Elementare Zahlentheorie

gehört bei Prof. Dr. Gekeler SS 2003

30. Juli 2003

Das Manuskript wurde erstellt von Herrn Christian Schmaltz und, was die Formulierung von Definitionen, Sätzen und Beweisen betrifft, von Prof. Gekeler autorisiert. Allerdings gibt es den Verlauf der Vorlesung nicht vollständig wieder, da zahlreiche Beispiele, Erinnerungen und mündliche Zwischenbemerkungen nicht aufgenommen wurden.

1 Teilbarkeit in ℤ, Primzahlen

Definitionen 1.1 (Grundlegende Definitionen): Eine Gruppe ist eine Menge G mit einer Verknüpfung (Multiplikation)

G × G → G, (x,y) ↦ x · y = xy

mit

1. ∃ 1_{G} = 1 ∈ G mit 1 · x = x · 1 = x ∀x ∈ G

2. ∀x,y,z ∈ G ist (xy)z = x(yz)

3. ∀x ∈ G ∃ y ∈ G mit xy = yx = 1

y heißt die Inverse x^{−1} von x. Es gilt:

x^{2} = x · x, x^{3} = x · x · x, x^{n} = x · ...· x n ∈ ℕ x^{0} := 1, x^{−n} = \underbrace{x^{−1} x^{−1} ··· x^{−1}}_{n−Faktoren}

Eine Gruppe (G,·) heißt kommutativ oder abelsch, falls zusätzlich gilt:

xy = yx ∀ x,y ∈ G

Abelsche Gruppen werden meist additiv geschrieben:

G × G → G (x,y) ↦ x + y,

Neutralelement: 0_{G}= 0 Inverse: −x \underbrace{x + x + ...+ x}_{n− Summanden} = nx (n ∈ ℤ) Ist G eine nicht kommutative Gruppe, so gilt i.a. \underline{nicht}

(xy)^{n} = x^{n}y^{n}, aber x^{n+m} = (x^{n})(x^{m}) gilt immer.

Ein Ring R ist eine Menge mit zwei Verknüpfungen “+”, “·” mit 1. (R,+) ist abelsche Gruppe

2. ∃ Neutralelement 1_{R}= 1 bzgl. “ ·′′ 1 ≠ 0

3. “·” ist assoziativ

4. ∀ x,y,z ∈ R gelte x(y + z) = xy + xy und (y + z)x = yx + zx 2 1 TEILBARKEIT IN ℤ, PRIMZAHLEN

R heißt kommutativ, falls zusätzlich gilt:

∀ x,y ∈ R istxy = yx

Ein Körper ist ein Ring (K,+,·), für den gilt:

1. K\{0} ist bgzl. “·” eine kommutative Gruppe.

Äquivalent zu 1. sind 1′und 1′′:

1′ : ∀ 0 ≠ x ∈ K ∃ y ∈ K mitxy = 1.

1′′ ∀ a,b ∈ K,a ≠ 0 hat ax = b eine wohlbestimmte Lösung x in K.

Sind G und H multiplikative Gruppen, so ist ein Homomorphismus φ: G ↦ H eine Abbildung mit

1. φ(xy) = φ(x)φ(y) ∀x,y ∈ G

2. φ(1_{G}) = 1_{H}

Sind R, S Ringe, so ist ein (Ring-)Homomorphismus von R nach S eine Abbildung φ: R → S mit

1. φ(x + y) = φ(x) + φ(y)

2. φ(0_{R}) = 0_{S}

3. φ(xy) = φ(x)φ(y)

4. φ(1_{R}) = 1_{S}

Eine Untergruppe der Gruppe (G,·) ist eine Teilmenge H von G mit

1. H ≠ ∅

2. ∀ x,y ∈ H ist xy^{−1} ∈ H

Ein Unterring (S,+,·) des Rings (R,+,·) ist eine Teilmenge S mit 1. (S,+) ist Untergruppe von (R,+)

2. ∀ x,y ∈ S ist xy ∈ S

3. 1_{R}∈ S

Ein Ideal von (R,+,·) ist eine Teilmenge ℑ von R mit 1. (ℑ,+) ist Untergruppe von (R,+)

2. ∀ x ∈ R, ∀ y ∈ ℑ sind xy und yx ∈ ℑ

Beachte: Unterring ⇏ Ideal und Ideal ⇏ Unterring. Ist G eine Gruppe, H_{i}(i ∈ I) seien Untergruppen. Dann ist ⋂ {H_{i}|i ∈ I} wieder eine Untergruppe von G. Entsprechendes gilt für “Unterringe” bzw. “Ideale” eines Rings R. Sei jetzt R ein kommutativer Ring und A ⊂ R eine Teilmenge.

⟨A⟩:= {x ∈ R | ∃ endlich viele a_{1},...,a_{n} ∈ A,r_{1},...,r_{n} ∈ R mitx = r_{1}a_{1}+ r_{2}a_{2}+ ...r_{n}a_{n}}

ist ein Ideal von R, und zwar das kleinste Ideal von R, das A umfaßt. ⟨A⟩ heißt das von A erzeugte Ideal. Ein Ideal der Form

R_{a} = ⟨{a}⟩ = {ra|r ∈ R},a ∈ R

heißt Hauptideal.

Zahlenbereiche 1.2 (ℕ,ℤ,ℂ...):

• ℕ = {1,2,3,...},ℕ_{0} = {0,1,2,3,...},ℤ,ℚ,ℝ,ℂ = {a + bi|a,b ∈ ℝ, i^{2} = −1}

• Auf ℂ (und damit auf ℝ) existiert der Absolutbetrag: |a + bi|:= \sqrt{a^{2}+ b^{2}} . Er erfüllt |x + y| ≤ |x| + |y| (△-Ungleichung).

• ℝ und ℂ sind Cauchy-vollständig.

• Ist ∅ ≠ S ⊂ ℕ, so existiert min(S) = x in S, d.h. ∀ y ∈ S ist x ≤ y.

• Ist ∅ ≠ S ⊂ ℕ beschränkt, so ∃ max(S).

• Ist S ⊂ ℕ mit

1. 1 ∈ S

2. n ∈ S ⇒ n + 1 ∈ S

so ist S = ℕ (vollst. Induktion) Definition 1.3 (Teilbarkeit, prim, zusammengesetzt):

• Seien a, b ∈ ℤ. b teilt a:⇔ ∃ c ∈ ℤ: a = bc Schreibweise: b| a, “b Teiler von a”

• a ist Primzahl oder prim :⇔ {a,b > 1;(b| a) ⇒ (b = a)}

• a heißt zusammengesetzt :⇔ a ∈ ℕ\{1},a nicht prim.

• Setze ℙ:= {2,3,5,7,11,...} für die Menge der Primzahlen.

• Beachte: ℕ = ℙ ˙∪{1} ˙∪{a ∈ ℕ|a zusammengesetzt}. Satz 1.4 (Primfaktorzerlegung): Jedes k ∈ ℕ ist Produkt von Primzahlen. Beweis : n = 1 und n = 2 sind klar. Für n > 2 ist n entweder prim oder n = ab, a,b > 1 und a,b < n. Nach Induktionsvoraussetzung sind a,b Produkte von Primzahlen, also auch n = ab.

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Definition 1.5 (ggT): a,b ∈ ℤ(a,b) ≠ (0,0). Setze (a,b) := ggT (a,b) := max{n ∈ ℤ|n| a ∧ n| b}.

a und b heißen teilerfremd (relativ prim, koprim), falls (a,b) = 1.

Satz 1.6 (Euklid): Sind f,g ∈ ℤ,f ≥ 0,g > 0. Dann ∃! q,r ≥ 0 mit (f = gq + r) ∧ (r < q)

Beweis : \underline{Eindeutigkeit}: Seien f = gq + r = g′q + r′zwei derartige Paare (g,r),(g′,r′). O.B.d.A gelte r ≤ r′. Dann ist (g − g′)q = r′− r.

Wäre g − g′≠ 0, so q ≤ |(g − g′)q| ≤ r′< q. Widerspruch.

Deshalb gilt g = g′und r = r′. \underline{Existenz}: (Induktion nach f) f < q: g = 0,r = f

Ist f ≥ q, so folgt: f − g = g′q + r ⇒ f = \underbrace{(g′+ 1)}_{g}q + r.

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4 1 TEILBARKEIT IN ℤ, PRIMZAHLEN

Satz 1.7 (Ideale in ℤ): Jedes Ideal des Ringes ℤ ist ein Hauptideal. Beweis : Sei ℑ ⊂ ℤ ein Ideal. ℑ = {0} = ℤ · 0 ist Hauptideal. Ist ℑ ≠ {0}, so sei q ∈ ℑ,q > 0, minimal mit diesen Eigenschaften.

\underline{Beh.}: ℑ = ℤq.

Ist nämlich f ∈ ℑ, o.B.d.A f ≥ 0, so ∃! (g,r) wie in 1.6 mit f = gq + r

Es ist r ∈ ℑ und 0 ≤ r < q.

Nach Konstruktion ist also r = 0, und deshalb f = gq. Damit ist die Behauptung gezeigt, und damit der Satz.

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Satz 1.8 (Summe von Idealen in ℤ): Seien a,b ∈ ℤ, nicht beide 0. Dann ist

ℤa + ℤb = ⟨{a,b}⟩ = ⟨ggT (a,b)⟩ = ℤggT (a,b)

Beweis : Nach 1.7 ist ℤa + ℤb = ℤc für ein c ∈ ℤ,c ≥ 0. Wegen a ∈ ℤc gilt c| a, ebenso c| b. Also c ≤ g nach Definition von g = (a,b). Andererseits folgt aus g| a und g| b:

g| ax + by ∀ x,y ∈ ℤ → g| c.

Zusammen folgt c = g.

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Korollar 1.9 (Lineare Gleichungen): Die Gleichung ax + by = n (a,b,n ∈ ℤ gegeben) hat genau dann ganzzahlige Lösungen (x,y), falls (a,b)| n.

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Satz 1.10 (Euklid): Seien a,b ∈ ℤ teilerfremd. Für c ∈ ℤ gilt:

a| bc ⇒ a| c

Beweis : (a,b) = 1 ⇝ ∃ x,y ∈ ℤ mit ax + by = 1 ⇝ c = (ax + by)c = acx + bcy teilbar durch a

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Korollar 1.11 (Satz von Euklid): Sei p ∈ ℙ,a,b ∈ ℤ. Aus p| ab ∧ p | a̸ folgt, daß p| b gilt.

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Korollar 1.12 (Satz von Euklid): Seien p,p_{1},...,p_{s} Primzahlen. Aus p| (p_{1}p_{2}...p_{s}) folgt: ∃i mit p = p_{i}.

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Korollar 1.13 (Satz von Euklid): Seien a,b ∈ ℤ,(a,b) = 1 Dann gilt für x ∈ ℤ:

(x,ab) = 1 ⇔ (x,a) = (x,b) = 1

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Definition 1.14 (Standardform): Eine Standardform für n ∈ ℕ ist eine Produktdarstellung

n = ∏_{1≤i≤r} p_{i}^{e_{i}}, p_{1} < p_{2} < ... < p_{r} Primzahlen ,e_{i} ∈ ℕ.

Satz 1.15 (Eindeutige Primfaktorzerlegung): Jedes n ∈ ℕ besitzt genau eine Standardform. Beweis : Die Existenz einer Standardform ist Satz 1.4. \underline{Eindeutigkeit}: Seien n = ∏ _{1≤i≤r} p_{i}^{e_{i}} = ∏ _{1≤j≤s} q_{i}^{e_{i}} zwei Standardformen. Wegen (1.12) folgt: {p_{i}} = {q_{j}}, wobei r = s. \underline{Annahme}: e_{i} ≠ e′_{i}für ein i. Dann ist _{\frac{n}{p_{i}^{ei}}} ∈ ℕ, e_{i} < e′_{i}

\underbrace{\frac{n}{p_{i}^{e_{i}}}}_{Kein Faktorp_{i}} = ∏_{1≤j≤r,j≠i} p_{j}^{e′_{j}} \underbrace{p_{i}^{e′_{i}−e_{i}}}_{mindestens ein Faktor p_{i}}. Widerspruch.

Satz 1.16 (Euklid): Es gilt unendlich viele Primzahlen. Beweis : Sei ∅ ≠ S ⊂ ℙ, #(S) < ∞. Wir zeigen: Es existiert eine Primzahl p ∉ S. Sei N(S) := ∏ _{q∈S} q + 1 und sei p ein Primteiler von N(S). Dann ist p ∉ S, denn jedes q ∈ S hat die Eigenschaft: N(S) läßt beim Teilen durch q den Rest 1.

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Probleme 1.17 (Primzahlschranken): Sei p_{i} die i-te Primzahl, (p_{1} = 2,p_{2} = 3,p_{3} = 5,...)

• Finde eine Formel für p_{i}, d.h. eine berechenbare Funktion

f : ℕ → ℙ mitf(i) = p_{i} (Zu schwierig!)

\underline{Beispiel}: Es gibt eine reelle Zahl Θ, die die Information über alle Primzahlen kodiert.

• Finde Schranken f_{1},f_{2}, so daß für alle (vielleicht: für alle genügend großen) i gilt:

f_{1}(i) ≤ p_{i} ≤ f_{2}(i)

Setze Π(x) := #{p ∈ ℙ|p ≤ x},x ∈ ℙ.

• Finde Schranken g_{1},g_{2} mit g_{1}(x) ≤ Π(x) ≤ g_{2}(x).

Satz 1.18 (Schranke für Primzahlen): Für alle n ∈ ℕ gilt p_{n} ≤ 2^{2^{n−1}} . Beweis : Per Induktion nach n. n = 1 : p_{1} = 2 \underline{n > 1} : N := 1 + ∏ _{1≤i≤n−1} p_{i}. Nach dem Beweis von 1.16 gibt es ein m ≥ n mit p_{m}| N. Dann gilt:

p_{n} ≤ p_{m}≤ 1 + ∏ _{1≤i≤n−1} p_{i} ≤ 1 + 2^{2^{0}}2^{2^{1}} ··· 2^{2^{n−2}} = 1 + 2^{2^{n−1} −1} ≤ 2^{2^{n}}.

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Beispiel (Schranke für Primzahlen): n = 10, p_{10} = 29 : 2^{2^{n−1}} = 2^{512} ≈ 1,34 · 10^{154} Also ist die durch (1.18) gegebene Schranke sehr schlecht! Definition 1.19 (Fermat-Zahlen): Für n ∈ ℕ_{0} sei F_{n}:= 2^{2^{n}} + 1 die n-te Fermat-Zahl.

F_{0} = 3, F_{1} = 5, F_{2} = 17, F_{3} = 257, F_{4} = 65537

Fermat hat behauptet: Alle F_{n} sind Primzahlen. Dies ist richtig für n ≤ 4. Satz 1.20 (Teilerfremdheit der Fermat-Zahlen): Alle F_{n} sind teilerfremd. Beweis : 1. Wir zeigen durch Induktion: ∏ _{0≤i≤n−1} F_{i} = F_{n}− 2 Der Fall n = 1 ist klar. Für n → n + 1 gilt:

∏_{0≤i≤n} F_{i} = F_{n} ∏_{0≤i≤n−1} F_{i} =^{I.V.}(2^{2^{n}} + 1)(2^{2^{n}} − 1) = (2^{2^{n+1}} − 1) = F_{n+1} − 2

2. Sei nun t ein Teiler von F_{i} und F_{n}, i < n. Wegen 1. ist t = 1 oder t = 2. Da alle F_{n} ungerade sind, ist t = 1.

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6 2 KONGRUENZRECHNUNG

2 Kongruenzrechnung

Definition 2.1 (modulo): Sei n ∈ ℕ. Definiere auf ℤ die Relation

a ≡ b (mod n) :⇔ n| (a − b)

“Kongruenz modulo n”, in Zeichen a ≡ b (mod n) oder a ≡ b(n). Lemma/Definition 2.2 (ℤ/nℤ): “Kongruenz modulo n” ist eine Äquivalenzrelation. Schreibe ℤ/nℤ oder ℤ/n für die Menge der Äquivalenzklassen bzgl. dieser Relation. Setze “\overline{a}”, “a+nℤ” oder “a mod n” für die Klasse von n ∈ ℤ. Beweis : im Prinzip beweisbedürftig ...

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Lemma 2.3 (ℤ/n als Ring.): Sei n ∈ ℕ,n > 1. Die folgenden Verknüpfungen “+”, “·” definieren auf ℤ/n eine Struktur als kommutativer Ring:

\overline{a}+ \overline{b}= \overline{a + b} \overline{a}· \overline{b}= (\overline{ab}) a,b ∈ ℤ

Die Restklassenabbildung

ℤ → ℤ/n a ↦ \overline{a}

ist ein surjektiver Ringhomomorphismus mit Kern nℤ. Beweis : Klar.

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Definition (Einheit): Ist R ein Ring, so heißt e ∈ R Einheit, falls e′∈ R existiert mit ee′= e′e = 1. In diesem Fall ist das Inverse e′= e^{−1} eindeutig bestimmt. Die Menge aller Einheiten von R bildet eine Gruppe unter der Multiplikation und wird mit R^{∗} bezeichnet.

