Aufgabe 1 (4 Punkte)

Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass für alle n ∈ ℕ mit n ≥ 2 gilt

∑_{i=n+1}^{2n} \frac{1}{i} > \frac{13}{24}.

Aufgabe 2 (5+3=8 Punkte)

Stellen Sie für die folgenden Aussagen die Wahrheitstafeln auf und entscheiden Sie, ob es sich um Tautologien handelt:

(a) (X ⇒ (Y ⇒ Z)) ⇔ ((X ∧ Y) ⇒ Z),

(b) (A ∧ B) ∨ (A ⇒ B).

Aufgabe 3 (2+2+3=7 Punkte)

Seien f : X → Y und g : Y → Z Abbildungen. Zeigen Sie:

(a) Sind f und g injektiv, so ist g ∘ f injektiv.

(b) Sind f und g surjektiv, so ist g ∘ f surjektiv.

(c) Sind f und g bijektiv, so ist g ∘ f bijektiv und es gilt (g ∘ f)^{−1} = f^{−1} ∘ g^{−1}.

Aufgabe 4 (4 Punkte)

Zeigen Sie, dass für alle n ∈ ℕ die Zahl 3^{(2^{n})} − 1 durch 2^{n} teilbar ist.

Aufgabe 5 (8 Punkte)

Bestimmen Sie den größten gemeinsamen Teiler d = ggT(99, 78) und ganze Zahlen u, v ∈ ℤ mit d = u · 99 + v · 78.

Aufgabe 6 (6 Punkte)

Bestimmen Sie die Menge aller x ∈ ℝ für die gilt

|2x − 1| > |4x − 6|.

(bitte wenden)

Aufgabe 7 (4+2+3=9 Punkte)

Seien a_{0} = \frac{1}{2} und a_{n+1} = (2 − a_{n})a_{n} für n ≥ 0.

(a) Zeigen Sie, dass 0 < a_{n} < 1 für alle n ∈ ℕ gilt.

(b) Zeigen Sie, dass die Folge (a_{n})_{n∈ℕ} konvergiert.

(c) Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge (a_{n})_{n∈ℕ}.

Aufgabe 8 (2+2+2=6 Punkte)

Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz

(a) ∑_{n=2}^{∞} \frac{n}{n+200},

(b) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{7+3^{n}},

(c) ∑_{n=0}^{∞} \frac{(n!)^{2}}{(2n)!}.

Aufgabe 9 (3+2+3=8 Punkte)

Bestimmen Sie die Menge aller x ∈ ℝ, in denen die folgenden Reihen konvergieren:

(a) ∑_{n=1}^{∞} n^{2}x^{n},

(b) ∑_{n=1}^{∞} \frac{x^{n}}{2^{n}},

(c) ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n−1}}{n+|x|}.

Viel Erfolg!!!