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Arnold-Janssen-Gymnasium St.Wendel
Universität des Saarlandes · Fachrichtung Mathematik

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Forschung / Veröffentlichungen

Mathematik ist faszinierend. Der Wunsch, an ihrer Entstehung (oder Entdeckung, das ist Ansichtssache) mitzuwirken, hat mich seit meiner Oberstufenzeit am Gymnasium nicht mehr losgelassen. Dass es mir vergönnt ist, auch einige Jahre nach Ende meiner beruflichen Tätigkeit an der Uni (seit 2002 bin ich Lehrer am AJG) noch mathematische Forschung betreiben zu können, empfinde ich als großes Glück.
Mein Arbeitsgebiet ist die mehrdimensionale Operatorentheorie. Insbesondere interessieren mich die operatorentheoretischen Anwendungsmöglichkeiten abstrakter innerer Funktionen. Hier eine Auswahl an Veröffentlichungen:

  • On the structure of Hankel algebras [PDF]

    Integr. Equ. Operator Theory 80(4) (2014), 511-525   [Info]
    Abstract. Let H2 denote the Hardy space on the unit disc D and let A be a closed subalgebra of L strictly containing H. The Hankel algebra HA is by definition the smallest closed subalgebra of B(H2) containing all Toeplitz and Hankel operators with symbols from A. We establish a short exact sequence of the form 0 → C → HA → A → 0 generalizing the corresponding sequence for the underlying Toeplitz algebra, where C denotes the commutator ideal of HA. This extends a result of Power [14] to the non-selfadjoint setting. By a similar method we obtain a decomposition theorem for the set of all operators X in B(H2) that are simultaneously asymptotically Toeplitz and Hankel (in the sense of Barria-Halmos [2] and Feintuch [11], respectively). As an application of the above short exact sequence we show that every derivation on HA is a commutator with an operator S in B(H2) and maps into the commutator ideal.

  • Derivations on Toeplitz algebras [PDF]

    (with J.Eschmeier) Canad. Math. Bull. Vol. 57(2) (2014), 270-276   [Info]
    Abstract. Let H2(Ω) be the Hardy space on a strictly pseudoconvex domain Ω in ℂn, and let A denote the subalgebra of L(∂Ω) consisting of all L-functions f with compact Hankel operator Hf. Given any closed subalgebra B ⊂ A containing C(∂Ω), we describe the first Hochschild cohomology group of the corresponding Toeplitz algebra T(B) ⊂ B(H2(Ω)). In particular we show that every derivation on T(A) is inner. These results are new even for n = 1, where it follows that every derivation on the Toeplitz algebra T(H+C) over the unit disc is inner, while there are non-inner derivations on T(H + C(∂Ω)) over the unit ball Bn in dimension n > 1.

  • On the essential commutant of analytic Toeplitz operators associated with spherical isometries [PDF]

    (with J.Eschmeier and K.Everard) J. Functional Analysis 261 (2011), 1361–1383   [Info]
    Abstract. Let T ∈ B(H)n be an essentially normal spherical isometry with empty point spectrum on a separable complex Hilbert space H, and let AT ⊂ B(H) be the unital dual operator algebra generated by T. In this article we show that every operator S ∈ B(H) in the essential commutant of AT has the form S=X+K with a T-Toeplitz operator X and a compact operator K. As an application we determine the essential commutant of the multiplication tuple with the coordinate functions Mz on the Hardy space H2 over a smoothly bounded strictly pseudoconvex domain and thus thus extend results proved by Davidson (1977) for the unit disc an Ding and Sun (1997) for the unit ball.

  • On the slice map problem for H(Ω) and the reflexivity of tensor products [PDF]

    Proc. Amer. Math. Soc. 137(9) (2009), 2969-2978   [Info]
    Abstract. Let Ω be a bounded convex or strictly pseudoconvex open subset of ℂn. Given a separable complex Hilbert space K and a weak* closed subspace M of B(K) we show that the space H(Ω) of all bounded M-valued holomorphic functions on Ω possesses the tensor product representation H(Ω,M) = H(Ω) ⊗ M, where ⊗ denotes the normal spatial tensor product. As a consequence we deduce that H(Ω) has Kraus' property Sσ. This implies that, if S in B(H)n is a subnormal tuple of class A on a strictly pseudoconvex or bounded symmetric domain and T in B(K)m is a commuting tuple with AlgLat(A(T))=A(T), where A(T) denotes the unital dual operator algebra generated by T, then the tensor product tuple (S⊗1,1⊗T) is reflexive.

