∈] − \frac{π}{2} , \frac{π}{2} [ gilt.

(bitte wenden)

Aufgabe 6

Sei f : ℝ → ℝ unendlich oft differenzierbar mit f(−x) = −f(x) für alle x ∈ ℝ. Zeigen Sie, dass f^{(n)}(0) = 0 für alle geraden natürlichen Zahlen n.

Aufgabe 7

Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte:

(a) lim_{x↓0} \frac{ln(x)}{cot(x)},
(b) lim_{x→0} (\frac{sin(x)}{x})^{\frac{1}{1−cos(x)}} ,
(c) lim_{x↑ \frac{π}{2}} \frac{tan(3x)}{tan(x)}.

Aufgabe 8

(a) Bestimmen Sie das Monotonieverhalten und alle lokalen Extrema der Funktion

f : (−∞, 0) → ℝ, f(x) = \frac{ln(−x)}{x}.

(b) Seien f, g : [a, b] → ℝ differenzierbar mit f(a) = f(b) = 0. Zeigen Sie, dass ein t ∈]a, b[ existiert mit f′(t) = g′(t)f(t).

(Hinweis: Betrachte F (x) = f(x)e^{−g(x)}.)

Aufgabe 9

Berechnen Sie folgende Integrale

(a) ∫_{0}^{1} x^{2}e^{−x}dx,
(b) ∫_{1}^{e} cos (\frac{π}{2} ln(x)) dx,
(c) ∫_{0}^{1} \frac{2x − 3}{2x + 1}dx.

Hinweise:

Als einziges Hilfsmittel ist bei den Klausuren ein handbeschriebenes DIN A4-Blatt, Vorderund Rückseite, erlaubt. Darüber hinausgehende Hilfsmittel, insbesondere Vorlesungsmitschriften, Bücher oder Taschenrechner, sind nicht erlaubt.