Aufgabe 1 (3+3=6 Punkte)

Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass für alle n ∈ ℕ \ {0} gilt

(a) ∑_{k=1}^{n} \frac{k}{2^{k}} = 2 − \frac{n + 2}{2^{n}},
(b) ∏_{k=1}^{n}(1 + a_{k}) ≥ 1 + ∑_{k=1}^{n} a_{k} für a_{1}, …, a_{n} ∈ ℝ_{≥0}.

Aufgabe 2 (4 Punkte)

Zeigen Sie, dass für jedes n ∈ ℕ = {0, 1, …} die Zahl 5^{n} + 7 durch 4 teilbar ist.

(Hinweis: 5 = 4 + 1.)

Aufgabe 3 (3+4=7 Punkte)

Sei x_{0} ∈ [0, \frac{1}{2}] und x_{n} = x_{n−1}^{2} + \frac{1}{4} für n ≥ 1.

(a) Untersuchen Sie die Folge (x_{n})_{n≥0} auf Monotonie.

(b) Zeigen Sie, dass lim_{n→∞} x_{n} = \frac{1}{2} ist.

Aufgabe 4 (4+4=8 Punkte)

Bestimmen Sie die Menge aller x ∈ ℝ, für die die folgenden Reihen konvergieren:

(a) ∑_{n=1}^{∞} \frac{(2x)^{n}}{n^{2}} ,
(b) ∑_{n=1}^{∞} \frac{x^{n}}{n} .

Aufgabe 5 (3+3=6 Punkte)

Gegeben seien Funktionen f, g, h : ℝ → ℝ.

(a) Sei g stetig in 0, f differenzierbar in 0 mit f(0) = 0. Zeigen Sie, dass fg differenzierbar in 0 ist mit (fg)′(0) = f′(0)g(0).

(b) Sei −x^{2} ≤ h(x) ≤ x^{2} für alle x ∈ ℝ. Zeigen Sie, dass h differenzierbar ist im Punkt 0 und berechnen Sie h′(0).

Aufgabe 6 (2+3+3=8 Punkte)

Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen

(a) f(x) = cos(2e^{x}) (x ∈ ℝ),
(b) g(x) = x^{(x^{2})} (x > 0),
(c) h(x) = arctan \sqrt{x^{4} − 1} (|x| > 1).

(bitte wenden)

Aufgabe 7 (2+2+3=7 Punkte)

Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte

(a) lim_{x→2} \frac{(x + 1)^{2}(x − 2)(x + 3)}{(x^{2} − 4)(x + 5)},
(b) lim_{x→0} \frac{e^{(x^{3})} − 1}{x},
(c) lim_{x→0} \frac{x − sin(x)}{x sin(x)}.

Aufgabe 8 (3+4=7 Punkte)

(a) Bestimmen Sie das Monotonieverhalten und die lokalen Extrema der Funktion

f : ℝ → ℝ, f(x) = x^{3} − 3x^{2} + 1.

(b) Zeigen Sie, dass für alle x, y ∈ ℝ mit x > y > 0 gilt

e^{x}(x − y) > e^{x} − e^{y} > e^{y}(x − y).

Aufgabe 9 (2+2+3=7 Punkte)

Berechnen Sie die Integrale

(a) ∫0^{\frac{π}{2}} x^{2} cos(x)dx,
(b) ∫_{0}^{1} \frac{x^{2} + 4}{x^{2} + 1}dx,
(c) ∫_{e}^{e^{e}} \frac{dt}{t(ln(t))^{2}} .

Viel Erfolg!!!