  • Unitary extensions of Hilbert A(D)-modules split [PDF]

    (with J. Eschmeier) J. Functional Analysis 238 (2006), 565-577   [Info]
    Abstract. For an open set D in ℂn, let A(D) denote the algebra of all continuous complex-valued functions on the closure of D which are holomorphic on D (equipped with the supremum norm). The Shilov boundary of D will be denoted by S in the sequel.
    A Hilbert A(D)-module H is a Hilbert space H together with a continuous bilinear module multiplication A(D) x H → H. In the case of the disc algebra (i.e. D = {z in ℂ, |z| < 1}) it has been shown by Carlson, Clark, Foias and Williams in 1994 that each short exact sequence 0 → H → J → K → 0 of Hilbert A(D)-modules splits in the category of A(D)-modules if the module structure on H or K can be extended to a C(S)-module structure, C(S) denoting the continuous functions on S.
    In this article we give a generalization of the above splitting result to the case where D is a strictly pseudoconvex bounded open set or a bounded symmetric and circled domain. This generalizes a result of Guo from 1999 who proved an analogous splitting result in the subcategory of normal (i.e. weak* continuous) Hilbert A(D)-modules over the unit ball D=Bn.

  • Spherical isometries are reflexive [PDF]

    Integr. Equ. Operator Theory 52(4) (2005), 599-604   [Info]
    Abstract. Let H denote a separable complex Hilbert space. A commuting tuple T=(T1, ..., Tn) of bounded linear operators on H is called a spherical isometry if T*1T1 + T*2T2 + ... + T*nTn = 1H. In this article it is proved that each spherical isometry on a separable complex Hilbert space is reflexive.

    Given a family S of linear operators on a complex Hilbert space H, let AlgLat(S) denote the set of all continuous linear operators on H leaving invariant each S-invariant subspace. Moreover, let W(S) be the smallest WOT-closed subalgebra of L(H) containing S and the identity on H. Recall that the family S is called reflexive if AlgLat(S) = W(S). Note that, for a normal operator N, von Neumann's double-commutant theorem can be stated as the reflexivity assertion AlgLat(N,N*)=W(N,N*). For this reason, reflexivity is often thought of as a non-selfadjoint version of von Neumann's double commutant theorem.

    The first observations concerning reflexivity date back to 1966, when Sarason proved that analytic Toeplitz operators and families of commuting normal operators are reflexive. Since then, a large number of operator classes have shown to be reflexive by many authors. We just want to mention those results which are directly connected with the present article: In 1971, Deddens showed that each isometry is reflexive. Bercovici (1994) and independently Li and McCarthy (1997) extended this result to the case of arbitrary commuting families of isometries. In 1999 Müller and Ptak modified Bercovici's methods in order to attack the reflexivity problem for spherical isometries. Along this way they succeeded to show that spherical isometries are hyporeflexive, i.e. the intersection of AlgLat(T) with the commutant of T is equal to W(T).

    Our approach uses Bercovici's result on commuting isometries and the fact that the operator algebra A(T) weak* generated by a pure spherical isometry T is also weak* generated by the set of all isometries contained in it. This can be proved using the result of Athavale that each spherical isometry T is subnormal with normal spectrum contained in the unit sphere and the existence of abstract inner functions (due to Aleksandrov) in the restriction algebra of T.

  • E(Tn)-subscalar n-tuples and the Cesaro operator on Hp [PDF]

    Annales Universiatatis Saraviensis No. 10 (2000)   [Info]
    Abstract. Let ℰ(Tn) denote the Frechet algebra of all infinitely differentiable complex-valued functions on the n-torus (i.e. the n-fold cartesian product of the unit circle with itself). An n-tuple S of bounded linear operators on a Banach space X is said to be ℰ(Tn)-subscalar if there exist a Banach space Y containing (an isometric copy of) X and a commuting n-tuple U of continuous linear operators on Y such that U possesses an ℰ(Tn)-functional calculus and U|X=S (i.e. S coincides with the restriction of U to X).

    In this article, various characterizations of ℰ(Tn)-subscalar n-tuples are obtained inspired by the characterization of subscalar operators due to Eschmeier and Putinar (see Chapter 6 in the monograph Spectral theory and analytic sheaves).

    Our criteria lead to a very simple characterization of ℰ(Tn)-subscalar weighted Hilbert-space shifts by means of growth conditions on the norm and the minimal modulus of their powers. Very recently, Catalin Badea found out that, even for a general Banach space multi-operator, this growth behaviour is necessary and sufficient for ℰ(Tn)-subscalarity.