Beispiel: ℤ^{∗} = {±1}, R = Mat(n,K), K Körper, R^{∗} = GL(n,K).

Was ist (ℤ/n)^{∗} ? Satz 2.4 (Einheiten in ℤ/n): Sei a ∈ ℤ mit Restklasse \overline{a} ∈ ℤ/n (1 < n ∈ ℕ). Dann gilt: \overline{a} ist Einheit in

ℤ/n ⇔ (a,n) = 1.

Beweis : (a,n) = 1 ⇝ ∃ x,y ∈ ℤ mit ax + ny = 1 ⇝ ax ≡ 1, d.h. \overline{a} invertierbar.

Umgekehrt: ax ≡ 1(n) ⇝ ∃ y ∈ ℤ mit ax + ny = 1 ⇝ (a,n) = 1.

Korollar 2.5 (ℤ/n): Sei n ∈ ℕ. Es gilt n ∈ ℙ ⇔ ℤ/n ist Körper. Beispiele 2.6 (ℤ/nℤ):

1. p = 11 ist prim, also ist ℤ/11 ein Körper. Deshalb existiert zu a mit (a,11) = 1 ein b mit ab = ba ≡ 1 (mod 11). Folgende Tabelle gibt diese Inversen an:

\begin{matrix}a & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ b & 1 & 6 & 4 & 3 & 9 & 2 & 8 & 7 & 5 & 10 \end{matrix}

2. n = 12, (ℤ/12)^{∗} = \{\overline{1},\overline{5},\overline{7},\overline{11}\}

Definition 2.7 (Eulersche φ-Funktion): Für n ∈ ℕ sei definiert:

φ(n) := \{ \begin{matrix}#(ℤ/n)^{∗} & n > 1 \\ 1 & n = 1 \end{matrix}

φ: ℕ ↦ ℕ heißt die Eulersche φ-Funktion.

Satz 2.8 (Euler-Fermat): Ist a ∈ ℤ teilerfremd zu n,1 < n ∈ ℕ, so gilt:

a^{φ(n)} ≡ 1(mod n)

Insbesondere: Ist n = p eine Primzahl, so ist a^{p−1} ≡ 1 (mod p).

\underline{Beispiel}: 2^{16} ≡ 1 (mod 17), 7^{4} ≡ 1 (mod 12).

Beweis : Wir erinnern uns (?), daß für eine endliche Gruppe G und ein x ∈ G gilt:

(*) ord_{G}(x)| #G wobei ord_{G}(x) = min{i ∈ ℕ|x^{i} = 1}. Es ist #((ℤ/n)^{∗}) = φ(n), also für φ(n) = ord(\overline{a})t (t ∈ ℕ,\overline{a} ∈ (ℤ/n)) (\overline{a})^{φ(n)} = (\overline{a}^{ord(\overline{a})})^{t} = (\overline{1})^{t} = \overline{1}.

also a^{φ(n)} ≡ 1 (mod n), für alle a ∈ ℕ mit ggT(a,n) = 1

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\underline{Beweis von (*)}:

1. Sei r:=ord_{G}(x). Dann ist {x,x^{2},x^{3},...,x^{r} = 1} = ⟨x⟩ eine Untergruppe von G.

2. #⟨x⟩ = r

3. Ist H ⊂ G eine Untergruppe, so definiert

X ≡ y (mod H) :⇔ xH = yH

⇔ ∃ h ∈ H mitxh = y ⇔ x^{−1} y ∈ H

eine Äquivalenzrelation auf G.

4. Für jedes Paar (x,y) aus G ist

xH → yH z ↦ yx^{−1} z (bzw. xh ↦ yh)

bijektiv.

5. Wegen

G = ˙⋃ xlaufe durch ein Repräsentantensystem_{bzgl. der Äquivalenzrelation} xH

folgt: #(G) = #{Äquivalenzklassen} · #(H)

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Satz 2.9 (ℤ/nm): Seien m,n ∈ ℕ teilerfremd, beide > 1. A = {a} sei ein Repräsentantensystem für ℤ/m (#(A) = m) B = {b} sei ein Repräsentantensystem für ℤ/n (#(B) = n) Es gelten:

1. {am + bn| a ∈ A,b ∈ B} ist ein Repräsentantensystem für ℤ/mn. Insbesondere sind alle am + bn wie oben paarweise verschieden.

2. am + bn ist invertierbar modulo mn ⇔ { a invertierbar modulo n, b invertierbar modulo m } Beweis :

1. Wir zeigen: die \overline{am + bn} sind paarweise verschieden. Seien nämlich am + bn ≡ a′m + b′n(n)(mn) mit

a,a′∈ A,b,b′∈ B ⇝ am + bn ≡ a′m + b′n(n) ⇝ am ≡ a′m(n). Da (m,n) = 1 ist, existiert ein m^{∗} ∈ ℤ

mit mm^{∗} ≡ 1(n) ⇝ a ≡ m^{∗}am ≡^{(n)}m^{∗}a′m ≡ a′.

Analog folgt: b ≡ b′ (mod m)

2.

\overline{am + bn} invertierbar in(ℤ/mn)^{∗} ⇔ (am+bn,mn) = 1 ⇔^{1.13}\{ \begin{matrix}(am + bn,m) = 1 \\ (am + bn,n) = 1 \end{matrix} \} ⇔ \{ \begin{matrix}(bn,m) = 1 \\ (am,n) = 1 \end{matrix} \}

⇔^{(m,n)=1} \{ \begin{matrix}(b,m) = 1 \\ (a,n) = 1 \end{matrix} \} ⇔ \{ \begin{matrix}\overline{b}∈ (ℤ/m) invertierbar \\ \overline{a} ∈ (ℤ/n) invertierbar \end{matrix} \}

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Definition 2.10 (Schwach multiplikativ): Eine Abbildung α: ℕ ↦ ℂ heißt schwach multiplikativ, falls gilt:

α(mn) = α(m)α(n), falls ggT(m,n) = 1.

Ist α schwach multiplikativ, und ist n = ∏ _{1≤i≤r} p_{i}^{e_{i}} die Primfaktorzerlegung von n ∈ ℕ (d.h. alle p_{i} sind verschieden), so gilt:

α(n) = ∏_{1≤i≤r} α(p_{i}^{e_{i}})

Korollar 2.11 (φ und Multiplikativität): φ ist schwach multiplikativ.

Beweis : Seien m, n teilerfremd. Dann gilt:

φ(mn) = #((ℤ/mn)^{∗}) = #((ℤ/m)^{∗})#((ℤ/n)) = φ(m)φ(n).
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Korollar 2.12 (Formel für φ(n)): Sei n = ∏ _{1≤i≤r} p_{i}^{e_{i}} die Primfaktorzerlegung von n. Dann ist

φ(n) = ∏_{1≤i≤r} p_{i}^{e_{i}−1} (p_{i}− 1).

Beweis : Es reicht zu zeigen: φ(p^{e}) = p^{e−1} (p − 1) ∀ p ∈ ℙ,e ∈ ℕ.

Es ist φ(p^{e}) = #((ℤ/p^{e})^{∗}) = {a ∈ ℕ|1 ≤ a ≤ p^{e},(a,p^{e}) = 1} = p^{e}− p^{e−1} = p^{e−1} (p − 1)

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Beispiel 2.13 (φ(n)): Sei n = 2^{2}3^{2}5. Dann ist φ(180) = 2 · (3 · 2) · 4 = 48 Zusammen mit Euler-Fermat gilt dann:

a^{48} ≡ 1 (mod 180), falls (a,180) = 1, z.B. a = 7

Naive Berechnung: 7^{48} ≈ 3,67 · 10^{40}

\underline{Frage}: Wie berechnet man z.B. 7^{48} (mod 180) effizient?

Algorithmus 2.14 (Berechnung von a^{b} (mod c)): Seien a ∈ ℝ,k ∈ ℕ gegeben. Ist

k = k_{0}+ k_{1}· 2 + k_{2}· 2^{2}+ ...+ k_{t}· 2^{t}, k_{t} ∈ {0,1}

die Binärdarstellung von k (wobei t = [log_{2}k], d.h. der ganzzahlige Anteil von log_{2}k), so kann man a^{k} mit der Formel

a^{k} = ((a^{k_{t}})^{2+k_{t_{1}}} )^{2+kt_{2}} ...)^{2+k_{0}}

berechnen. Dabei werden höchstens 2t Operationen von Typ “Multiplikation” oder “Quadratur” benötigt, also nur logarithmisch viele.

Zur Berechnung von a^{b} (mod c) sind außerdem folgende Schritte sinnvoll:

• Reduziere (mod n) nach jedem Rechenschritt.

• Ist sogar φ(n) bekannt, und ist k_{0} ≡ k (mod φ(n)), (a,n) = 1, so ist a^{k} ≡ a^{k_{0}} (mod n).

Satz 2.15 (Chinesischer Restsatz): Seien m_{1},...,m_{r} paarweise teilerfremde natürliche Zahlen, die alle größer 1 sind und seien a_{1},...,a_{r} ∈ ℤ beliebig. Dann existiert x ∈ ℤ mit

x ≡ a_{i} (mod m_{i}) i = 1,2,...,r.

Dieses x ist bis auf Kongruenz modulo n:= ∏ _{1≤i≤r} m_{i} eindeutig bestimmt. Beweis : \underline{Existenz}: Setze n_{i} = \frac{m}{m_{i}} ∈ ℕ. Dann ist (n_{i},m_{i}) = 1, und es existiert n_{i}^{∗} ∈ ℕ mit n_{i}· n_{i}^{∗} ≡ 1 (mod m_{i}) Setze x = a_{1}n_{1}n_{1}^{∗}+ a_{2}n_{2}n_{2}^{∗}+ ...+ a_{r}n_{r}n_{r}^{∗}. Dieses x erfüllt die Kongruenzen, denn: Für j ≠ i ist n_{i}| n_{j}, deshalb ist x ≡ a_{i}n_{i}n_{i}^{∗} (mod m_{i}), also x ≡ a (mod m_{i}) \underline{Eindeutigkeit}: Seien x,y ∈ ℤ simultane Lösungen der Kongruenz x ≡ a_{i} ≡ y (mod m_{i}) ∀i. Dann gilt:

m_{i}| (x − y) ⇝ m| (x − y) ⇝ x ≡ y (mod m)

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Dieser Satz ist äquivalent zu: Satz (Chinesischer Restsatz, 2. Variante): Sind m_{1},...m_{r} alle größer eins und paarweise teilerfremd und m:= ∏ _{1≤i≤r} m_{i}, so ist die Abbildung

ℤ/m → ℤ/m_{1}× ℤ/m_{2}× ...ℤ/m_{r}
a (mod m) ↦ (a (mod m_{1}),...,a (mod m_{r}))

wohldefiniert und ein Isomorphismus von Ringen. Beispiele 2.16 (Chinesischer Restsatz):

• (m_{1},m_{2}) = (2,3) (a_{1},a_{2}) = (1,2) Suche x mit x ≡ 1(2),x ≡ 2(3), z.B. x = 5

• (m_{1},m_{2}) = (2^{3},3^{2}) (a_{1},a_{2}) = (5,8). Hier ist x = 53 eine Lösung.

Problem 2.17 (Primzahlen und Restklassen): Gegeben sei a ∈ ℤ,1 < n ∈ ℕ. Gibt es (sogar unendlich viele) Primzahlen p mit p ≡ a (mod n) ?

\begin{aligned}\underline{Beispiel}: & n = 4 & a = 1 & p ≡ 1(4)? & Ja,z.B. 5,13,17,25... \\ & & a = 3 & p ≡ 3(4)? & Ja,z.B. 3,7,11,19... \end{aligned}

Ist (a,n) > 1, so wird jedes x ∈ ℤ mit x ≡ a (mod n) von (a,n) geteilt. Es kann also nur dann Primzahlen p mit p ≡ a (mod n) geben, wenn q:= (a,m) Primzahl ist, und in diesem Fall ist p = q. Satz (Dirichlet, hier ohne Beweis): Ist (a,n) = 1,n > 1, so existieren unendlich viele Primzahlen p ∈ ℙ

mit p ≡ a (mod n).

\underline{Genauer} :

lim_{x→∞} \frac{#\{p ∈ ℙ|p ≡ a (mod n),p ≤ x\}}{#\{p ∈ ℙ|p ≤ x\}} = \frac{1}{φ(n)}

Satz 2.18 (Primzahlen und Restklassen modulo 4): Es gibt unendlich viele p ∈ ℙ mit p ≡ 3 (mod 4). Beweis : Sei S ⊂ ℙ,S endlich, p ∈ S impliziere p ≡ 3 (mod 4).

Setze N(S) := 4∏ _{p∈S} p − 1

• Wir zeigen: N(S) hat mindestens einen Primteiler q ≡ 3(4): Da N(S) ungerade ist, sind alle Primteiler von N(S) kongruent zu 1 oder 3 (mod 4). Wären aber alle Primteiler kongruent zu 1(4), so würde dies auch für N(S) gelten, denn das Produkt zweier Zahlen, die kongruent zu 1(4) sind, ist wieder kongruent zu 1(4).

• Sei q wie oben. Dann ist q ∉ S, denn q ∈ S würde N(S) ≡ −1(q) implizieren.

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Satz 2.19 (Nullstellen von Polynomen):

Sei p ∈ ℙ,f(x) = ∑_{0≤i≤n} a_{i}x^{i}, a_{i} ∈ ℤ ein Polynom mit a_{n} ≢ 0 (mod p). Die Kongruenz f(x) ≡ 0 (mod p)

hat höchstens n Lösungen in ℤ/p. (Gegenbeispiel: Ist p keine Primzahl, so ist die entsprechende Aussage \underline{falsch}. Z.B. hat für p = 8 das Polynom f(x) = x^{2}− 1 die vier Lösungen \overline{1},\overline{3},\overline{5},\overline{7} ∈ ℤ/8). Beweis : Wir beweisen die Aussage mittelt Induktion nach n: Induktionsanfang: n = 1, f(x) = a_{1}x + a_{0}. Dann ist x ≡ −a_{0}a_{1}^{∗} bis auf Kongruenz die einzige Lösung, wobei

a_{1}^{∗}a_{1} ≡ 1 (mod p).

Induktionsschritt: n > 1. Sei x_{0} eine Lösung. Dann ist

f(x) − f(x_{0}) ≡ ∑_{0≤i≤n} a_{i}(x^{i}− x_{0}^{i}) = (x − x_{0}) ∑_{0≤i≤n} a_{i} \frac{x^{i}− x_{0}^{i}}{x − x_{0}} = (x − x_{0})g(x)

g(x) Polynom des Grades n − 1, mit Leitkoeffizient a_{n} ≡ 0(p). Ist x_{1} ≢ x_{0} eine Lösung von f(x_{1}) ≡ 0, so gilt

(mod p):

0 ≡ f(x_{1}) ≡ f(x_{1}) − f(x_{0}) = (x_{1} − x_{0})g(x_{1}). Deshalb ist g(x_{1}) ≡ 0, und es gibt nach Induktionsvoraussetzung höchstens n − 1 Restklassen \overline{x_{i}}∈ ℤ/p mit dieser Eigenschaft.

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Proposition 2.20 (Eigenschaft der φ-Funktion): Für die φ-Funktion gilt:

∑_{\begin{matrix}d∈ℕ \\ d| n \end{matrix}}φ(d) = n

Beweis :

Setze für d| n: s(d) := \{i ∈ ℕ|1 ≤ i ≤ n,(i,n) = d\} = \{jd|j ≤ \frac{n}{d},(j, \frac{n}{d}) = 1\}. Dann ist #S(d) = φ(\frac{n}{d}) und \{1,2,...,n\} = ˙⋃S(d). Nun gilt: n = ∑_{d| n}φ(\frac{n}{d}) = ∑_{d′| n}φ(d) = ∑_{d| n}φ(d) (dd′= n).

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Satz/Definition 2.21 (Primitivwurzeln): Für jedes p ∈ ℙ existieren genau φ(p − 1) Restklassen a mod p mit der Eigenschaft:

a^{i} ≢ 1 (mod p) 1 ≤ i ≤ p − 2, a^{p−1} ≡ 1 (mod p).

Solche a ∈ ℤ heißen Primitivwurzeln modulo p. Beweis :

• Für jedes a ≢ 0(p) sei e(a) := ord_{(ℤ/p)^{∗}}(\overline{a}) = min \{i ∈ ℕ: (a^{i} ≡ 1 (mod p)\}. Dann ist e(a) ein Teiler von p − 1

• Setze A(d) := \{\overline{a} ∈ (ℤ/p)^{∗}|e(a) = d\} für d| p − 1 und f(d) := #A(d).

Wegen (ℤ/p)^{∗} = ˙⋃_{d| n}A(d) ist ∑_{d| n}f(d) = p − 1 =^{2.20} ∑_{d| p−1} φ(d).

Es reicht also zu zeigen: ∀ d| p − 1 ist f(d) ≤ φ(d) (*).

Dann gilt sogar f(d) = φ(d), und f(p − 1) = φ(p − 1) ist die zu beweisende Aussage.

