Das Tensorprodukt

Seien E, F k-Vektorräume. Dann ist

E ∘ F := {u : E × F → k; u(x, y) = 0 für fast alle (x, y) ∈ E × F }

ein Untervektorraum des Vektorraumes aller Abbildungen von E×F nach k. Für (x_{0}, y_{0}) ∈ E×F sei x_{0} ∘ y_{0} ∈ E ∘ F definiert durch

(x_{0} ∘ y_{0})(x, y) = \{ \begin{matrix}1 & , falls (x, y) = (x_{0}, y_{0}) \\ 0 & , sonst \end{matrix} ((x, y) ∈ E × F).

Ist nun N ⊂ E ∘ F die lineare Hülle der Elemente

(x_{1} + x_{2}) ∘ y − x_{1} ∘ y − x_{2} ∘ y,
(αx) ∘ y − α(x ∘ y),
x ∘ (y_{1} + y_{2}) − x ∘ y_{1} − x ∘ y_{2} und
x ∘ (αy) − α(x ∘ y)  (x, x_{1}, x_{2} ∈ E, y, y_{1}, y_{2} ∈ F, α ∈ k),

so nennen wir den Vektorraum

E ⊗ F := E ∘ F/N

das Tensorprodukt der Vektorräume E und F. Für x ∈ E und y ∈ F definieren wir ferner x ⊗ y := [x ∘ y] ∈ E ⊗ F und beachten, dass E ⊗ F = span{x ⊗ y; x ∈ E, y ∈ F } ist.

Lemma. Seien E, F, G, E_{1}, E_{2}, F_{1}, F_{2} k-Vektorräume.

(a) Die Abbildung E × F → E ⊗ F, (x, y) ↦ x ⊗ y ist bilinear, und zu jeder bilinearen Abbildung B : E × F → G existiert genau eine lineare Abbildung Ḃ : E ⊗ F → G mit

B(x, y) = Ḃ(x ⊗ y)

für alle (x, y) ∈ E × F.

(b) Sind T : E_{1} → E_{2} und S : F_{1} → F_{2} linear, so existiert genau eine lineare Abbildung T ⊗ S : E_{1} ⊗ F_{1} → E_{2} ⊗ F_{2} mit

(T ⊗ S)(x ⊗ y) = (T x) ⊗ (Sy)

für alle x ∈ E_{1} und y ∈ F_{1}.

Beweis. (a) Nach Definition ist E × F → E ⊗ F, (x, y) ↦ x ⊗ y bilinear. Ist B : E × F → G bilinear, so ist die (wohldefinierte!) Abbildung

B̃ : E ∘ F → G, ∑_{i=1}^{r} α_{i}(x_{i} ∘ y_{i}) ↦ ∑_{i=1}^{r} B(α_{i}x_{i}, y_{i})

linear mit B̃|_{N} = 0. Folglich ist

Ḃ : E ⊗ F → G, [ξ] ↦ B(ξ)

eine (wohldefinierte!) lineare Abbildung mit B(x, y) = Ḃ(x ⊗ y) für alle (x, y) ∈ E × F. Die Eindeutigkeit folgt unmittelbar aus E ⊗ F = span{x ⊗ y; x ∈ E, y ∈ F }.

(b) Seien T : E_{1} → E_{2} und S : F_{1} → F_{2} linear. Dann ist die Abbildung

E_{1} × F_{1} → E_{2} ⊗ F_{2}, (x, y) ↦ (T x) ⊗ (Sy)

bilinear, und nach Teil (a) existiert eine eindeutige lineare Abbildung R : E_{1} ⊗F_{1} → E_{2} ⊗F_{2} mit

R(x ⊗ y) = (T x) ⊗ (Sy)

für alle x ∈ E_{1} und y ∈ F_{1}.

Bemerkung. Genauso zeigt man, dass zu jeder bi-antilinearen Abbildung B : E × F → G genau eine antilineare Abbildung Ḃ : E ⊗ F → G existiert mit

B(x, y) = Ḃ(x ⊗ y)

für alle (x, y) ∈ E × F.