UNIVERSITÄT DES SAARLANDES Fachrichtung 6.1 Mathematik Prof. Dr. Ernst-Ulrich Gekeler

Universität des Saarlandes, Gebäude 27 - Postfach 15 11 50 - D-66041 Saarbrücken

Saarbrücken, den 2. Juni 2003 Telefon: 0681/302-2494 (3430) Fax: 0681/302-4443 e-mail: gekeler@math.uni-sb.de

Vorlesung Elementare Zahlentheorie SS 2003

Das Riemann-Stieltjes-Integral

I = [a, b] ⊂ ℝ, f, α : I ⟶ ℝ

Δ = (x_{0}, …, x_{n}) Unterteilung von I, a = x_{0} < x_{1} < ⋯ < x_{n} = b

\underline{ξ} = (ξ_{0}, …, ξ_{n−1}) Zwischenwerte, x_{i} ≤ ξ_{i} ≤ x_{i+1} (0 ≤ i < n)

RS(\underline{ξ}, Δ, f, α) := ∑_{0≤i<n} f(ξ_{i})[α(x_{i+1}) − α(x_{i})]

(1) ∫_{a}^{b} f(x)dα(x) := lim_{|Δ|→0} RS(\underline{ξ}, Δ, f, α)

(falls dieser Limes existiert unabhängig von der Wahl der Folge von Unterteilungen Δ, deren Feinheit |Δ| gegen 0 geht, und unabhängig von der Wahl der Zwischenwerte \underline{ξ}).

(2) ∫_{a}^{b} f(x)dα(x)

existiert, falls f stetig ist und α beschränkte Variation hat, oder falls α stetig ist und f beschränkte Variation hat.

(3) ∫_{a}^{b} f(x)dα(x)

ist in beiden Argumenten f, α linear.

(4) Ist f stetig und α von beschränkter Variation, so gilt für alle c ∈ (a, b):

∫_{a}^{b} f(x)dα(x) = ∫_{a}^{c} f(x)dα(x) + ∫_{c}^{b} f(x)dα(x)

(5) Ist f stetig und α eine Treppenfunktion mit Sprungstellen x_{1}, …, x_{n} ∈ (a, b), so gilt

∫_{a}^{b} f(x)dα(x) = ∑_{1≤i≤n} f(x_{i})[α(x_{i}+) − α(x_{i}−)].

Dabei ist für eine Funktion β und x ∈ ℝ:

β(x+) = lim_{{h→0 \atop h>0}} β(x + h), β(x−) = lim_{{h→0 \atop h>0}} β(x − h).

(6) Ist f stetig und α stetig differenzierbar, so gilt

∫_{a}^{b} f(x)dα(x) = ∫_{a}^{b} f(x)α′(x)dx.

(7) Ist f von beschränkter Variation und α stetig, so gilt:

∫_{a}^{b} f(x)dα(x) = f(b)α(b) − f(a)α(a) − ∫_{a}^{b} α(x)df(x).

(8) Sei f stetig und α von beschränkter Variation. Für

F (x) := ∫_{a}^{x} f(t)dα(t) (x ∈ I)

gelten:

(i) F hat beschränkte Variation (ist aber i.a. nicht stetig!); (ii) F (x+) − F (x) = f(x)[α(x+) − α(x)], x ∈ [a, b); (iii) F (x) − F (x−) = f(x)[α(x) − α(x−)], x ∈ (a, b].

Schreibe ∫_{a+}^{b} f(x)dα(x) für F (b) − F (a+), ∫_{a}^{b−} f(x)dα(x) für F (b−)

etc. Beweise und Ergänzungen finden sich z.B. in D.V. Widder, The Laplace Transform, Princeton University Press 1946, Kapitel I.

Dazu gehören insbesondere:

• Abschätzungen für ∫_{a}^{b} f(x)dα(x), falls Abschätzungen für f und α

vorliegen;

• Vertauschung von Summen mit Integralen;

• Substitutionsregel;

• uneigentliche RS-Integrale