    In the single operator case, the methods used to solve the above characterization problem can be modified to obtain a sufficient condition for operators having property (ß) modulo a compact subset of the unit circle. This can be applied to show that the Cesaro Operator has property (ß) modulo 0 on Hp.

    As far as I know, the question whether the Cesaro operator on Hp (p different from 2) satisfies (ß) is still open. (For p=2, the Cesaro operator is even subnormal by a result of Kriete and Trutt.)


Unterricht

  • Matheboard und Funktionenplotter

    Auf dem Matheboard kann man - dank des fabelhaften Interfaces MathQuill - mathematische Formeln ganz einfach online erstellen und editieren, speichern, austauschen... Zum Darstellen von Graphen empfehle ich diesen minimalistischen Funktionenplotter.

  • Quadratische Gleichungen

    Aus einem Projekt im 11er Informatik-Kurs 2017 ist eine kleine Web-App zum Lösen quadratischer Gleichungen entstanden. Der Einzelschrittmodus eignet sich prima, um das Lösen von quadratischen Gleichungen zu üben.

  • Körper aus Würfeln bauen

    Hier könnt ihr Eure geometrische Vorstellung schulen: Auf der Seite "Fun with Cubes" könnt ihr online Würfelkörper basteln (und die Bilder dann abspeichern). Dabei lässt sich das Würfelgebäude drehen und von allen Seiten betrachten. Viel Spaß dabei!

  • Rechentraining

    Hier kann man sich Zufallsaufgaben (wahlweise mit Lösungen) zur Addition/Subtraktion, zum kleinen und großen Einmaleins erzeugen lassen.

  • Grundlagen der Programmierung in C#

    Diese kleine Übersicht soll den Einstieg in die Programmierung mit C# erleichtern. Den Unterricht kann sie nicht ersetzen, vielmehr ist sie zum schnellen Nachschlagen gedacht.

  • Physik G-Kurs

    Aufgabenblätter und Unterlagen findet ihr im zugehörigen Moodle-Kurs.


Arbeitsgemeinschaften und Projekte am AJG

Eine besondere Form des Lernens bieten Arbeitsgemeinschaften (AGs). Losgelöst von Lehrplänen und Klassenarbeiten kann an Projekten angegangen werden, was das Schüler- und Lehrerherz begehrt.

  • AG E-Gitarrenbau

    Warum gerade E-Gitarren? Die Antwort ist einfach: "Heranwachsende Jungen sind fasziniert davon, laut, ungezügelt, […] und grenzenlos narzisstisch zu sein. Das kann man ja mal mit einer Blockflöte probieren!" schreibt einer, der es wissen muss: Walter   [...]Kraushaar - ein für seine innovativen Entwürfe bekannter E-Gitarrenbauer aus Aachen.
    Nach erfolgreichen eigenen Versuchen (siehe Nr.1 und Nr.2) habe ich im Herbst 2011 eine AG E-Gitarrenbau für Schülerinnen und Schüler ab Klassenstufe 10 gegründet.

    Wer teilnehmen möchte, muss kein Gitarrenheld sein: Gleich mehrere tolle Instrumente stammen von Schülern, die noch nie Gitarre gespielt haben. Vielmehr sollte man Spaß am Handwerk haben, darüber hinaus Ausdauer, Geduld, Liebe zum Detail, Genauigkeit, Augenmaß, Kreativität und - nicht zuletzt - die Bereitschaft, viel Zeit zu investieren. Ich möchte niemanden abschrecken, aber wer schnell und preisgünstig zu einer E-Gitarre kommen möchte, sollte lieber gleich bei thomann bestellen.

    Ach ja: Die Kosten belaufen sich im Wesentlichen auf ca. 50,- € für das Korpusholz plus ca. 100,- € für Hals und Hardware. Die Werkzeuge hat der Förderverein finanziert. Eine Garantie dafür, ob das Instrument spielbar sein wird, kann ich leider nicht geben!

    Hier geht's zum ausführlicheren Bericht.

  • AG Informatik

    Hier wird programmiert! Fortgeschrittenen erhalten Unterstützung bei der Bearbeitung eigener Projekte oder bei der Suche nach interessanten Fragestellungen aus den Bereichen Mathematik, Physik oder Informatik. Für Einsteiger (ab Klassenstufe 8) biete ich je nach Interessenlage der Teilnehmer Kurse zu folgenden Themen an:   [...]
    - Internetprogrammierung (HTML, CSS, Javascript, PHP),
    - Programmierung in Purebasic (moderner, portabler und blitzschneller Basic-Dialekt)
    - Programmierung in Delphi. Projekt: Ein mathematischer Parser in Delphi (2013).