• Sei d| p − 1. Ist f(d) = 0, so ist (*) erfüllt. Ist f(d) > 0, so existiert a mit e(a) = d, d.h. a^{d} ≡ 1(p), a^{i} ≢ 1(p) für i < d. Die Klassen von \underbrace{a^{1},a^{2},...,a^{d}}_{d viele} sind alle verschieden und genügen

x^{d} ≡ 1, sind also Lösungen der Kongruenz x^{d}− 1 ≡ 0(p).

Also folgt wegen 2.19: A(d) ⊂ \{\overline{a},\overline{a}^{2},...,\overline{a}^{d}\}.

• Für ein i ∈ ℕ mit 1 ≤ i ≤ d sei g:= (i,d). Schreibe i = i′g,d = d′g. Ist jetzt g > 1, so gilt:
(a^{i})^{d′}= a^{i′gd′}= (a^{d})^{i} ≡ 1 (mod p). Deshalb hat \overline{a}^{i} eine Ordnung e(a^{i}) ≤ d′< d, und es ist sogar
A(d) ⊂ \{\overline{a}^{i}|1 ≤ i ≤ d,(i,d) = 1\}. Also ist f(d) ≤ φ(d).

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Definition/Korollar 2.22 (Diskreter Logarithmus): Die multiplikative Gruppe (ℤ/p)^{∗} ist zyklisch. Die Restklasse jeder Primitivwurzel a (mod p) erzeugt (ℤ/p)^{∗}. Ist \overline{a} eine solche Primitivwurzel und \overline{b} ∈ (ℤ/p)^{∗}

beliebig, so ∃! i ∈ ℕ 1 ≤ i ≤ p − 1 mit \overline{b}≡ \overline{a}^{i}.

Schreibe i =: log\overline{a} \overline{b} und nenne es den diskreten Logarithmus von \overline{b} bzgl. \overline{a}.

Es gilt z.B. log\overline{a} \overline{b}\overline{c} ≡ log\overline{a} \overline{b}+ log\overline{a} \overline{c} (mod p − 1) \overline{b},\overline{c} ∈ (ℤ/p)^{∗}.

Beispiel: Für p = 13 und a = 2 gilt:

a^{2} ≡ 4 a^{3} ≡ 8 a^{4} ≡ 3 a^{6} ≡ 12 (mod 13)

\begin{matrix}log\overline{2}(a) & 12 & 1 & 4 & 2 & 9 & 5 & 11 & 3 & 8 & 10 & 7 & 6 \\ a & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \end{matrix}

Der diskreten Logarithmus ist z.B. sehr nützlich, wenn schnell große Zahlen multipliziert werden sollen (nicht umbedingt in ℤ, sondern in allen Ringen). Dies könnte man entweder durch eine Multiplikationstabelle lösen, was aber quadratisch Platz in der Größe des Ringes benötigt. Effizienter ist es, nur eine Tabelle für den diskreten Logarithmus anzulegen, und eine Multiplikation mit Hilfe der in 2.28 genannten Formel in eine Addition umzuwandeln. D.h. um a und b zu multiplizieren, schlägt man ihre diskreten Logarithmus in der Tabelle nach, addiert diese und wandelt das Ergebnis mittels der Tabelle wieder zurück. Dieses Verfahren ist etwas langsamer als eine richtige Multiplikationstabelle, benötigt aber nur noch linearen Speicherplatz.

Korollar 2.23 (Kriterium von Euler): Sei 2 < p ∈ ℙ,a ∈ ℤ,(a,p) = 1. Dann gilt:

∃ x ∈ ℤ mita ≡ x^{2} (mod p) :⇔ a^{\frac{p−1}{2}} ≡ 1 (mod p)

Beweis : “⇒” x^{2} ≡ a ⇝ a^{\frac{p−1}{2}} ≡ x^{p−1} ≡ 1.

“⇐” Sei y Primitivwurzel mod p, a ≡ y^{i}. Dann ist 1 ≡ a^{\frac{p−1}{2}} = y^{i \frac{p−1}{2}} ⇝ p−1| i(\frac{p−1}{2} ) ⇝ i gerade ⇝ a = (y^{i/2})^{2}.

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Definition 2.24 (Quadratisches Symbol): Sei 2 < p ∈ ℙ,a ∈ ℤ. Setze

( \frac{a}{p}) := \{ \begin{matrix}+1 & a ≢ 0(p) & x^{2}− a ≡ 0(p) hat eine Lösung & “a ist quadratischer Rest (mod p)” \\ −1 & a ≢ 0(p) & x^{2}− a ≡ 0(p) hat keine Lösung & “a ist quadratischer Nichtrest (mod p)” \\ 0 & a ≡ 0(p) \end{matrix}

Dies nennt man Quadratisches Symbol oder Legendre-Symbol.

Korollar 2.25 (Quadratisches Symbol): Sei 2 < p ∈ ℙ. Dann gelten:

1.

( \frac{n}{p}) = \{ \begin{matrix}+1 & i gerade \\ −1 & i ungerade \end{matrix}

falls (n,p) = 1,n ≡ a^{i},a Primitivwurzel mod p

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2. ( \frac{mn}{p}) = ( \frac{m}{p}) ( \frac{n}{p})

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3. Es gibt genau \frac{p−1}{2} quadratische Reste und \frac{p−1}{2} quadratische Nichtreste (mod p).

□

Dies folgt sofort, da die Abbildung, die jedem Element seinem Quadrat zuordnet den Kern {1} hat.

4. ( \frac{n}{p}) ≡ n^{\frac{p−1}{2}} (mod p) falls (n,p) = 1 12 3 DAS QUADRATISCHE REZIPROZITÄTSGESETZ

Beweis : (4): (n^{\frac{p−1}{2}} )^{2} ≡ 1(p), also n^{\frac{p−1}{2}} ≡ ±1 (mod p). Nun verwende 2.23!

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Satz 2.26 (Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz): Sei 2 < p ∈ ℙ. Es gilt:

( \frac{−1}{p} ) = \{ \begin{matrix}1 \\ −1 \end{matrix} \} ⇔ p ≡ \{ \begin{matrix}1 (mod 4) \\ 3 (mod 4) \end{matrix} \}

Beweis : Sei a Primitivwurzel (mod p). Dann ist a^{\frac{p−1}{2}} ≡ −1. Ist p ≡ 1(4), so gilt:

(a^{\frac{p−1}{4}} )^{2} = a^{\frac{p−1}{2}} ≡ −1, also ( \frac{−1}{p} ) = +1.

Ist p ≡ 3(4), so ist −1 ≡ a^{\frac{p−1}{2}} mit \underline{ungeradem}Exponenten \frac{p−1}{2} , also ( \frac{−1}{p} ) = −1.

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Satz 2.27 (Primzahlen und Restklassen modulo 4): Die Menge der Primzahlen p mit p ≡ 1 (mod 4) ist unendlich (vgl. 2.18). Beweis : Sei S ⊂ ℙ, S endlich und für alle p ∈ S gelte: p ≡ 1(4). Wir zeigen:

∃ q ∈ ℙ mit q ≡ 1(4),q ∉ S

Setze nämlich

N(S) = (∏_{p∈S} p)^{2}+ 1. Sei q ein Primteiler von N(S).

Dann ist q ∉ S, und

−1 ≡ (∏_{p∈S} p)^{2} (mod q).

Also ist ( \frac{−1}{q} ) = +1 und q ≡ 1(4).

□

3 Das quadratische Reziprozitätsgesetz

Wir studieren systematisch ( \frac{n}{p}), wobei 2 < p ∈ ℙ,n = ±∏ _{1≤i≤p} p_{i}^{e_{i}} eine Primfaktorzerlegung von n ∈ ℤ ist. Folgende Fälle müssen betrachtet werden:

• n = q ∈ ℙ q ≠ 2 (← 3.2)

• n = 2 (← 3.1)

• n = −1 (← 2.26)

Satz 3.1 (Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz):

( \frac{2}{p}) = (−1)^{\frac{p^{2}−1}{8}} = \{ \begin{matrix}+1 & p ≡ 1,7(8) \\ −1 & p ≡ 3,5(8) \end{matrix}

Beweis : Die rechte Seite ist klar. Sei r:= \frac{p−1}{2} . Betrachte die folgenden r Kongruenzen (mod p):

p − 1  ≡ −1
2  ≡ (−1)^{2}2
p − 3  ≡ (−1)^{3}3
⋮
\{ \begin{matrix}r gerade & r \\ r ungerade & r + 1 \end{matrix} \} ≡ (−1)^{r}r

Ihr Produkt ist 2^{r}r! = 2 · 4··· (p − 1) ≡ (−1)^{\frac{r(r+1)}{2}} r!. Also gilt ( \frac{2}{p}) ≡ 2^{\frac{p−1}{2}} ≡ (−1)^{\frac{p−1}{2} \frac{p+1}{2} \frac{1}{−8}} ≡ (−1)^{\frac{p^{2}−1}{8}} .

□

Satz 3.2 (Quadratisches Reziprozitätsgesetz): Seien p,q ∈ ℙ, #{2,p,q} = 3. (D.h. die drei Zahlen sind paarweise verschieden.) Dann gilt:

( \frac{q}{p}) ( \frac{p}{q}) = (−1)^{\frac{p−1}{2} \frac{q−1}{2}} = \{ \begin{matrix}+1 & p oder q ≡ 1(4) \\ −1 & p und q ≡ 3(4) \end{matrix} .

Dieser Satz heißt das quadratische Reziprozitätsgesetz (QRG). Die Sätze (3.1) und (2.26) heißen die Ergänzungssätze zum quadratischen Reziprozitätsgesetz.

Beispiel 3.3 (QRG): Ist ( \frac{101}{127}) = 1? D.h. ist 101 quadratischer Rest mod 127? Da 101 und 127 Primzahlen sind, folgt:

\begin{aligned}( \frac{101}{127}) =^{101≡1(4)} ( \frac{127}{101}) & = ( \frac{26}{101}) = \underbrace{( \frac{2}{101})}_{−1}( \frac{13}{101}) =^{3.1} −( \frac{13}{101}) =^{13≡1(4)} −( \frac{101}{13}) = −( \frac{10}{13}) \\ & = −( \frac{2}{13}) ( \frac{5}{13}) =^{3.1} ( \frac{5}{13}) =^{5≡1(4)} ( \frac{13}{5}) = ( \frac{3}{5}) = −1 \end{aligned}

D.h.: Die Gleichung x^{2}− 101 ≡ 0(127) hat keine Lösung.

Das quadratische Reziprozitätsgesetz wurde schon von Euler und Legendre vermutet, beide konnten es allerdings nicht beweisen. (Legendre hatte einen Beweis, der allerdings auf einer unbewiesenen Voraussetzung beruht). Inzwischen gibt es über 150 Beweise. Wir wollen hier den Beweis von Gauß demonstrieren, weil er realtiv wenige Voraussetzungen benötigt.

Beginn des Beweises von 3.2

Für u ∈ ℤ sei u^{∗} ∈ {0,1,...,p − 1} mit u^{∗} ≡ u (mod p) der Minimalrest.

Sei a ∈ ℤ mit a ≢ 0 (mod p). Wir betrachten die Minimalreste der Zahlen a,2a,..., \frac{p−1}{2} a und schreiben sie

in der Form r_{1},r_{2},...r_{s},p − r′_{1},p − r′_{2},...,p − r′_{t}, wobei 0 < r_{i},r′_{j} < \frac{p}{2}, s + t = \frac{p−1}{2} .

Lemma 3.4 (Minimalreste):

1. Die r_{i} sind alle verschieden.

2. Die r′_{j} sind alle verschieden.

3. {r_{i}} ∩ {r′_{j}} = ∅

Beweis : 1. und 2. sind klar. Zu 3.:

Sei x ∈ {r_{i}} ∩ {r′_{j}}. Dann sind sowohl x als auch p − x Minimalreste von Zahlen der Form ab_{1}, ab_{2} mit

b_{i} ∈ \{1,2,..., \frac{p−1}{2} \}.

Folglich muss auch x+(p−x) = p ≡ 0(p) ein Minimalrest einer Zahl der Form a(b_{1}+b_{2}) = ac ≡ 0(p) sein, mit c ∈ {2,3,...,p − 1}. Da a ≢ 0 (mod p) ist, kann es kein solches c geben. Widerspruch.

14 3 DAS QUADRATISCHE REZIPROZITÄTSGESETZ

□

Nach dem letzten Lemma bilden die r_{1},...,r_{s},r′_{1},...r′_{t}eine Umordnung von \{1,2,... \frac{p−1}{2} \}. Deshalb gilt:

( \frac{a}{p}) ( \frac{p−1}{2} )! ≡ a^{\frac{p−1}{2}} (\frac{p−1}{2} )! = a(2a)··· (\frac{p−1}{2} )a ≡^{p} r_{1}··· r_{s}(p−r′_{1})··· (p−r′_{t}) ≡^{p} (r_{1}··· r_{s}r′_{1}··· r′_{t})(−1)^{t}(\frac{p−1}{2} )!

Also ( \frac{a}{p}) ≡^{p} (−1)^{t}, denn (\frac{p−1}{2} )! enthält keinen Faktor p. Damit ist folgender Satz bewiesen: Satz 3.5 (Gauß): Sei 2 < p ∈ ℙ,a ∈ ℤ,(a,p) = 1. Dann ist

( \frac{a}{p}) = (−1)^{t} t := #\{ u|1 ≤ u ≤ \frac{p − 1}{2} ,(au)^{∗} > \frac{p}{2}\} .

□

Definition 3.6 (S(p,q)): Sei p,q ∈ ℙ,p ≠ 2 ≠ q ≠ p. Definiere:

S(q,p) := ∑_{1≤i≤ \frac{p−1}{2}} [ \frac{iq}{p}] , wobei [x] die Gauß-Klammer ist, d.h. der ganzzahlige Anteil der Zahl x.

Wir wollen nun (3.2) auf Eigenschaften von S(q,p) zurückführen.

Satz 3.7 (Eigenschaft von S(q,p)): S(p,q) + S(q,p) = (\frac{p−1}{2} )(\frac{q−1}{2} )

Der folgende Beweis stammt von Gauß: Beweis : O.B.d.A Sei q < p. Dann ist \frac{q−1}{2} < \frac{q}{p} \frac{p−1}{2} < \frac{q−1}{2} − 1. Betrachte folgende Zeichnung:

Auf der Geraden durch O und N liegen keine Gitterpunkte (d.h. solche mit ganzzahligen Koordinaten), da \frac{q}{p} ∈ ℚ die Steigung der Geraden ist, und diese vollständig gekürzt ist. Zähle jetzt die Zahl der Gitterpunkte im Rechteck OKML, die \underline{nicht} auf den Koordinatenachsen liegen (aber auf anderen Linien liegen dürfen). Dies ist auf zwei Arten möglich:

1. Trivial: Es gibt genau (\frac{p−1}{2} )(\frac{q−1}{2} ) solche Gitterpunkte.

2. Addiere die Zahl der Gitterpunkte in den Dreiecken OKN und OPL. Dies ergibt die selbe Zahl von Punkten, da im Dreieck PMN selbst keine Punkte liegen (folgt als der Ungleichung oben). Es gilt:

#(OKN) = \underbrace{∑_{1≤i≤ \frac{p−1}{2}} [ \frac{iq}{p}] ,}_{laufe auf OK entlang und zähle die Punkte über der Position} #(OPL) = \underbrace{∑_{1≤j≤ \frac{q−1}{2}} [ \frac{jp}{q} ]}_{Laufe auf OL und zähle die Punkte seitlich}

Da diese zwei Zahlen identisch sein müssen folgt: (\frac{p−1}{2} )(\frac{q−1}{2} ) = S(p,q) + S(q,p).

□

\underline{Rest des Beweises von (3.2)} : Seien p,q wie bisher, r_{1},...r_{s},r′_{1},...r′_{t}wie in (3.4) mit a = q.

Definiere: R:= ∑_{1≤i≤s} r_{i} R′:= ∑_{1≤j≤t} r′_{j}.

Für 1 ≤ k ≤ \frac{p−1}{2} ist:

kq = p[\frac{kq}{p}] + u_{k} u_{k} = (kq)^{∗} = \{ \begin{matrix}r_{i} & =: & v_{k} & sonst v_{k} = 0 \\ p − r′_{j} & =: & w_{k} & sonst w_{k} = 0 \end{matrix} . (1)

Dann ist:

∑ v_{k}+ tp − ∑ w_{k} = ∑ r_{i}+ ∑ r′_{j} = R + R′= \frac{1}{2} ( \frac{p − 1}{2} ) ( \frac{p + 1}{2} ) = \frac{p^{2}− 1}{8} .

\frac{p^{2}− 1}{8} = ∑ v_{k}− ∑ w_{k}+ tp (2)

Wir lassen in (1) k durch 1,2,... \frac{p−1}{2} laufen und summieren auf:

\frac{p^{2}− 1}{8} q = p ∑_{1≤k≤ \frac{p−1}{2}} [ \frac{kq}{p}] + ∑ v_{k}+ ∑ w_{k} (3)

(3)-(2) ergibt:

(q − 1)( \frac{p^{2}− 1}{8} ) = pS(q,p) + 2∑ w_{k}− tp.

