Aufgabe 1 (4 Punkte)

Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass für alle n ∈ ℕ mit n ≥ 2 gilt

∏_{k=2}^{n} (1 − \frac{1}{k^{2}} ) = \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{n}) .

Aufgabe 2 (4 Punkte)

Zeigen Sie, dass für jedes n ∈ ℕ = {0, 1, …} die Zahl 7^{n} + 11 durch 6 teilbar ist.

Aufgabe 3 (3+3=6 Punkte)

Sei x_{1} ∈ (0, ∞) und x_{n+1} = (\frac{1}{2} + \frac{1}{n+1}) x_{n} für n ≥ 1.

(a) Untersuchen Sie die Folge (x_{n})_{n≥1} auf Monotonie.

(b) Zeigen Sie, dass die Folge (x_{n})_{n≥1} konvergiert und bestimmen Sie ihren Grenzwert.

Aufgabe 4 (4+4=8 Punkte)

Bestimmen Sie die Menge aller x ∈ ℝ, für die die folgenden Reihen konvergieren:

(a) ∑_{n=1}^{∞} \frac{x^{n}}{\sqrt{n}},
(b) ∑_{n=0}^{∞} \frac{x^{2n}}{(1 + x^{2})^{n}} .

Aufgabe 5 (6 Punkte)

Untersuchen Sie die Funktion f : ℝ → ℝ

f(x) = \{ \begin{matrix}x sin (\frac{1}{x}) & ; x ≠ 0 \\ 0 & ; x = 0 \end{matrix}

auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit in jedem Punkt ihres Definitionsbereichs. Berechnen Sie die Ableitung von f in jedem Punkt, in dem sie existiert.

Aufgabe 6 (2+3+4=9 Punkte)

Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen

(a) f(x) = \frac{x}{1 + x^{2}} (x ∈ ℝ),
(b) g(x) = e^{x} sin(cos(x)) (x ∈ ℝ),
(c) h(x) = ln(1 + x^{x}) (x > 0).

(bitte wenden)

Aufgabe 7 (2+2+3=7 Punkte)

Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte

(a) lim_{x→1} \frac{cos (\frac{π}{2} x)}{ln(x)},
(b) lim_{x→0} \frac{x}{sin(x) + x},
(c) lim_{x→0} \frac{1 − cos(x)}{x^{2}}.

Aufgabe 8 (3+3=6 Punkte)

Es sei f : ℝ → ℝ definiert durch f(x) = xe^{−x^{2}}

(a) Bestimmen Sie das Monotonieverhalten und die lokalen Extrema von f.

(b) Gibt es Stellen, an denen f ein absolutes Minimum bzw. Maximum besitzt? Begründen Sie Ihre Antwort.

Aufgabe 9 (2+2+2=6 Punkte)

Berechnen Sie die Integrale

(a) ∫_{0}^{1} t^{2}e^{t}dt,
(b) ∫_{0}^{1} te^{(t^{2})}dt,
(c) ∫_{0}^{1} \frac{t + 5}{t + 3}dt.

Viel Erfolg!!!