    - Grundlagen der Programmierung in C# (2014)
    - Ein Online-Fractal-Generator (2014)

  • AG Jugend forscht

    Achtung: Mathe-Physik-Informatik! Hier darf nur klicken, wer davor keine Angst hat!   [...]
    Du hast schon eine Projektidee aus den oben genannten Bereichen oder findest Naturwissenschaften spannend und bist auf der Suche nach einem Forschungsauftrag? Dann ist "Jugend forscht" genau das Richtige für dich. Einfach ansprechen oder per Mail anfragen.

    Beispiele erfolgreicher Jugend forscht-Arbeiten vom AJG:

    2012 - The Voice of Vocabulary (von Marvin Scherschel)
    Mit seiner innovativen Idee zum Vokabellernen und ihrer Umsetzung in der Programmiersprache Delphi hat Marvin Scherschel 2012 die saarländische Jury begeistert. Sein Projekt "The voice of vocabulary" brachte ihm nicht nur den ersten Preis beim saarlädischen Jugend forscht-Landeswettbewerb in der Sparte Informatik ein, sondern auch die Teilnahme an der Intel Science and Engineering Fair in Phoenix/Arizona. Marvin hat sein Projekt mittlerweile unter www.vofy.de der Allgemeinheit zugänglich gemacht.

    2014 - Leben im Sechseck (von Jannik Kulesha)
    Wie gedeiht und vergeht eine Bakterienpopulation? Diese Frage lässt sich erstaunlich genau mit einem "zellulären Automaten" beantworten. So heißt ein mathematisches Simulationsverfahren, bei dem in einem schachbrettartigen Muster Zellen platziert werden. Startet die Simulation, beginnt eine Wechselwirkung der Zellen untereinander, in deren Verlauf manche absterben, andere weiterleben und sich vermehren. Obwohl diese Simulation simplen Regeln gehorcht, können sich verblüffend realitätsnahe Strukturen bilden.
    In seiner Jugend-forscht-Arbeit "Leben im Sechseck" untersuchte Jannik Kulesha, welche Auswirkungen eine Veränderung der Zellform mit sich bringt: Anstatt - wie üblich - quadratische Zellen zu verwenden, ging er erstmals von einer sechseckigen Form aus. Mit einer von ihm entwickelten Software hat er die neuen Möglichkeiten zellulärer Automaten in dieser "Bienenwaben-Geometrie" ausgelotet. Und die sind durchaus vielversprechend, dass er dafür auf Landesebene den ersten Preis im Fachgebiet Informatik erhielt.

  • Projekte zur Schulraumgestaltung

    Wenn Schüler zu solchen Aktionen freiwillig in den Ferien zur Schule kommen und Abiturienten sich auch nach ihren Prüfungen noch blicken lassen, muss es wohl Spaß machen: Die Flure und Räume des AJG durch "Wandgemälde" mitzugestalten.


Hobbies

  • Acrylmalerei

    Zum Malen mit Acrylfarben kam ich durch Zufall. Der Zufall hieß Jan Küntzer, ist heute   [...]mein Schwager, und schenkte mir zu meinem 25. Geburtstag ein Grundfarben-Set. Ein weiterer Zufall schenkte mir 5 Jahre später die passenden Pinsel.

    Hier einige meiner "Werke".

  • E-Gitarre

    Mein erstes selbst verdientes Geld nach dem Abi habe ich gleich in eine (vermutlich   [...]völlig überteuerte) gebrauchte Stratocaster-Kopie investiert. Für den Gitarrenunterricht hat's dann leider nicht mehr gereicht. Also: learning by doing, und dabei ist es bis heute geblieben, obwohl sich mein Equipment verbessert hat: Gibson SG Special Faded und Fender Mustang II (übrigens ein kleiner Alleskönner für ebenso kleines Geld).

    Hier noch zwei Tipps für "Hausmusikanten", die wie ich ohne Band unterwegs sind:

    1) mit der kostenlosen Software Audacity kann man Soundfiles langsamer ablaufen lassen, ohne dabei die Tonhöhe zu ändern! Das bedeutet: Das Tempo kann dem Übungsstand angepasst werden, gleichzeitig hat man aber das Feeling des Originalsongs. Wahnsinn!

    2) Die Band ins Wohnzimmer holt www.guitarbackingtrack.com, eine schier unendliche Sammlung von Soundtracks, bei denen lediglich die Gitarrenspur fehlt. Let's rock!