Daraus folgt:

S(q,p) ≡ t (mod 2). (4).

Also ( \frac{q}{p}) =^{3.5} (−1)^{t} = (−1)^{S(q,p)}. Ebenso gilt: ( \frac{p}{q}) = (−1)^{S(p,q)}, und daraus folgt:

( \frac{q}{p}) ( \frac{p}{q}) = (−1)^{S(q,p)+S(p,q)} = (−1)^{\frac{p−1}{2} \frac{q−1}{2}} .

□

Nun sind wir theoretisch in der Lage, ( \frac{a}{p}) auszuwerten. Allerdings wird dazu bisher die Primfaktorzerlegung von a benötigt, deren Berechnung sehr aufwendig ist. Im folgenden werden wir versuchen, diesen Mangel zu beseitigen: Definition 3.8 (Jacobi-Symbol): Sei m ∈ ℤ,n ∈ ℕ ungerade und m = ϵ∏ p_{i}^{e_{i}}, bzw. n = ∏ q_{j}^{f_{j}} die Primfaktorzerlegung von m bzw. n mit ϵ ∈ {±1}. Definiere:

( \frac{m}{n}) := ∏ _{j} ( \frac{m}{q_{j}})^{f_{j}} = ∏ _{j} ( \frac{ϵ}{q_{j}} ) ∏ _{i,j} ( \frac{p_{i}}{q_{j}} )^{e_{i}f_{i}} ∈ \{0,±1\}.

( \frac{m}{n}) heißt das Jacobi-Symbol. Korollar 3.9 (Eigenschaften des Jacobi-Symbols): Das Jacobi-Symbol hat folgende Eigenschaften:

1. Ist n ∈ ℙ, dann sind das Jacobi-Symbol und das quadratische Symbol identisch.

2. ( \frac{m}{n}) = 0 ⇔ (m,n) > 1 oder m = 0

3. m ≡ m′ (mod n) ⇒ ( \frac{m}{n}) = ( \frac{m′}{n})

4. ( \frac{mm′}{n}) = ( \frac{m}{n})( \frac{m′}{n})

5. ( \frac{m}{nn′}) = ( \frac{m}{n})( \frac{m}{n′})

16 4 PRIMZAHLTESTS

6. Ist (m,n) = 1, dann gilt:

( \frac{n}{m}) ( \frac{m}{n}) = (−1)^{( \frac{m−1}{2} )( \frac{n−1}{2} )} = \{ \begin{matrix}+1 & m oder n & ≡ 1(4) \\ −1 & falls m und n & ≡ 3(4) \end{matrix} .

7.

( \frac{2}{n}) = (−1)^{\frac{n^{2}−1}{8}} = \{ \begin{matrix}+1 & n ≡ 1,7(8) \\ −1 & n ≡ 3,5(8) \end{matrix}

8.

( \frac{−1}{n} ) = (−1)^{\frac{n−1}{2}} = \{ \begin{matrix}+1 & n ≡ 1(4) \\ −1 & n ≡ 3(4) \end{matrix}

\underline{Beachte aber} : Ist n nicht prim, so gilt nur noch: m ≡ a^{2} (mod n) ⇒ ( \frac{m}{n}) = 1 (falls (m,n) = 1), nicht aber die Umkehrung. Gegenbeispiel:

n = 15 = 5 · 3. Die quadratischen Reste mod 15 sind 1,4,9,10 und 6. Davon sind nur 1 und 4 teilerfremd zu 15. Es ist aber:

( \frac{8}{15}) = ( \frac{8}{5})( \frac{8}{3}) = ( \frac{3}{5})( \frac{2}{3}) = (−1)(−1) = 1.

Beweis : 1. bis 5. folgen direkt aus den entsprechenden Definitionen.

Zu 6.:

( \frac{m}{n}) ( \frac{n}{m}) = ∏_{i,j} [( \frac{p_{i}}{q_{j}} ) ( \frac{q_{j}}{p_{i}} ) ]^{e_{i}f_{j}} = ∏_{i,j} [(−1)^{( \frac{p−1}{2} )( \frac{q−1}{2} )}] ^{e_{i}f_{j}} = (−1)^{∑_{i,j}( \frac{p_{i}−1}{2} )( \frac{q_{j} −1}{2} )e_{i}f_{j}}

Weiter gilt:

∑_{i,j} (\frac{p_{i}− 1}{2} )(\frac{q_{j} − 1}{2} )e_{i}f_{j} ≡_{2} ∑_{\begin{matrix}p_{i},q_{j}≡3(4) \\ i,j \end{matrix}} e_{i}f_{j} = ( ∑_{p_{i}≡3(4)} e_{i}) ( ∑_{q_{j}≡3(4)} f_{j} ) .

und

m = ∏ _{i}p_{i}^{e_{i}} ≡ 3(4) ⇔ ∑_{p_{i}≡3(4)} e_{i} ≡ 1(2)

n = ∏ _{j} p_{j}^{f_{j}} ≡ 3(4) ⇔ ∑_{p_{j}≡3(4)} f_{j} ≡ 1(2).

Also folgt:

\begin{aligned}( \frac{m}{n})( \frac{n}{m}) = & 1 & ⇔ & n oder m & ≡ 1(4) \\ & −1 & ⇔ & n und m & ≡ 3(4) \end{aligned} .

7. und 8. ergeben sich ebenfalls aus den entsprechenden Eigenschaften des quadratischen Symbols.

□

4 Primzahltests

Wir kommen nun zu einem relativ neuem Gebiet der Zahlentheorie, nämlich der Frage wie man schnell entscheiden kann ob eine gegebene Zahl n ∈ ℕ eine Primzahl ist. Diese Fragestellung ist erst seit es Computer gibt interessant geworden. Das liegt einerseits daran, daß selbst die einfachsten Algorithmen zu rechenaufwendig sind, um sie von Hand durchzuführen. Andererseits ist diese Frage gerade in der Kryptographie von besonderem Interesse. Wir notieren eine Reihe einfacher Ideen:

• Überprufe, ob die zu untersuchende Zahl in einer Primzahltabelle steht. Solche Tabellen kann man in Büchern, im Internet oder in Computeralgebrasystemen^{1} finden.

• Teste alle p ∈ ℙ mit p ≤ \sqrt{n}, ob p ein Teiler von n ist. Dies ist sehr aufwändig für große n.

• Verwende den Fermat-Test: Sei a ∈ ℤ mit (a,n) = 1 gegeben. Ist n prim, so gilt: a^{n−1} ≡ 1 (mod n). Gilt diese Kongruenz aber nicht, so kann n nicht prim sein. Es ist also möglich zu zeigen, daß n nicht prim ist ohne einen Faktor von n zu finden! Sowohl die Berechnung von (a,n) als auch von a^{n−1} (n) sind “leicht” (vgl (2.14)). Deshalb gibt es eine “leichte” Methode zur Falsifikation von “n ist prim”. Allerdings werden wir im Folgenden sehen, daß diese Methode nicht effektiv ist.

1In Computeralgebrasystemen sind typischerweise alle Primzahlen mit bis zu zwölf oder 13 Stellen tabelliert.

Definition 4.1 (Carmichael-Zahl): Eine Zahl n ∈ ℕ heißt Carmichael-Zahl (oder pseudo-Primzahl), wenn gilt:

1. n ist ungerade.

2. ∀ a ∈ ℤ mit(a,n) = 1 ist a^{n−1} ≡ 1 (mod n)

3. n ∉ ℙ

Bemerkung (Carmichael-Zahl): In der Literatur findet man diese Definition manchmal auch ohne die dritte Bedingung. Bemerkung (Pseudo-Primzahl): ”Pseudo-Primzahl” wird nicht überall gleich definiert, und bezeichnet Zahlen, die bestimmten Primzahltests entgehen. Der folgende Satz zeigt, daß es verhältnismäßig viele Carmichael-Zahlen gibt, d.h. daß der Fermat-Test (mit einigen zufällig gewählten a’s) unsicher ist. Satz 4.2 (Form der Carmichael-Zahlen): n ∈ ℕ ist Carmichael-Zahl ⇔ n = ∏ _{1≤i≤s} p_{i}, wobei die p_{i} paarweise verschiedene Primzahlen sind, s größer als eins ist und n − 1 für alle i durch p_{i}− 1 teilbar ist. Bevor wir diesen Satz beweisen erinnern wir noch kurz an einige Eigenschaften endlicher abelscher Gruppen: Satz (Eigenschaften abelscher Gruppen): Sei (G,·) eine endliche abelsche Gruppe und x ∈ G. Dann gilt:

1. ord_{G}(x) := min{n ∈ ℕ |x^{n} = 1}

2. e(G) := kgV{ord_{G}(x)|x ∈ G} e(G) heißt der Exponent von G.

3. Ist G zyklisch von der Ordnung n, so gilt: e(G) = n.

4. Ist H eine Untergruppe von G, so gilt: e(H)| e(G) und e(G/H)| e(G).

5. Ist p prim und p| #G, so folgt: p| e(G) (d.h. p| #G ⇒ ∃ x ∈ G mitord_{G}(x) ≡ 0 (mod p))

6. Die Primteiler von #G und e(G) stimmen überein.

7. e(G_{1}× G_{2}) = kgV(e(G_{1}),e(G_{2}))

Nun zum Beweis von (4.2): Beweis : Sei n Carmichael-Zahl und n = ∏ _{1≤i≤s} p_{i}^{e_{i}} seine Primfaktorzerlegung. Dann gilt: p_{i}^{e_{i}}| n ⇝ (ℤ/p_{i}^{e_{i}})^{∗} ist Faktorgruppe von (ℤ/n)^{∗} (vgl. Chinesischer Restsatz). ⇝ e((ℤ/p_{i}^{e_{i}})^{∗})| e((ℤ/n)^{∗})| n−1, da n Carmichael-Zahl ist. Wäre jetzt ein e_{i} > 1, so würde gelten:

p_{i}| e(p_{i}^{e_{i}}) = #((ℤ/p_{i}^{e_{i}})^{∗}), also p_{i}| e((ℤ/p_{i}^{e_{i}})^{∗})| n − 1. D.h. p_{i}| n und p_{i}| (n − 1), also p_{i}| n − (n − 1) und

p_{i}| 1. Widerspruch. Also ist e_{i} = 1 und p_{i}− 1 = e((ℤ/p_{i})^{∗})| n − 1. Damit ist die Richtung von links nach rechts gezeigt.

”⇐” Sei n = ∏ _{1≤i≤s} p_{i}, s > 1, #{2,p_{1},p_{2},...,p_{s}} = s + 1, p_{i}− 1| n − 1∀i.

Dann ist e((ℤ/n)^{∗} = kgV(e((ℤ/p_{i})^{∗})) = kgV(p_{i}− 1) ebenfalls Teiler von n − 1. Also gilt für alle a mit (a,n) = 1: a^{n−1} ≡ 1 (mod n)

□

Beispiel 4.3 (Carmichael-Zahlen): Die kleinsten Carmichael-Zahlen sind:

n = 3 · 11 · 17 = 561 ( denn 2, 10 und 16 teilen 560. )
n = 5 · 13 · 17 = 1105 ( denn 4, 12 und 16 teilen 1004. )
n = 7 · 13 · 19 = 1729 ( denn 6, 12 und 18 teilen 1728 . )

Die kleinste Carmichael-Zahl mit 4 Faktoren ist:

n = 7 · 11 · 13 · 41 = 41041 ( denn 6, 10, 12 und 40 teilen 41040. )

Diese Zahlen entkommen dem Fermat-Test.

Proposition 4.4 (Carmichael-Zahlen und Primteiler): Jede Carmichael-Zahl hat mindestens 3 Primteiler.

Beweis : Sei n = pq, p,q ∈ ℙ. Dann gilt: p − 1| n − 1 = pq − 1. Wegen p − 1| (p − 1)q = pq − q gilt also p − 1| (pq − 1) − (pq − q) = q − 1.

Analog gilt: q − 1| p − 1, also p = q. Widerspuch.

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Bemerkung 4.5 (Anzahl der Carmichael-Zahlen): Ein Satz von Alford, Granville,Pomerance (1994) besagt, daß für x ≫ 0 gilt:

#\{n ≤ x | n ist Carmichael-Zahl \} ≥ x^{\frac{2}{7}}

D.h. mindestens so viele (zu viele!) n “überstehen” den Fermat-Test, der deshalb unsicher ist. Definition 4.6 (Euler-Zeuge): Sei n ∈ ℕ ungerade, (a,n) = 1. a heißt Euler-Zeuge (für die Zerlegbarkeit von n) wenn gilt:

( \frac{a}{n}) ≢ a^{\frac{n−1}{2}} (mod n)

Dabei kann sowohl das Jacobi-Symbol links als auch die Potenz rechts schnell berechnet werden (vgl. (3.9) und (2.14)). Existiert ein Euler-Zeuge a zu n, so ist n zerlegbar, auch wenn wir i.a. keine Zerlegung abgeben können. Weiter setzen wir:

E_{n}:= \{\overline{a} ∈ (ℤ/n)^{∗}|( \frac{a}{n}) ≡ a^{\frac{n−1}{2}} (mod n)\}

Lemma 4.7 (E_{n}): E_{n} ist Untergruppe von (ℤ/n)^{∗}. Beweis : Wegen der Multiplikativität des Jacobi-Symbols und der Exponentation ist mit \overline{a},\overline{b} auch deren Produkt und \overline{a^{−1}} = \overline{a}^{φ(n)−1} ∈ E_{n}.

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Satz 4.8 (Primalität und E_{n}): Sei n ≡ 1(2). Dann gilt:

n prim ⇔ E_{n} = (ℤ/n)^{∗}

Beweis : ”⇒” gilt wegen der Euler-Kongruenz (2.23). ”⇐” Sei E_{n} = (ℤ/n)^{∗}. Für alle a ∈ ℤ mit (a,n) = 1 ist a^{\frac{n−1}{2}} ≡ ( \frac{a}{n}) = ±1, also a^{n−1} ≡ 1 (mod n). Deshalb ist n ∈ ℙ oder n ist Carmichael-Zahl. \underline{Annahme}: n ist Carmichael-Zahl, d.h. n = p_{1}··· p_{s} mit s ≥ 3 p_{i}− 1| n − 1.

Sei b ∈ ℤ mit ( \frac{b}{p_{1}}) = −1, b ≡ 1 (mod p_{i}) i = 2,...s.

(b existiert nach dem Chinesischen Restsatz.)

Deshalb gilt: b^{\frac{n−1}{2}} ≡^{n} ( \frac{b}{n}) = ( \frac{b}{p_{1}}) ( \frac{b}{p_{2}}) ··· ( \frac{b}{p_{s}}) = −1 · 1··· 1 = −1.

also: b^{\frac{n−1}{2}} ≡ −1 (mod n) und damit b^{\frac{n−1}{2}} ≡ 1 (mod p_{2}). Andererseits gilt: b^{\frac{n−1}{2}} ≡ 1^{\frac{n−1}{2}} ≡ 1 (mod p_{2}). Widerspruch.

□

Korollar 4.9 (E_{n}): Sei n ≡ 1(2), n ∉ ℙ. Dann ist #(E_{n}) ≤ \frac{φ(n)}{2} bzw. #\{\overline{a}|a Euler-Zeuge \} ≥ \frac{φ(n)}{2}. Beweis : E_{n} ist echte Untergruppe von (ℤ/n)^{∗}.

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Primzahltest 4.10 (Primzahltest von Solovay und Strassen (1977)):

Sei n ≡ 1(2). (In der Praxis n ≫ 0)

1. Wähle a_{1},...,a_{r} ∈ {2,3,...n − 1} “zufällig”. (Die ersten r Primzahlen sind eine gute Wahl.)

2. Teste (a_{i},n) = 1. Falls (a_{i},n) > 1, ist n nicht prim und wir sind fertig.

3. Ist \underbrace{( \frac{a_{i}}{n}) ≢ ai^{\frac{n−1}{2}} (mod n)}_{Schnell berechenbar} für ein i erfüllt, so ist n nicht prim.

Andernfalls ist die Aussage “n prim” vermutlich richtig mit einer Fehlerwahrscheinlichkeit kleiner als 2^{−r} , wenn die \overline{a_{i}} multiplikativ unabhängig sind (Dies ist z.B. bei den ersten r Primzahlen der Fall, falls das Produkt dieser Primzahlen kleiner als n ist)^{2}.Nicht verwendet werden dürften z.B.: a_{1} = 2, a_{2} = 3, a_{3} = 6, weil \overline{a_{1}},\overline{a_{2}} ∈ E_{n} bereits \overline{a_{3}} ∈ E_{n} impliziert. Der “Versuch” a_{3} liefert also keine neuen Informationen.

