Fachrichtung 6.1 Mathematik

Pfadintegrale in der Stochastik und in der Theorie partieller Differentialgleichungen
SoSe 2016

• Aktuelles.

  1. Beginn: 19.04.2016

• Dozent.

  Dr. Yana A. Kinderknecht , Geb. E2 4, Zim. 435, Tel.: 302-4743
  

• Inhalt.

  Zusammenhänge zwischen Evolutionsgleichungen, stochastischen Prozessen und Pfadintegralen werden dargestellt. Sowohl Pfadintegrale bezüglich eines Wahrscheinlichkeitsmaßes (solche Integrale nennt man Feynman--Kac Formeln (FKF)), als auch Pfadintegrale bezüglich eines Feynman-Pseudomaßes (solche Integrale nennt man Feynman Pfadintegrale (FPI)) werden diskutiert. Eine Übersicht über verschiedene Ansätze zur Definition und Behandlung von Pfadintegralen wird gegeben.
  
  Kapitel I: Brownsche Bewegung (Mathematisches Modell für Brownsche Bewegung, verschiedene Konstruktionen einer Brownschen Bewegung, Brownsche Bewegung als Martingal, Brownsche Bewegung als Markov Prozess, Brownsche Bewegung und die Wärmeleitungsgleichung, Feynman-Kac Formel für ein Teilchen in einem äußeren Skalarfeld: Martingalmethode).
  
  Kapitel II: Feynman-Kac Formel für ein Teilchen in einem äußeren Skalarfeld: Analytische Methoden (Halbgruppentheorie, der Satz von Chernoff, Feynman-Kac Formel für Kato-zerlegbare Potentiale, Darstellung der Lösung der Schrödinger-Gleichung durch die Trotter-Formel).
  
  Kapitel III: Das Itô-Kalkül und seine Anwendungen (Das Itô-Integral und seine Eigenschaften, die Itô-Formel für Itô-Prozesse; Feynman-Kac Formel für ein Teilchen in einem äußeren Skalarfeld, Feynman-Kac-Itô Formel für ein Teilchen in Magnet- und Skalarfeldern, Feynman-Kac Formel für die Schrödinger-Gleichung: Der Trick von Doss).
  
  

• Bedingungen.

  1. Zeit und Ort: Di, 12:00 -14:00, SR 10 Geb. E2 4.

  2. Vorkenntnisse: Analysis I-II, Funktionalanalysis I, Maßtheorie, Wahrscheinlichkeitstheorie.

• Schein.
  

  1. Leistungspunkte: 4,5 LP.

  2. Scheinkriterien: 1. Erreichen der Zulassung (Regelmäßige Teilnahme und Mitarbeit in den Übungen (Anwesenheitskontrolle), Erreichen von mindestens 50% der möglichen Punkte). 2. Erfolgreiche Teilnahme an mündlicher Prüfung.




• Literatur.
  
  [1] Simon B. Functional Integration and Quantum Physics. 1996.
  [2] Reed M., Simon B. Methods of Modern Mathematical Physics. Vol. 2. 1975.
  [3] Karatzas I., Shreve S.E. Brownian Motion and Stochastic Calculus. 1988.
  [4] Schilling R.L., Partzsch L. Brownian motion. An introduction to stochastic processes. 2012.
  [5] Freidlin M. Functional Integration and Partial Differential Equations. 1985.
  [6] Lörinczi J., Hiroshima F., Betz V. Feynman-Kac-Type Theorems and Gibbs Measures on Path Space. 2011.