  • E-Gitarrenbau

    Eine E-Gitarre taugt nicht nur als Musikinstrument: Da sie relativ einfach aufgebaut   [...]ist, lässt sie jedes Bastlerherz höher schlagen. Vom simplen Austausch einzelner Teile bis hin zum kompletten Eigenbau ist alles möglich, ohne dass man gleich Spezialwerkzeuge benötigt. Aber Achtung: Hoher Suchtfaktor!

    Hier meine beiden selbst entworfenen und im Eigenbau angefertigten Gitarren: Ein Klick auf die Gitarre führt zum zugehörigen Baubericht! Eine Sammlung von Links zum E-Gitarrenbau findet sich hier.

    Gitarre Nr. 1           Gitarre Nr. 2

  • Laufen

    Mit dem Dillinger Firmenlauf im Juni 2011 fing es an: Ein Kollege hatte mich dazu   [...]überredet, fürs AJG zu starten. Obwohl diese jährlich stattfindende Veranstaltung mit 5km ein "Jedermannslauf" ist, war für mich nach Jahren sportlicher Abstinenz das Training hart... Aber es hat sich gelohnt: Seitdem laufe ich regelmäßig Strecken zw. 10 und 15km, weil ich gemerkt habe, dass man dabei wunderbar abschalten kann. Wenn sich die Gelegenheit ergibt (oder der Kollege wieder anfragt), nehme ich auch mal an einem Wettkampf teil. Mein bisher größter Erfolg: Halbmarathon in 1h39min (Saarschleife 2013)

  • Plastik-Modellbau

    Männer werden sieben. Danach wachsen sie nur noch. Wie sonst ist es   [...]zu erklären, dass sich manche von ihnen die Zeit mit dem möglichst originalgetreuen Nachbau von Flugzeug- bzw. Raumschiffmodellen vertreiben, die dann wahlweise als Kinderspielzeug mit niedriger Lebenserwartung oder Staubfänger enden?

  • Programmieren

    Ich muss 12 oder 13 gewesen sein, als mein Patenonkel mir zu Weihnachten   [...]meinen ersten Computer geschenkt hat: Einen ATARI 800XL. Nach Einschalten meldete er sich mit "READY" und wartete auf Tastatureingaben. (Eine Maus gab es damals noch nicht in dieser Preisklasse.) Mein erster Befehl war SETCOLOR, damit konnte man die Hintergrund- und Schriftfarbe einstellen. Es folgten PRINT und INPUT, und schon ließen sich erste einfache Programme schreiben. Im Gegensatz zu meinen Eltern gehorchte der ATARI mir aufs Wort: Ich war begeistert! Programmieren in Basic, Pascal, Delphi, C und (seit kurzem) auch PHP (diese Seite beweist es) wurde zu einem intensiv betriebenen Hobby. Wären Mathe und Physik nicht noch interessanter, hätte ich wohl Informatik studiert.

    Ein Fraktal-Generator in Purebasic
    Ein mathematischer Parser in Delphi
    Ein Online-Fraktal-Generator in Javascript

  • RC-Modellbau (Quadrocopter)

    Mein Interesse am RC-Modellbau wurde im April 2013 durch eine Ankündigung im Magazin "c't Hardware Hacks" geweckt: Die Vorschau auf ein Quadrocopter-   [...]Selbstbau-Projekt ließ mein Bastlerherz höher schlagen. Es war nicht schwer, eine Klasse für das Thema zu begeistern, und sogleich wurden Pläne für eine Projektwoche geschmiedet. Etwas voreilig, wie sich herausstellte, denn der Quadrocopter-Beitrag erschien gar nicht in der angekündigten Ausgabe. Und so stand ich nun bei den Schülern im Wort, ohne auch nur die leiseste Ahnung vom Modellbau zu haben...
    Die geplante Projektwoche fand dann doch im Juni 2013 statt, allerdings wurde der Quadrocopter nicht von Grund auf selbst entworfen, sondern - jeder fängt mal klein an - ein vorgefertigter Bausatz nach Anleitung zusammengebaut: Auch das war schon eine kleine Herausforderung für alle Beteiligten.
    Mittlerweile habe ich einen eigenen Quadrocopter gebaut (der c't-Artikel ist mit etwas Verspätung nun doch erschienen), und schon einige Akkuladungen Flugerfahrung gesammelt. Hier meine Anleitung zum Selber-Bauen..



Valid XHTML 1.0 Transitional letzte Aktualisierung: 01.10.2017