Beispiel 4.11 (Primzahltest von Solovay und Strassen, sowie schnelle Exponentation):

Wir wollen prüfen, ob n = 77 = 7·11 eine Primzahl ist. Dazu wählen wir a = 2 als “Zufallszahl” und berechnen zuerst 2^{38} (mod 77):

\begin{matrix}2^{38} ≡ & (2^{2})^{19} ≡ 4^{19} ≡ 4^{18}· 4 ≡ (4^{2})^{9}· 4 ≡ 16^{9}· 4 ≡ (16^{2})^{4}· 16 · 4 ≡ (25)^{4}· 16 · 4 \\ ≡ & (25^{2})^{2}· 16 · 4 ≡ 9^{2}· 16 · 4 ≡ 4 · 16 · 4 ≡ 25 (mod 77) \end{matrix}

Damit gilt:

( \frac{2}{77}) ≡ (−1)^{\frac{77^{2}−1}{2}} = (−1)^{741} = −1 ≢ 25 ≡^{s.o.} 2^{38} ≡ 2^{\frac{77−1}{2}} (mod 77).

Also ist 77 keine Primzahl.

□

Für große n ist dieses Verfahren allerdings immer noch aufwändig weil jeder Test die ”Fehlerwahrscheinlichkeit” nur um einen Faktor 2 verkleinert. Deshalb wollen wir im folgenden den Test von Solovay und Strassen verfeinern.

Definition 4.12 (Miller-Rabin-Zeuge): Sei 0 ≪ n ∈ ℕ,n ungerade. Ein Miller-Rabin-Zeuge (für die Zerlegbarkeit von n) ist eine Zahl a ∈ ℤ mit:

• a^{u} ≢ 1 (mod n) mit n − 1 = 2^{t}u (u ungerade)

• a^{2^{s}u} ≢ −1 (mod n) ∀ s: 0 ≤ s < t

Satz 4.13 (Miller-Rabin-Zeugen und Zerlegbarkeit): Seien n,t und u wie oben. Es gilt:

1. Besitzt n einen Miller-Rabin-Zeugen, so ist n zerlegbar.

2. Ist n zerlegbar, so besitzt n Miller-Rabin-Zeugen. Insbesondere ist jeder Euler-Zeuge auch ein Miller-Rabin-Zeuge.

Für den Beweis verwenden wir den folgenden trivialen Satz:

Satz (Division und Kongruenzen): Seien g,h,a,b ∈ ℤ gegeben mit g| a, g| b, a ≡ b (mod gh). Dann gilt:

\frac{a}{g} ≡ \frac{b}{g} (mod h).

2Dabei stellt sich die Frage, was es bedeuten soll, daß eine Zahl mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit prim ist. Man beachte, daß wir hier nur ein ’Modell’ betrachten. In wie fern dieses Modell etwas mit der Wirklichkeit zu tun hat, ist eine philosophische Frage.

Beweis :

1. Sei a ein Miller-Rabin-Zeuge.

\underline{Annahme}: n = p ∈ ℙ.

Dann ist 1 ≡^{p} a^{p−1} = a^{(2^{t}u)}. Sei s maximal mit 0 ≤ s < t und b:= a^{(2^{s}u)} ≢ 1. Dann gilt: b^{2} = a^{(2^{(s+1)} u)} ≡ 1. Wegen der Primalität von p ist dann b kongruent zu -1 (modulo p), im Widerspruch zur Miller-Rabin-Eigenschaft von a.

2. Sei n zerlegbar und ∏ _{1≤i≤r} p_{i}^{e_{i}} die Primfaktorzerlegung von n. Weiter sei n − 1 = 2^{t}u (u ungerade). Wir zeigen: a Euler-Zeuge ⇒ a Miller-Rabin-Zeuge. Dies gilt genau dann, wenn für die Negierungen dieser Aussagen gilt:

\{ \begin{matrix}(a,n) = 1 \\ a kein Miller-Rabin-Zeuge \end{matrix} \} ⇒ \overline{a} ∈ E_{n} ⊂ (ℤ/n)^{∗}. d.h. \overline{a} ist kein Euler-Zeuge .

Sei also a kein Miller-Rabin-Zeuge, d.h. a^{u} ≡ 1 (mod n) oder a^{(2^{s}u)} ≡ −1 (mod n) für ein s mit

0 ≤ s < t.

\underline{1.Fall}: a^{u} = 1. Dann gilt:

a^{\frac{n−1}{2}} = a^{(2^{t−1}u)} ≡ (a^{u})^{2^{t−1}} ≡ 1 (mod n).

Weiter gilt:

1 = ( \frac{1}{n}) = ( \frac{a^{u}}{n}) = ( \frac{a}{n})^{u} =^{u ungerade} ( \frac{a}{n}) .

Damit ist Fall 1 fertig.

\underline{2.Fall}: a^{(2^{s}u)} ≡ −1, 0 ≤ s < t.

Für i = 1,2,...,r sei d_{i} := ord_{(ℤ/p_{i})^{∗}}(\overline{a}). Dann gilt: d_{i} | 2̸^{s}u, aber d_{i}| 2^{s+1} u (vgl. Voraussetzung).

Aus a^{2^{s}u} ≡ −1 (mod n) folgt: a^{2^{s}u} ≡ −1 (mod p_{i}), d.h. (∗) d_{i} = 2^{s+1} v_{i}, wobei v_{i}| u.

Insbesondere sind die v_{i} ungerade. Wegen d_{i}| p_{i}−1 können wir schreiben: p_{i} = 2^{s+1} k_{i}+1, k_{i} ∈ ℕ. Weiter gilt:

\begin{matrix}n = & ∏_{1≤i≤r} p_{i}^{e_{i}} = ∏_{1≤i≤r} (1 + 2^{s+1} k_{i})^{e_{i}} = ∏_{1≤i≤r} [1 + \binom{e_{i}}{1} 2^{s+1} k_{i}+ \binom{e_{i}}{2} 2^{2s+2} k_{i}^{2}+ ...] \\ ≡ & 1 + 2^{s+1} ∑_{1≤i≤r} e_{i}k_{i} (mod 2^{s+2} ) \end{matrix}

(Alle Terme, die beim letzten Schritt weggefallen sind, hatten einen Faktor 2^{2s+2} , und sind damit kongruent zu 0 (modulo 2^{s+2} )).

⇝ 2^{t−1}u = \frac{n−1}{2} ≡ 2^{s}∑_{1≤i≤r} e_{i}k_{i} (mod 2^{s+1} )

⇝ 2^{t−1−s} ≡^{u ungerade} 2^{t−1−s} u ≡ ∑_{1≤i≤r} e_{i}k_{i} (mod 2)

Deshalb gilt (modulo n): a^{( \frac{n−1}{2} )} = a^{2^{t−1}u} = a^{(2^{s}u)s^{t−1−s}} ≡ (−1)^{2^{t−1−s}} = (−1)^{∑_{1≤i≤r} e_{i}k_{i}}. Es bleibt ( \frac{a}{n}) zu berechnen. Zuerst ist a^{\frac{di}{2}} ≡ −1 (mod p_{i}). Dann gilt:

( \frac{a}{p_{i}}) ≡_{p_{i}} a^{\frac{p_{i}−1}{2}} = a^{( \frac{d_{i}}{2})( \frac{p_{i}−1}{d_{i}} )} ≡_{p_{i}} (−1)^{\frac{p_{i}−1}{d_{i}}} =_{(∗), da v_{i} ungerade} (−1)^{\frac{p_{i}−1}{2^{s+1}}} = (−1)^{k_{i}}

Also gilt bereits: ( \frac{a}{p_{i}}) = (−1)^{\frac{pi−1}{2s+1}} . (Da beide Terme ±1 sind, folgt aus der Kongruenz schon die Gleichheit.)

Abschließend gilt:

( \frac{a}{n}) = ∏_{1≤i≤r} ( \frac{a}{p_{i}}) ^{e_{i}} = ∏_{1≤i≤r} (−1)^{k_{i}e_{i}} = (−1)^{∑_{1≤i≤r} k_{i}e_{i}}

Damit ist auch hier ( \frac{a}{n}) ≡ a^{\frac{n−1}{2}} (mod n), und die Klasse \overline{a} von a (modulo n) liegt in E_{n}.
□

Korollar 4.14 (Anzahl der Miller-Rabin-Zeugen): Ist n ungerade und nicht prim, so besitzt n mindestens \frac{φ(n)}{2} Miller-Rabin-Zeugen, nämlich die Zahlen, die bereits Euler-Zeugen sind.

□

Satz (Satz von Rabin (hier ohne Beweis)): Sei n > 9 ungerade und zerlegbar. Dann hat n mindestens \frac{3}{4}n ≥ \frac{3}{4}φ(n) Miller-Rabin-Zeugen ≤ n. Dieser Satz aus den Siebziger-jahren besagt also, daß wir nur halb so viele Tests benötigen, um mit der gleichen “Wahrscheinlichkeit” sagen zu können, daß n eine Primzahl ist. Darauf basiert der folgene Primzahltest: Primzahltest 4.15 (Primzahltest von Miller-Rabin): Sei n ≫ 0 gegeben. Wir wollen die Frage entscheiden, ob n prim ist.

1. Wähle a_{1},a_{2},...,a_{r} “zufällig”, aber paarweise teilerfremd.

2. Teste (n,a_{i}) = 1 (Falls (n,a) > 1 gilt, sind wir hier bereits fertig).

3. Ist eines der a_{i} ein Miller-Rabin-Zeuge, so ist n zerlegbar. Sind alle a_{i} keine Miller-Rabin-Zeugen, so ist n wahrscheinlich prim, mit einer Fehlerwahrscheinlichkeit von (\frac{1}{4})^{r}.

Satz (Satz von Ankeny-Montgomery-Bach (hier ohne Beweis)): Unter der Voraussetzung GRH (Generalized Riemann Hypothesis^{3}) hat jede zerlegbare ungerade Zahl n einen Miller-Rabin-Zeugen q ∈ ℙ mit q < 2(log(n)). In der folgenden Tabelle verdeutlichen wir, wie groß dieser Wert ist:

\begin{matrix}n & 10^{10} & 10^{100} & 10^{1000} \\ 2(logn)^{2} & 1060,37954 & 106037,954 & 10603795,4 \end{matrix}

Dies bedeuted, daß dieser Test, z.B. für eine zehnstellige Zahl n nur φ(1060) = 177 Tests machen muß um sicher zu sein, ob n eine Primzahl ist. Damit ist dieser Test nicht mehr probabilistisch! Es gilt sogar: 2 ist Miller-Rabin-Zeuge für alle ungeraden n mit: n ∉ ℙ,n < 2^{11}− 1 = 2047. 2 oder 3 ist Miller-Rabin-Zeuge für alle ungeraden n mit: n ∉ ℙ,n < 1.373.652 = 829 · 1657. 2, 3, 5 oder 7 ist Miller-Rabin-Zeuge für alle ungeraden n mit: n ∉ ℙ,n < 2,5 · 10^{10}, mit einer bekannten

Ausnahme, nämlich n = 3215031751 = 151 · 751 · 28351.

Die Miller-Rabin-Eigenschaft gilt also viel häufiger als man zur Zeit beweisen kann.

3Dabei handelt es sich um eine der interessantesten, aber auch schwersten Vermutungen der Mathematik. Obwohl sie noch unbewiesen ist, wurde sie durch so viele heuristische Methoden verifiziert, daß sie allgemein als “wahr” angenommen wird. Der hier genannte Satz ist nur einer von vielen, die auf dieser Vermutung beruhen. Sollte sie tatsächlich widerlegt werden hätte dies weitreichende Auswirkungen in fast allen Zweigen der Mathematik.

22 5 QUADRATSUMMEN UND DAS WARING-PROBLEM

\underline{Zusammenfassung} :

Test  Art  Vorteile  Nachteile
Naiv (Teilersuche bis \sqrt{n}) deterministisch  sicher  unbrauchbar (zu langsam)
Fermat-Test  probabilistisch  einfach  unsicher
Solovay-Strassen  probabilistisch  einfach  hohe Fehlerwahrscheinlichkeit
Miller-Rabin  probabilistisch  geringe  höherer Rechenaufwand

Fehlerwahrscheinlichkeit

Miller-Rabin deterministisch ”sicher” höherer Rechenaufwand,

beruht auf nicht bewiesener GRH.

\underline{Schlußbemerkung} : Im August 2002 haben Agrawal, Kayal, Saxena einen Primzahltest vorgestellt, der deterministisch ist und nur polynomiale Komplexität hat.

5 Quadratsummen und das Waring-Problem

In diesem Kapitel wollen wir uns mit der Frage beschäftigen, welche natürlichen Zahlen sich als Summe von zwei (drei, vier, ...) Quadraten (Kuben, k-ten Potenzen) schreiben läßt. Dieses Problem bezeichnet man als das Waring-Problem^{4}. Wir wollen uns zuerst mit folgendem Leitproblem beschäftigen:

Für welche n hat

(∗) x^{2}+ y^{2} = n

eine Lösung aus ℤ × ℤ?.

Anmerkung (diophantische Gleichungen): Gleichungen, bei denen man sich nur für ganzzahlige Lösungen interessiert, bezeichnet man auch als diophantische Gleichungen.

Lemma 5.1 (Produkt von Quadratsummen): Mit m,n ist auch mn Summe von zwei Quadraten.

Beweis :

\begin{aligned}(a^{2}+ b^{2})(c^{2}+ d^{2}) & = & (ac + bd)^{2}+ (ad − bc)^{2} \\ & = & (ac − bd)^{2}+ (ad + bc)^{2} \end{aligned}

□

Bemerkung (Produkt von Quadratsummen mit zwei Zahlen): Der Beweis des vorangegangenen Lemmas ist nur eine Übersetzung der Rechenregeln der komplexen Zahlen, denn aus z = a+bi, w = c+di und |z|^{2}|w|^{2} = |zw|^{2} = |\overline{z}w|^{2} folgt sofort obiger Beweis.

Satz 5.2 (Fermat, ≈ 1640): Ist p ∈ ℙ,p ≡ 1 (mod 4), so hat (*) mit p = n eine Lösung.

Beweis :

1. ( \frac{−1}{p} ) = −1, also existiert ein x ∈ ℤ mit x^{2} ≡ 1 (mod p), d.h. x^{2}+ 1 = mp, m ∈ ℕ.

2. Deshalb hat (#) x^{2}+ y^{2} = mp eine Lösung (x,y) für ein geeignetes m.

Da x,y aus \{0,1,... \frac{p−1}{2} \} gewählt werden kann^{5} ist m < \frac{p}{2}. Sei m_{0} ein derartiges m und minimal mit der Eigenschaft, daß (#) eine Lösung hat.

3. Annahme: m_{0} > 1

Ist m_{0}| x, so gilt: y^{2} ≡ 0 (mod m_{0}) und g:= (y,m_{0}) > 1.

⇝ (\frac{x}{g})^{2}+ (\frac{y}{g})^{2} = (\frac{m_{0}}{g^{2}})p.

\frac{m_{0}}{g^{2}}p ist eine ganze Zahl, und wegen m_{0} < \frac{p}{2} ist (m_{0},p) = 1. Deshalb ist sogar \frac{m_{0}}{g^{2}} ∈ ℤ. Dann ist m_{1} := \frac{m_{0}}{g^{2}} < m_{0} im Widerspruch zur Minimalität von m_{0}.

Also gilt: m_{0} | x̸. Analog folgt: m_{0} | y̸.

4Genauer gesagt ist das Waring-Problem nur ein Teilproblem dieser Fragestellung.

5Daß x,y aus {0,1,...p − 1} gewählt werden kann ist offensichtlich. Der Rest folgt, da x^{2} ≡ (x − p)^{2} ≡ (p − x)^{2} (mod p).

4. Finde jetzt c,d ∈ ℤ mit:

\begin{aligned}x_{1} & := & x − cm_{0} & 0 <^{3.} |x_{1}| < \frac{m_{0}}{2} \\ y_{1} & := & y − dm_{0} & 0 < |y_{1}| < \frac{m_{0}}{2} \end{aligned}

Dann gilt: x_{1}^{2}+ y_{1}^{2} ≡ x^{2}+ y^{2} (mod m_{0}) und

(##) x_{1}^{2}+ y_{1}^{2} = m_{1}m_{0}, m_{1} ≤ \frac{m_{0}}{2}.

5. Wir multiplizieren (#) mit (##) und erhalten

(xx_{1}+ yy_{1})^{2}+ (xy_{1}− yx_{1})^{2} =^{5.1} (x^{2}+ y^{2})(x_{1}^{2}+ y_{1}^{2}) = m_{0}m_{1}pm_{0} = m_{0}^{2}m_{1}p.

6.

xx_{1}+ yy_{1} = x(x − cm_{0}) + y(y − dm_{0}) = x^{2}+ y^{2}− m_{0}(cx + dy) = m_{0} \underbrace{(p − cx − dy)}_{F} = m_{0}F.

Ebenso gilt: xy_{1}− yx_{1} = m_{0}G, mit F,G ∈ ℤ.

7. Zusammen gilt:

m_{0}^{2}m_{1}p = (m_{0}F)^{2}+ (m_{0}G)^{2} = m_{0}^{2}(F^{2}+ G^{2})

⇝ m_{1}p = F^{2}+ G^{2}. Also ist 0 < m_{1} < m_{0}, im Widerspruch zur Minimalität von m_{0}.

□

Definition 5.3 (Primitiv): Eine Lösung (x,y) ∈ ℤ × ℤ von x^{2}+ y^{2} = n heißt primitiv, falls (x,y) = 1, sonst imprimitiv. Satz 5.4 (Summen von Quadraten und Primzahlen kongruent 3 (modulo 4)): Sei p ∈ ℙ,p ≡ 3 (mod 4),p| n. Dann gilt für jede Lösung (x,y) von (*):

p| x und p| y.

Insbesondere hat x^{2}+ y^{2} = p keine Lösung. Beweis : Sei (x,y) Lösung von (*). \underline{Annahme}: p | x̸, d.h. es gilt auch p | y̸. Wegen (p,x) = 1 existiert eine Lösung m der Kongruenz mx ≡ y (mod p).

D.h. x^{2}(1 + m^{2}) ≡_{p} x^{2}+ y^{2} ≡ 0.

⇝ 1 + m^{2} ≡ 0 (mod p) ⇝ ( \frac{−1}{p} ) = +1 im Widerspruch zu p ≡ 3 (mod 4).

Definition 5.5 (Genauer p-Teiler): Für p ∈ ℙ und n ∈ ℕ sei p^{r}∥ n per Definition genau dann wahr, wenn p^{r}| n und p^{r+1} | n̸ erfüllt sind. Dann ist p^{r} der genaue p-Teiler von n. Satz 5.6 (Summe zweier Quadrate): Für n ∈ ℕ gilt: n ist genau dann Summe von zwei Quadraten, wenn alle Primteiler p von n mit p ≡ 3 (mod 4) mit geradem Exponenten in n aufgehen:

∃ (x,y) ∈ ℤ × ℤ mitx^{2}+ y^{2} = n ⇔ [\{ \begin{matrix}p ∈ ℙ,p| n \\ p ≡ 3(4),p^{r}∥ n \end{matrix} \} ⇒ r ≡ 0(2)]

Beweis : ”⇒”: Sei n = x^{2}+ y^{2}, p| n, p ≡ 3 (mod 4).

Nach (5.4) gilt: p| x und p| y, also gilt: p^{2}| n. ⇝ (\frac{n}{p^{2}}) = (\frac{x}{p})^{2}+ (\frac{y}{p})^{2}. Ist jetzt (\frac{n}{p^{2}}) ≢ 0 (mod p), so gilt: p^{2}∥ n. Sonst folgt mit der Methode des unendlichen Abstiegs, daß p^{r}∥ n mit r ≡ 0 (mod 2) für ein geeignetes r ∈ ℕ. ”⇐”: Sei n = 2^{f} ∏ _{p_{i}≡1(4)} p_{i}^{f_{i}} ∏ _{q_{j}≡3(4)} q_{j}^{2·g_{j}} die Primfaktorzerlegung von n, wobei 2,p_{i},q_{j} ∈ ℙ alle verschieden sind. Alle Faktoren

\{ \begin{matrix}2 = 1^{2}+ 1^{2} \\ p_{i} nach (5.2) \\ q_{j}^{2} = q_{j}^{2}+ 0^{2} \end{matrix} \}

sind Summen von zwei Quadraten. Deshalb auch n nach (5.1).

24 5 QUADRATSUMMEN UND DAS WARING-PROBLEM

□

Als nächstes wollen wir das folgende Problem behandeln:

Für welche n ∈ ℕ besitzt x_{1}^{2}+ x_{2}^{2}+ x_{3}^{2}+ x_{4}^{2} = n eine Lösung (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) ∈ ℤ^{4}?

Lemma 5.7 (Produkt von Quadratsummen): Sind m,n ∈ ℕ jeweils Summen von vier Quadraten, so kann man auch mn als Summe von vier Quadraten schreiben.

Beweis : Es gilt die Identität (x_{1}^{2}+ x_{2}^{2}+ x_{3}^{2}+ x_{4}^{2})(y_{1}^{2}+ y_{2}^{2}+ y_{3}^{2}+ y_{4}^{2}) = (z_{1}^{2}+ z_{2}^{2}+ z_{3}^{2}+ z_{4}^{2}), mit

\begin{matrix}z_{1} = x_{1}y_{1}+ x_{2}y_{2}+ x_{3}y_{3}+ x_{4}y_{4} \\ z_{2} = x_{1}y_{2}− x_{2}y_{1}+ x_{3}y_{4}− x_{4}y_{3} \\ z_{3} = x_{1}y_{3}− x_{3}y_{1}+ x_{4}y_{2}− x_{2}y_{4} \\ z_{4} = x_{1}y_{4}− x_{4}y_{1}+ x_{2}y_{3}− x_{3}y_{2} \end{matrix} .

Beachte dabei folgende Symmetrien:

• Bis auf das Vorzeichen tritt jede Kombination x_{i}y_{j} (1 ≤ i,j ≤ 4) genau einmal auf.

• Bei Ausmultiplikation der z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}+z_{4}^{2} treten 64 Terme auf. Davon sind 16 “reine” Terme, d.h. Terme der Form (x_{i}y_{j})^{2} und 48 Terme der Form (x_{i}y_{j})(x′_{i}y′_{j}) mit (i,j) ≠ (i′,j′). Davon sind allerdings je 2 identisch, und deshalb man hat 24 Terme der Form 2(x_{i}y_{j})(x′_{i}y′_{j}).

Es reicht also zu sehen, daß sich die gemischten Terme wegheben. Genauer:

∀ (i,j) ≠ (i′,j′) kommt 2(x_{i}y_{j})(x′_{i}y′_{j}) genau zweimal vor, und zwar mit verschiedenen Vorzeichen. Dies kann man mittels Nachrechnen leicht verifizieren.

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Bemerkung (Produkt von Summen von vier Quadraten): Die auftretenden Formeln erklären sich durch die Rechenregeln im Schiefkörper^{6} ℍ der Quaternionen.

ℍ := {a + bi + cj + dk|a,b,c,d ∈ ℝ}, wobei {1,i,j,k} die Standardbasisbasis des 4-dimensionalen ℝ-Vektorraumes ℍ ist. Außerdem gilt in ℍ, daß i^{2} = j^{2} = −1 und ij = −ji = k gilt. Dies genügt, um die Multiplikation eindeutig zu machen. So gilt beispielsweise:

ik = iij = −j oder k^{2} = ij(−ji) = i(−j^{2})i = i^{2} = −1.

Lemma 5.8 (Summe von Quadraten): Sei p > 2 eine Primzahl. Dann existieren x,y ∈ ℤ,m ∈ N, m < \frac{p}{2} mit

1 + x^{2}+ y^{2} = mp.

Beweis : (Vorbemerkung: Für p ≡ 1 (mod 4) geht dies sogar mit y = 0 (Siehe Beweis von (5.2)).

Betrachte folgende p + 1 Zahlen: x^{2} mit (0 ≤ x ≤ \frac{p−1}{2} ) sowie −1 − y mit (0 ≤ y ≤ \frac{p_{1}}{2}).

Die x^{2} sind alle inkongruent (modulo p)^{7}, ebenso die −1−y^{2}. Also existieren x,y wie oben mit x^{2} ≡^{p} −1−y^{2},

d.h. x^{2}+ y^{2}+ 1 = mp mit m < \frac{p}{2}.

□

Satz 5.9 (Summe von vier Quadraten): Jedes n ∈ ℕ besitzt eine Darstellung als Summe von vier Quadraten^{8}.

6Schiefkörper sind Ringe, in denen multiplikative Inverse existieren, in denen die Multiplikation aber i.A. nicht kommutativ ist.

Sie werden auch als Divisionsringe bezeichnet.

7Aus x^{2} = x′^{2} würde x = x′oder x = p − x′folgen. Da p − x′ ∉ \{0,..., \frac{p−1}{2} \}, folgt schon x = x′.

8Dieser Satz wurde zuerst von Legendre entdeckt. Allerdings enthielt sein Beweis eine Lücke, die erst von Gauß geschlossen wurde.

Beweis : Wegen Lemma (5.7) können wir folgendes annehmen: n = p ∈ ℙ, p > 2.

1. Nach Satz (5.8) existieren x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} ∈ ℤ mit ∑_{1≤i≤4} x_{i}^{2} = mp, m < \frac{p}{2}.

Sei nun m_{0} ein derartiges m und minimal mit dieser Eigenschaft. Insbesondere ist m_{0} kleiner als \frac{p}{2}.

\underline{Annahme}: m_{0} > 1.

2. m_{0} ist ungerade. Wäre nämlich m_{0} gerade, dann wären 0, 2 oder 4 der x_{i}^{2} (und damit der x_{i}) gerade und deshalb (nach Umnummerieren) x_{1} ≡ x_{2}, x_{3} ≡ x_{4} (mod 2).

Dann ist (\frac{x_{1}+x_{2}}{2} )^{2}+ (\frac{x_{1}−x_{2}}{2} )^{2}+ (\frac{x_{3}+x_{4}}{2} )^{2}+ (\frac{x_{3}−x_{4}}{2} )^{2} = \frac{1}{2}m_{0}p, im Widerspruch zur Minimalität von m_{0}.

3. Schreibe für 1 ≤ i ≤ 4: x_{i} = b_{i}m_{0}+ y_{i} mit |y_{i}| < \frac{m}{2}.

4. Es existiert ein i mit y_{i} ≠ 0. Wären alle y_{i} = 0, so wären auch alle x_{i} ≡ 0 (mod m_{0})

⇝ m_{0}^{2}| m_{0}p ⇝ m_{0}| p, im Widerspruch zu m_{0} < \frac{p}{2} oder p ∈ ℙ.

5. ∑_{1≤i≤4} y_{i}^{2} ≡ ∑_{1≤i≤4} x_{i}^{2} (mod m_{0}) ≡ 0, also ∑_{1≤i≤4} y_{i}^{2} = m_{1}m_{0}, m_{1} ∈ ℕ, m_{1} < m_{0}.

6. Multiplikation der Gleichungen von (1.) und (5.) ergibt:

∑_{1≤i≤4} z_{i}^{2} =^{5.7} ( ∑_{1≤i≤4} y_{i}^{2})( ∑_{1≤i≤4} x_{i}^{2}) = m_{0}^{2}m_{1}p.

7. Alle z_{i} sind teilbar durch m_{0}, denn:

z_{1} =  x_{1}(x_{1}− b_{0}m_{0}) + ...+ x_{4}(x_{4}− b_{4}m_{0}) ≡_{m_{0}}∑_{1≤i≤4} x_{i}^{2}  ≡_{m_{0}} 0
z_{2} = x_{1}(x_{2}− b_{2}m_{0}) − x_{2}(x_{1}− b_{1}m_{o}) + x_{3}(x_{4}− b_{4}m_{0}) + x_{4}(x_{3}− b_{3}m_{0}) ≡_{m_{0}} 0
⋮

8. Wegen (7.) gilt: w_{i} := \frac{z_{i}}{m_{0}} ∈ ℤ. Damit folgt: ∑_{1≤i≤4} w_{i}^{2} = m_{1}p, im Widerspruch zur Minimalität von m_{0},

da m_{1} < m_{0}.

□

Bemerkung 5.10 (Summe von drei Quadraten): Das Analogon von (5.1) bzw. (5.7) für Summen von drei Quadraten ist falsch, wie das folgende Beispiel zeigt:

15 = 3·5 = (1^{2}+1^{2}+1^{2})(2^{2}+1^{2}+0^{2}). Aber 15 läßt sich nicht als Summe von drei Quadraten darstellen.

Satz 5.11 (Summe von drei Quadraten): Für n ∈ ℕ sind äquivalent:

1. n besitzt \underline{keine} Darstellung n = x^{2}+ y^{2}+ z^{2}, x,y,z ∈ ℤ.

2. n hat die Form n = 4^{a}(8k + 7) mit a,k ∈ ℕ_{0}.

Beweis : “(2.) ⇒ (1.)” bzw. “nicht (1.) ⇒ nicht (2.)”:

Sei n = x^{2}+ y^{2}+ z^{2} und a = max{i|2^{i}| ggT (x,y,z)}.

Dann ist n = 4^{a}(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}), wobei x = 2^{a}x_{1}, y = 2^{a}y_{1}, z = 2^{a}z_{1}, und wenigstens eines der x_{1},y_{1},z_{1} ist ungerade. oBdA sei x_{1} ungerade. Modulo 8 ist dann x_{1}^{2} ≡ 1, y_{1}^{2},z_{1}^{2} ≡ 0,1,4. Die Zahl x_{1}^{2}+ y_{1}^{2}+ z_{1}^{2} ist dann kongruent (modulo 8) zu 1,2,3,5 oder 6.

Die Implikation “(1.) ⇒ (2.)” bzw “nicht (2.) ⇒ nicht (1.)” findet sich z.B. bei “Landau, Vorlesungen über elementare Zahlentheorie 1927, Reprints” oder in Büchern über algebraische Zahlentheorie. Mit unseren bisherigen Mitteln wäre ein Beweis nur schwer zu führen.

□

26 6 BERNOULLI-ZAHLEN UND -POLYNOME

Ausblick 5.12 (Benachbarte Probleme):

1. Wie viele verschiedene Darstellungen als Summe von 2 (3, ...g) Quadraten (Kuben, k-ten Potenzen) besitzt n ∈ ℕ?

In Formeln: Berechne

r_{g}(n) := #{(x_{1},...,x_{g}) ∈ ℤ^{g}|∑_{1≤i≤g} x_{i}^{2} = n}

2. Welche n ∈ ℕ besitzen eine Darstellung als Summe von 2,3, ... Kuben (k-ten Potenzen)? Wie viele solche Darstellungen gibt es gegebenenfalls?

3. Sei k ∈ ℕ,k ≥ 2 gegeben. Gibt es eine Zahl g, so daß sich jedes n ∈ ℕ als Summe von höchstens g k-ten Potenzen schreiben läßt?

Eng verwandt damit ist das Problem 3’.:

3’. Gibt es ein G so, daß sich fast alle Zahlen n ∈ ℕ als Summe von höchstens G k-ten Potenzen schreiben lassen?

Setze g(k) bzw G(k) für die kleinstmögliche Zahl g bzw. G in 3. bzw. 3’.

3. bzw. 3’. heißt das Waring-Problem im engeren Sinn.

Bemerkungen 5.13 (Benachbarte Probleme): Zu den oben genannten Problemen wurde bisher folgendes herausgefunden:

1. \underline{Exakte} Formeln existieren für g ≤ 8 (Siehe Hardy,Wright 20.12, Bundschuh IV §1,8). Für größere g existieren asymptotische Aussagen.

2. Zu Problem 2. gibt es bisher keine allgemeine Antwort. Es existieren lediglich einige Teilaussagen. Z.B. gilt für k = 3:

x^{3} ≡ 0,1,8 (mod 9) ∀ x ∈ ℤ ⇝ (n = x^{3}+ y^{3} ⇒ n ≡ 0,1,2,7,8).

3. Im Jahre 1909 zeigte Hilbert, daß g(k) für alle k ≥ 2 existiert. Allerdings wurde keine Aussage darüber getroffen, wie groß g(k) ist. Zur Zeit ist folgendes bekannt:

g(2) = 4 (vgl. (5.9)).

g(3) = 9 (Wieferich 1909, wobei neun Zahlen nur für n = 23 und n = 239 erforderlich sind.

g(4) = 19 (Balasubramanian, Deshouillers, Dress 1985).

g(5) = 37 (Chen 1964).

Mit g^{∗}(k) := 2^{k}+ [(\frac{3}{2})^{k}] − 2 gilt: g(k) = g^{∗}(k) ∀ k ≤ 471.600.000.

Diese Gleichheit wurde mit Hilfe von Computern gezeigt. Die Zahl 471.600.000 war die größte Zahl, die mit dem Computer zu verifizieren war. Weiter ist bekannt:

g(k) ≥ g^{∗}(k). Außerdem gilt für fast alle k sogar die Gleichheit. Allerdings ist nicht bekannt für welche k die Gleichung nicht gelten könnte.

Weiter ist k + 1 ≤ G(k) ≤ g(k), z.B. ist G(3) = 7 (Hardy, Wright).

6 Bernoulli-Zahlen und -Polynome

Die Bernoulli-Zahlen und -Polynome, die wir in diesem Kapitel behandeln, wurden zum ersten Mal von Jakob Bernoulli (1654-1705) in seinem Buch ”Ars conjectardi” (Die Kunst zu vermuten 1683, posthum erschienen 1714) vorgestellt.

Erinnerung (formale Potenzreihe): Ist K ein kommutativer Ring, so heißt ein Ausdruck der Form

∑_{i∈ℕ_{0}} a_{i}X^{i} = ∑_{i≥0} a_{i}X^{i} (a_{i} ∈ K)

eine formale Potenzreihe über K in der Unbestimmten X. Die Menge K[[X]] aller Potenzreihen über K bildet bzgl. komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation einen K-Modul. Der Ring K[X] der Polynome in X ist ein Untermodul von K[[X]]. Wir definieren das Produkt (fg)(X) zweier Potenzreihen

f(X) = ∑_{i≥0} a_{i}X^{i} und g(X) = ∑_{j≥0} b_{j}X^{j} durch (fg)(X) = ∑_{k≥0} c_{k}X^{k} mit c_{k} := ∑ \begin{matrix}i,j>0 \\ i+j=k \end{matrix} a_{i}b_{j}. Dies macht

K[[X]] zu einem kommutativen Ring mit K[X] als Unterring.

Wir notieren einige Eigenschaften formaler Potenzreihen:

• f(X) = ∑_{n≥0} a_{n}X^{n} ist invertierbar ⇔ a_{0} ist invertierbar in K.

(”⇒” ist klar nach Definition von c_{0}. Für ”⇐” liefert die Definition der c_{k} einen rekursiven Algorithmus, und es gilt: b_{0} = a_{0}^{−1} ,b_{i} = \frac{−∑ a_{i}b_{j}}{a_{0}} , wobei die b_{i} die Koeffizienten der Inversen sind.)

Ab jetzt sei K = ℝ oder K = ℂ und f(X) = ∑_{i≥0} a_{i}X^{i}.

• Konvergiert ∑_{i≥0} |a_{i}|r^{i} für ein r > 0, so konvergiert ∑_{i≥0} a_{i}z^{i} für alle z ∈ K mit |z| < r.

Setze ρ(f) := sup{r ∈ ℝ|∑_{i≥0} |a_{i}|r^{i} konvergiert }.

ρ(f) heißt der Konvergenzradius von f. Es gilt:

– ρ(f) = _{\frac{1}{\overline{lim}\sqrt[i]{|a_{i}|}}}, wobei \frac{1}{0} mit unendlich und \frac{1}{∞} mit Null identifiziert wird (Abel,Hadamard). Dabei

ist \overline{lim} der limes superior.

– Sind f,g ∈ K[[X]] mit ρ(f),ρ(g) ≥ r, so gilt auch ρ(f + g) ≥ r,ρ(fg) ≥ r.

– B_{r} := {z ∈ K| |z| < r} (Offene Einheitskugel mit Radius r). Für ρ = ρ(f) ist die Abbildung B_{ρ} → K, z ↦ f(z), die \underline{mißbräuchlich} ebenfalls mit f bezeichnet wird^{9}, differenzierbar (sogar analytisch) mit Ableitung z ↦ ∑_{i≥1} ia_{i}z^{i−1} .

– Ist ρ(F) > 0, und gilt f(z) = 0∀ z ∈ B_{ρ}, so ist f = 0. Es genügt also, die Werte einer Potenzreihe auf einem beliebig kleinen Intervall zu kennen, um sie eindeutig zu identifizieren. Dies gilt allerdings nicht für Funktionen, für die man nur die schwächere Eigenschaft, unendlich oft differen-

zierbar zu sein, voraussetzt, denn die Funktion f(z) = \{ \begin{matrix}\frac{1}{e^{(z−a)(b−z)}} & z ∈ (a,b) \\ 0 & sonst \end{matrix} \} ist ebenfalls

analytisch und hat einen kompakten Träger.

Definition 6.1 (Bernoulli-Zahlen): Die k-te Bernoulli-Zahl B_{k} (k ∈ ℕ_{0}) ist definiert durch die Potenzreihe

F (t) := \frac{t}{e^{t}− 1} = ∑_{k≥0} β_{k}t^{k} =: ∑_{k≥0} \frac{B_{k}}{k!}t^{k},

mit B_{k} := k!β_{k}. Es gilt: F (t) ∈ ℚ[[t]], denn mit e^{t} = ∑_{k≥0} \frac{1}{k!}t^{k} ist auch \frac{e^{t}−1}{t} = ∑_{k≥0} \frac{1}{(k+1)!} t^{k} ∈ ℚ[[t]], und damit auch deren Inverse F (t). Durch Koeffizientenvergleich im Produkt

1 = \frac{e^{t}− 1}{t} F (t) = (1 + \frac{t}{2} + \frac{t^{2}}{6}+ \frac{t^{3}}{24} + ...)(B_{0}+ \frac{B_{1}}{1}t + \frac{B_{2}}{2}t^{2}+ \frac{B_{3}}{6}t^{3}+ ...)

erhalten wir die folgenden Werte:

B_{0} = 1,B_{1} = −\frac{1}{2},B_{2} = \frac{1}{6},B_{3} = B_{5} = B_{7} = B_{9} = 0,B_{4} = −\frac{1}{30},B_{6} = \frac{1}{42},B_{8} = −\frac{1}{30},B_{10} = \frac{5}{66},B_{12} = −\frac{691}{2730}.

Definition 6.2 (Bernoulli-Polynome):

Sei 𝔉(t,X) := \frac{te^{tX}}{e^{t}−1} = F (t)e^{tX}= (∑_{i≥0} \frac{B_{i}}{i!}t^{i})(∑_{j≥0} \frac{1}{j!} (tX)^{j}).

Schreibe dies in der Form 𝔉(t,X) =: ∑_{k≥0} \frac{B_{k}(X)}{k!}t^{k}. Dadurch wird eine Potenzreihe B_{k}(X) ∈ ℚ[[X]] bestimmt.

\underline{Vorsicht}: B_{k} ∈ ℚ, B_{k}(X) ∈ ℚ[[X]]. Es gilt allerdings: B_{k}(0) = B_{k}.

9Funktionen und Potenzreihen sind formal zwei verschiedene Gebilde.

28 6 BERNOULLI-ZAHLEN UND -POLYNOME

Proposition 6.3 (Bernoulli-Zahlen):

1. k ≥ 3,k ungerade ⇒ B_{k} = 0

2.

B_{k} = −\frac{1}{k + 1} ∑_{0≤i<k} \binom{k + 1}{i} B_{i}, (k ≥ 1)

3. B_{k}(X) ist Polynom des Grades k in X. Es gilt:

B_{k}(X) = ∑_{0≤i≤k} \binom{k}{i} B_{i}X^{k−i} = ∑_{0≤j≤k} \binom{k}{j} B_{k−j} X^{j}.

4. B_{k}(X + 1) − B_{k}(X) = kX^{k−1} (k ≥ 1)

5. B_{k}′(X) = kB_{k−1}(X) (k ≥ 1)

Beweis :

1. Es gilt:

F (t) − F (−t) = \frac{t}{e^{t}− 1} − \frac{−t}{e^{−t} − 1} = \frac{t}{e^{t}− 1} − \frac{te^{t}}{e^{t}− 1} = \frac{t}{e^{t}− 1} (1 − e^{t}) = −t

Für k ≥ 1 ergibt ein Koeffizientenvergleich: \frac{B_{2k+1}}{(2k+1)!} + \frac{B_{2k+1}}{(2k+1)!} = 0 ⇝ B_{2k+1} = 0.

2. Ein Koeffizientenvergleich in 1 = (\frac{e^{t}−1}{t} )(\frac{t}{e^{t}−1} ) = (∑_{i≥0} \frac{t^{i}}{(i+1)!} )(∑_{j≥0} \frac{B_{j}}{j!}t^{j}) führt für k ≥ 1 zu:

0 = ∑_{\begin{matrix}i,j>0 \\ i+j=k \end{matrix}} \frac{1}{(i + 1)!} \frac{B_{j}}{j!}.

Die Behauptung folgt durch Auflösen nach B_{k+1} und Anwenden der Rechengesetze für Binomialkoeffizienten.

3.

∑_{k≥0} \frac{B_{k}(X)}{k!}t^{k} = 𝔉(t,X) = F (t)e^{tX}= \frac{t}{e^{t}− 1} e^{tX}= ( ∑_{i≥0} \frac{B_{i}}{k!}t^{i}) ( ∑_{j≥0} \frac{1}{j!} X^{j}t^{j})

Der Koeffizient von t^{k} auf der rechten Seite ist:

∑_{\begin{matrix}i,j≥0 \\ i+j=k \end{matrix}} \frac{B_{i}}{i!} \frac{X^{j}}{j!} = \frac{1}{k!} ∑_{i+j=k} \binom{k}{i} B_{i}X^{k−i}

4.

∑_{k≥0}(B_{k}(X +1)−B_{k}(X))\frac{t^{k}}{k!}= 𝔉(t,X +1)−𝔉(t,X) = \frac{t(e^{t(X+1)}− e^{tX})}{e^{t}− 1} = \frac{te^{tX}}{e^{t}− 1} (e^{t}−1) = te^{tX}= t ∑_{k≥0} \frac{1}{k!}X^{k}t^{k}

Koeffizientenvergleich des Koeffizienten von t^{k} führt zu:

\frac{B_{k}(X + 1) − B_{k}(X)}{k!} = \frac{X^{k−1}}{(k − 1)!} ⇝ B_{k}(X + 1) − B_{k}(X) = kX^{k−1}.

5. Bleibt dem geneigten Leser als leichte Übung. Die Behauptung kann zum Beispiel mit 3. gezeigt

werden. Definition 6.4 (S_{k}(N)): Für k,N ∈ ℕ sei S_{k}(N) := ∑_{1≤i<N} i^{k}.

Bemerkung (Formeln für S_{k}(N) mit 1 ≤ k ≤ 4):

S_{1}(N) = ∑_{1≤i<N} i =  \frac{N(N−1)}{2}  (Babylon ≈ −600)
S_{2}(N) = ∑_{1≤i<N} i^{2} =  \frac{N(N−1)(2N−1)}{6}  (Archimedes ≈ −220)
S_{3}(N) = ∑_{1≤i<N} i^{3} =  (\frac{N(N−1)}{2})^{2}  (Vieta≈ 1600)
S_{4}(N) = ∑_{1≤i<N} i^{4} = \frac{N(N−1)(2N−1)(3N^{2}−3N−1)}{30}  (Fermat≈ 1630)

Diese Formeln folgen direkt aus dem folgenden Satz: Satz 6.5 (Explizite Formel für S_{k}(N)): Für k,N ∈ ℕ gilt:

S_{k−1}(N) = \frac{B_{k}(N) − B_{k}}{k}.

Beweis :

B_{k}(N) − B_{k} = B_{k}(N) − B_{k}(N − 1) + B_{k}(N − 1) − B_{k}(N − 2) + ...+ B_{k}(1) − B_{k}(0)

= k(N − 1)^{k−1} + k(N − 2)^{k−1} + ...+ k0^{k−1} = k ∑_{1≤i<N} i^{k−1} = kS_{k−1}(N)

□

Bemerkung (Die ersten 5 Bernoulli-Polynome): Aus Proposition 6.3 (3) berechnet man leicht:

B_{1}(X) = X − \frac{1}{2} B_{2}(X) = X^{2}− X + \frac{1}{6} B_{3}(X) = X^{3}− \frac{3}{2}X^{2}+ \frac{1}{2}X B_{4}(X) = X^{4}− 2X^{3}+ X^{2}− \frac{1}{30} B_{5}(X) = X^{5}− \frac{5}{2}X^{4}+ \frac{5}{3}X^{3}− \frac{1}{6}X.

Nun erhält man leicht die Formeln aus der letzten Bemerkung. Im Folgenden ist unser Ziel, Ausdrücke der Form ∑_{1≤i<N} f(i) zu berechnen. Dazu zeigen wir zunächst das folgende Lemma: Lemma 6.6 (Abel-Summation): Gegeben seien zwei Folgen (a_{n})_{n∈ℕ},(b_{n})_{n∈ℕ} aus ℂ. Es gilt:

∑_{1≤n<N} a_{n}b_{n} = ∑_{1≤n<N} A_{n}(b_{n}− b_{n−1} ) + A_{n}b_{n}, A_{N} := ∑_{1≤i≤n} a_{i}.

Beweis :

∑_{1≤n≤N} a_{n}b_{n} = ∑_{1≤n≤N} (A_{n}− A_{n−1} )b_{n} = ∑_{1≤n≤N} A_{n}b_{n}− ∑_{0≤n≤N−1} A_{n}b_{n+1} =^{A_{0}=0} ∑_{1≤n<N} A_{n}(b_{n}− b_{n+1} ) + A_{n}b_{n}

Erinnerung/Ergänzung aus der Analysis (Riemann-Stieltjes-Integral):

Seien I = [a,b] ⊂ ℝ, f,α: I −→ ℝ

Δ = (x_{0},...,x_{n}) eine Unterteilung von I mit a = x_{0} < x_{1} < ···< x_{n} = b

\underline{ξ} = (ξ_{0},...,ξ_{n−1} ) Zwischenwerte, x_{i} ≤ ξ_{i} ≤ x_{i+1} (0 ≤ i < n)

RS(\underline{ξ},Δ,f,α) := ∑_{0≤i<n} f(ξ_{i})[α(x_{i+1} ) − α(x_{i})]

Dann gilt:

(1) ∫_{a}^{b}f(x)dα(x) := lim_{|Δ|→0} RS(\underline{ξ},Δ,f,α)

(falls dieser Limes existiert unabhängig von der Wahl der Folge von Unterteilungen Δ, deren Feinheit |Δ| gegen 0 geht, und unabhängig von der Wahl der Zwischenwerte \underline{ξ}).

(2) ∫_{a}^{b}f(x)dα(x)

existiert, falls f stetig ist und α beschränkte Variation hat, oder falls α stetig ist und f beschränkte Variation hat. Eine Funktion α hat beschränkte Variation, falls eine Konstante c > 0 existiert, so daß für alle Unter-

teilungen δ = (x_{0}...x_{n}) von I gilt: ∑_{0≤i<n} |α(x_{i+1} ) − α(x_{i})| ≤ c.

Praktisch alle in der Vorlesung auftretenden Funktionen werden beschränkte Variation haben.

(3) ∫_{a}^{b}f(x)dα(x)

ist in beiden Argumenten f,α linear.

(4) Ist f stetig und α von beschränkter Variation, so gilt für alle c ∈ (a,b):

∫_{a}^{b}f(x)dα(x) = ∫_{a}^{c}f(x)dα(x) + ∫_{c}^{b}f(x)dα(x)

(5) Ist f stetig und α eine Treppenfunktion mit Sprungstellen x_{1},...,x_{n} ∈ (a,b), so gilt

∫_{a}^{b}f(x)dα(x) = ∑_{1≤i≤n} f(x_{i})x[α(x_{i}+) − α(x_{i}−)].

Dabei ist für eine Funktion β und x ∈ ℝ:

β(x+) = lim_{\begin{matrix}h→0 \\ h>0 \end{matrix}}β(x + h), β(x−) = lim_{\begin{matrix}h→0 \\ h>0 \end{matrix}}β(x − h).

(6) Ist f stetig und α stetig differenzierbar, so gilt

∫_{a}^{b}f(x)dα(x) = ∫_{a}^{b}f(x)α′(x)dx.

(7) Ist f von beschränkter Variation und α stetig, so gilt:

∫_{a}^{b}f(x)dα(x) = f(b)α(b) − f(a)α(a) − ∫_{a}^{b}α(x)df(x).

(8) Sei f stetig und α von beschränkter Variation. Für

F (x) := ∫_{a}^{x}f(t)dα(t) (x ∈ I)

gelten:

(i) F hat beschränkte Variation (ist aber i.a. nicht stetig!);

(ii) F (x+) − F (x) = f(x)[α(x+) − α(x)], x ∈ [a,b); (iii) F (x) − F (x−) = f(x)[α(x) − α(x−)], x ∈ (a,b].

Schreibe ∫_{a+}^{b} f(x)dα(x) für F (b) − F (a+), ∫_{a}^{b−} f(x)dα(x) für F (b−) etc.

Beweise und Ergänzungen finden sich z.B. in D.V. Widder, The Laplace Transform, Princeton University Press 1946, Kapitel I. Dazu gehören insbesondere:

• Abschätzungen für ∫_{a}^{b}f(x)dα(x), falls Abschätzungen für f und α vorliegen;

• Vertauschung von Summen mit Integralen;

• Substitutionsregel;

• uneigentliche RS-Integrale Proposition 6.7 (Riemann-Stieltjes-Integral und Summen): Sei f monoton auf [a,b], a,b ∈ ℤ. Dann existiert ein θ ∈ [0,1] mit

∑_{a<n≤b} f(n) = ∫_{a}^{b}f(t)dt + θ(f(b) − f(a)).

Beweis : oBdA sei f monoton steigend. Schreibe t = [t] + {t}, {t} ∈ [0,1). Es ist

∑_{a<n≤b} f(n) = ∫_{a}^{b}f(t)d[t]

⇝ ∑_{a<n≤b} f(n) − ∫_{a}^{b}f(t)dt = −∫_{a}^{b}f(t)d{t}

=^{(7)} −f(t)\underbrace{\{t\}}_{=0}| _{a}^{b}+ ∫_{a}^{b}\{t\}df(t) =^{MWS der Integralrechnung} θ(f(b) − f(a)) θ ∈ [0,1],

da ∫_{a}^{b}df(t) = f(b) − f(a) und 0 ≤ {t} ≤ 1 ist.

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Beispiel (Abschätzung für n!): Für f(x) = log(x) erhalten wir:

logn! = ∑_{1<i≤n} logi = (xlogx − x)|_{1}^{n}+ θlogn = nlogn − n + 1 + θlogn

⇝ n! ≈ ( \frac{n}{e})^{n}e^{1+θlogn}

Definition/Proposition 6.8 (Bernoulli-Funktion): Für k > 0 sei β_{k}: ℝ → ℝ die periodische Funktion mit Periode 1, die auf [0,1) mit B_{k}(x) übereinstimmt. β_{k} heißt die k-te Bernoulli-Funktion. Es gilt:

1. Für k ≥ 2 ist β_{k} stetig.

2. Für k ≥ 3 ist β_{k} sogar differenzierbar.

Allgemein gelten (1.) und (2.) auf ℝ\ℤ für beliebige k .

Folgende Bilder zeigen die Funktionen für k ∈ {1,2,3,4} (von links nach rechts, von oben nach unten):

Beweis :

1. B_{k}(1) − B_{k}(0) = kx^{k−1} |_{0} = 0, falls k ≥ 2.

2. B′_{k}(1) − B′_{k}(0) = (k − 1)x^{k−2} |_{0} = 0, falls k ≥ 3.

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Nun wollen wir eine weitere Möglichkeit betrachten, Summen der Form ∑_{a<n≤b} f(n) zu berechnen. Dazu sei jetzt f : [a,b] → ℝ eine C^{k+1} -Funktion^{10}, a,b ∈ ℤ. Dann gilt:

∑_{a<n≤b} f(n) = ∫_{a}^{b}f(t)d[t] = ∫_{a}^{b}f(t) − ∫_{a}^{b}f(t) \underbrace{d\{t\}}_{dβ_{1}(t)}

Dabei ist wie im Beweis von 6.7 t = [t] + {t}, {t} ∈ [0,1). Mit anderen Worten: [t] ist der ganzzahlige Anteil von t und {t} ist der Nachkommaanteil von t.

Den zweiten Term bearbeiten wir weiter:

∫_{a}^{b}f(t)dβ_{1}(t) =^{part. Integr.} fβ_{1}| _{a}^{b}− ∫_{a}^{b} \underbrace{β_{1}(t)}_{= \frac{1}{2}β′_{2}(t)} f′(t)dt = B_{1}(f(b) − f(a)) − \frac{1}{2} ∫_{a}^{b}f′(t)dβ_{2}(t).

Für das Integral im zweiten Term gilt dann:

∫_{a}^{b}f′(t)dβ_{2}(t) = f′β_{2}| _{a}^{b}− ∫_{a}^{b}f′′(t)β_{2}(t)dt = B_{2}(f′(b) − f′(a)) − \frac{1}{3} ∫_{1}^{b}f′′(t)dβ_{3}(t).

Wendet man dieses Verfahren k-mal an, so erhält man den folgenden Satz:

Satz 6.9 (Summenformel von Euler-MacLaurin):

∑_{a<n≤b} f(n) = ∫_{a}^{b}f(t)dt + ∑_{0≤i≤k} (−1)^{i+1} \frac{B_{i+1}}{(i + 1)!} (f^{(i)}(b) − f^{(i)}(a)) + \frac{(−1)^{k}}{(k + 1)!} ∫_{a}^{b}B_{k+1}(t)f^{(k+1)}(t)dt

Satz 6.10 (Summe der harmonischen Reihe): Es existiert eine Konstante γ ∈ ℝ, so daß für alle N ∈ ℕ gilt:

H := ∑_{1≤n≤N} \frac{1}{n} = logN + γ + \frac{1}{2N} − \frac{1}{12N^{2}} + \frac{θ_{N}}{60N^{4}} θ_{N} ∈ [0,1]

Insbesondere gilt:

lim_{N→∞}( ∑_{1≤n≤N} \frac{1}{n} − logN) = γ, γ = 0,57721566...

γ heißt die Euler-Konstante.

Beweis : Wir wenden (6.9) an, mit a = 1,b = N,f(t) = \frac{1}{t},k = 3 und erhalten:

∑_{1≤n≤N} \frac{1}{n} = 1 + logN + \frac{1}{2}(\frac{1}{N} − 1) + \frac{1}{6 · 2!}(\frac{−1}{N^{2}} + 1) − \underbrace{B_{3}(...)}_{=0}+\frac{−1}{30 · 4!}(−6x^{−4} )| _{1}^{N}− \frac{1}{4!} ∫_{1}^{N}β_{4}(t)24t^{−5} dt

= logN + 1 − \frac{1}{2} + \frac{1}{12} − \frac{1}{120} + \frac{1}{2N} − \frac{1}{12N^{2}} + \frac{1}{120N^{4}} − ∫_{1}^{N}t^{−5} β_{4}(t)dt.

Es gilt: |β_{4}(t)| ≤ \frac{1}{30} (Einzige Extremstelle in (0,1) ist der Hochpunkt β_{4}(\frac{1}{2}) = \frac{7}{240} < | − \frac{1}{30}|.β_{4} nimmt sein Maximum also bei β_{4}(0) = β_{4}(1) = B_{4} = −\frac{1}{30} an.) Deshalb können wir schreiben:

10D.h. f ist k + 1-fach stetig differenzierbar.

∫_{1}^{N}t^{−5} β_{4}(t)dt ≤ \frac{1}{30} \underbrace{∫_{1}^{N}t^{−5} dt}_{beschränkt}.

Das Integral links ist also absolut konvergent, und es gilt:

∫_{N}^{∞} |t^{−5} β_{4}(t)|dt ≤ \frac{1}{30} ∫_{N}^{∞} t^{−5} dt = \frac{1}{30} ( \frac{t^{−4}}{−4} ) |_{N}^{∞} = \frac{1}{120N^{4}}.

D.h. es existiert ein θ′_{N} ∈ [−1,1] mit ∫_{N}^{∞} |t^{−5} β_{4}(t)|dt = \frac{θ′_{N}}{120N^{4}}.

⇝ ∑_{1≤n≤N} \frac{1}{n} − logN = \frac{69}{120} + \frac{1}{2N} − \frac{1}{12N^{2}} + \frac{1}{120N^{4}} − ∫_{1}^{∞} t^{−5} β_{4}(t)dt + \frac{θ′_{N}}{120N^{4}}

Setze γ:= \frac{69}{120} − ∫_{1}^{∞} t^{−5} β_{4}(t)dt, θ_{N} := \frac{θ′_{N}+1}{2} .

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Nun wollen wir erneut (nach (6.7)) eine Schätzung für n! zeigen. Dazu benutzen wir wieder Euler-MacLaurin

mit f(t) = logt,k = 0:

logn! = nlogn − n + 1 − \frac{B_{1}}{1}(logn − log1) + ∫_{1}^{n} \frac{β_{1}(t)}{t}dt
= nlogn − n + \frac{1}{2} logn + \underbrace{1 + \underbrace{∫_{1}^{∞} \frac{β_{1}(t)}{t}dt}_{Dieses uneigentliche Integral existiert.}}_{=: \frac{1}{2} logA}−\underbrace{∫_{n}^{∞} \frac{β_{1}(t)}{t}dt}_{=:R_{n}}

Jetzt wollen wir zeigen, daß R_{n} gegen 0 geht für n → ∞:

R_{n} = −∫_{n}^{∞} \frac{β_{1}(t)}{t}dt =^{β′_{2}=2β_{1}} −\frac{β_{2}}{2t}| _{n}^{∞} − \frac{1}{2} ∫_{n}^{∞} \frac{β_{2}(t)}{t^{2}}dt = \frac{1}{12n} − \frac{1}{2} ∫_{n}^{∞} \frac{β_{2}(t)}{t^{2}}dt

Da β_{2}(\frac{1}{2}) = −\frac{1}{12} der einzige Tiefpunkt von β_{2} ist, und die Maxima am Rand globale Maxima sind, gilt: −\frac{1}{12} ≤ β_{2}(t) ≤ \frac{1}{6}. Weiter gilt: ∫_{n}^{∞} \frac{dt}{t^{2}} = \frac{−1}{t} |_{n}^{∞} = \frac{1}{n}. Aus diesen beiden Aussagen folgt mit dem Mittelwertsatz:

−\frac{1}{12n} ≤ ∫_{n}^{∞} \frac{β_{2}(t)}{t^{2}}dt ≤ \frac{1}{6n} ⇝ \frac{1}{24n} ≥ −\frac{1}{2} ∫_{n}^{∞} \frac{β_{2}(t)}{t^{2}}dt ≥ −\frac{1}{12n}. Damit erhalten wir:

−\frac{1}{12n} ≤ R_{n}− \frac{1}{12n} ≤ \frac{1}{24n} ⇝ 0 ≤ R_{n} ≤ \frac{1}{8n}

Damit gilt:

Satz 6.11 (Abschätzung für n!):

logn! = nlogn − n + \frac{1}{2} \underbrace{(logn + logA)}_{lognA}+R_{n}

⇝ n! = ( \frac{n}{e})^{n} \sqrt{An}· e^{R_{n}}.

Damit ist etabliert: ∃ A ∈ ℝ^{+} mit der Eigenschaft: lim_{n→∞} \frac{n!}{(\frac{n}{e})^{n}\sqrt{An}}= 1.

Um A zu bestimmen müssen wir einige Vorbereitungen treffen:

Definition/Lemma 6.12 (Wallis-Integral): Sei W_{n}:= ∫0^{\frac{π}{2}}(cost)^{n}dt = ∫0^{\frac{π}{2}}(sint)^{n}dt. W_{n} heißt das Wallis-Integral. Es gilt:

1. W_{n+1} < W_{n}

2. nW_{n} = (n − 1)W_{n−2} , falls n ≥ 2

Beweis : (1.) folgt direkt aus 0 < cost < 1 für t ∈ (0, \frac{π}{2}). Zu (2.):

W_{n}= ∫0^{\frac{π}{2}} cos^{n−1} t costdt =^{part. Int.}\underbrace{cos^{n−1} t sint|0^{\frac{π}{2}}}_{=0}+(n − 1)∫0^{\frac{π}{2}} sint cos^{n−2} sintdt

= (n − 1)∫0^{\frac{π}{2}} cos^{n−2} t(1 − cos^{2}t)dt = (n − 1)W_{n−2} − (n − 1)W_{n}

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Korollar 6.13 (Geschlossene Formel für das Wallis-Integral):

W_{2k} = \frac{(2k)!}{(k!2^{k})^{2}} \frac{π}{2}, W_{2k+1} = \frac{(k!2^{k})^{2}}{(2k)!(2k + 1)}

Beweis : Es gilt:

W_{2k} = \frac{2k − 1}{2k} · \frac{2k − 3}{2k − 2} ···\frac{1}{2}W_{0} = \frac{(2k)!}{((2k)(2k − 2)··· 2)^{2}} \underbrace{W_{0}}_{= \frac{π}{2}} = \frac{(2k)!}{(2^{k}k!)^{2}} \frac{π}{2}.

Der Beweis für W_{2k+1} erfolgt analog.

\frac{n}{n + 1} = \frac{W_{n+1}}{W_{n−1}} ≤ \frac{W_{n+1}}{W_{n}} ≤ 1.

Also ist lim_{n→∞} \frac{W_{n+1}}{W_{n}} = 1. Weiter gilt:

\frac{W_{2k+1}}{W_{2k}} = \frac{(k!2^{k})^{4}}{(2k)!^{2}(2k + 1)} \frac{2}{π} = \frac{( \frac{k}{e})^{4k} 2^{4k} (Ak)^{2} e^{4R_{k}} 2}{( \frac{2k}{e})^{4k} 2Ak e^{2R_{2k}} (2k + 1) π} = \frac{Ak}{(2k + 1)π} \frac{e^{4R_{k}}}{e^{2R_{2k}}}.

A = lim_{k→∞} \frac{2k + 1}{k} π = 2π.

n! = ( \frac{n}{e})^{n} \sqrt{2πn}e^{R_{n}}

mit 0 ≤ R_{n} ≤ \frac{1}{8n}.

Nun sind wir in der Lage, das A aus (6.11) zu bestimmen. Es gilt:

Für k → ∞ geht dies gegen 1, ebenso wie \frac{e^{4Rk}}{e^{2R2k}}. Also gilt:

Damit ist folgender Satz bewiesen:

Satz 6.14 (Stirling-Formel): Es gilt:

Bemerkung (Fehlerterm der Stirling-Formel): Die Euler-MacLaurin Summenformel höherer Ordnung liefert sogar:

\frac{1}{12n + \frac{1}{4}} ≤ R_{n} ≤ \frac{1}{12n}.

Deshalb ist

n^{#} := ( \frac{n}{e})^{n} \sqrt{2πn}e^{\frac{1}{12n}}

eine noch viel bessere Annäherung an n!, wie auch die folgende Tabelle verdeutlicht:

\begin{matrix}n & n! & ( \frac{n}{e})^{n} \sqrt{2πn} & n^{#} \\ 2 & 2 & 1,919... & 2,00065... \\ 5 & 120 & 118,019... & 120,0026... \\ 10 & 3.628.800 & 3.598.695,... & 3.628.810,... \end{matrix}

\underline{Schlußbemerkung} : Insbesondere können wir nun auch Terme der Form \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n−k)!} näherungsweise bestimmen.

7 Die Riemannsche Zetafunktion

Erinnerung/Ergänzungen zur Analysis (Komplexer Logarithmus, absolute Konvergenz von Produkten, komplexe Exponenten):

1. Sei l(X) = ∑_{i≥1} (−1)^{i+1} \frac{X^{i}}{i} ∈ ℂ[[X]]. Dann gilt:

(a) ρ(l) = 1, da \overline{lim}_{i→∞} | \frac{(−1)^{i+1}}{i} |^{\frac{1}{i}} = \overline{lim}_{i→∞} ( \frac{1}{i})^{\frac{1}{i}} = 1, denn bereits i^{\frac{1}{i}} = e^{( \frac{logi}{i})} geht gegen eins für i gegen ∞.

(b) l′(X) = 1 − X + X^{2}− X^{3}+ ... = \frac{1}{1+X}

(c) e(l(X)) = 1 + X

Mit anderen Worten: Für z ∈ ℂ,|z| < 1 ist l(z) die komplexe Logarithmusfunktion log 1 + z. Dabei ist l(z) nur definiert für |z| < 1.

2. Sei (x_{i})_{i∈ℕ} eine Folge aus ℂ. Wir sagen, daß ∏ _{i=1}^{∞} x_{i} = ∏ _{i≥1} x_{i} absolut konvergiert, wenn gilt:

(a) lim_{i→∞} x_{i} = 1

(b) Es existiert ein N ∈ ℕ, so daß |x_{i}−1| < 1 ∀ i > N und ∑_{i>N} logx_{i} konvergiert absolut. In diesem

Fall setzen wir

∏_{i≥1} x_{i} := ∏_{1≤i≤N} x_{i}e^{∑_{i>N} log(x_{i})}

Sind (a) und (b) erfüllt, so gelten: i. ∏ _{i≥1} x_{i} ist unabhängig von der Wahl von N. ii. ∏ _{i≥1} x_{i} = lim_{n→∞} ∏ _{1≤i≤n} x_{i}. Allerdings ist die Existenz der rechten Seite schwächer als die absolute Konvergenz. So existiert bespielsweise lim_{n→∞} ∏ _{1≤i≤n} \frac{1}{i} = 0, aber die Folge ist nicht absolut konvergent. iii. Umordnungen sind erlaubt^{11}. iv. Jedes Teilprodukt eines absolut konvergenten Produktes ist selber absolut konvergent.

3. Sei n ∈ ℕ,s = x + iy, x,y ∈ ℝ. Dann gilt: n^{s} = n^{x+iy} = e^{logn(x+iy)} = e^{xlogn}· \underbrace{e^{iy}}_{cosy+isiny}. Wegen |e^{iy}| = 1

hängt |n^{s}| nur von Re(s)= x ab.

4. ∑_{i≥1} \frac{1}{i^{s}} konvergiert ⇔ s > 1, falls s ∈ ℝ.

11Dies gilt im allgemeinen nicht, wenn nur die schwächere Bedingung an die Konvergenz gestellt wird.

36 7 DIE RIEMANNSCHE ZETAFUNKTION

Definition 7.1 (Die Riemannsche Zetafunktion): Die Riemannsche Zetafunktion ζ ist für s ∈ ℂ, Re(s) > 1 definiert durch:

ζ(s) = ∑_{n=1}^{∞} n^{−s} = ∑_{n≥1} n^{−s}

Für diese s konvergiert diese Summe absolut.

Satz 7.2 (Euler): Für s ∈ ℂ,Re(s) > 1 konvergiert das unendliche Produkt

∏_{p∈ℙ} ( 1 − \frac{1}{p^{s}}) ^{−1}

absolut und stimmt mit ζ(s) überein.

Beweis :

1. Sei 0 < ρ < 1. Es existiert C(ρ) ∈ ℝ mit: Für |z| < ρ ist |log(1 + z)| ≤ C|z|.

Es ist nämlich

|log(1 + z)| ≤ ∑_{i≥1} \frac{|z|^{i}}{i} = ∑_{i≥1} \frac{x^{i}}{i} = |log(1 − x)| x = |z|

Wegen log1 = 0,(log(1 − x))′= \frac{−1}{1−x} gibt es nach dem reellen Zwischenwertsatz ein θ ∈ [0,1] mit

log(1 − x) = \frac{−1}{1−θx} x, also

|log(1 + z)| ≤ \underbrace{sup_{|w|≤ρ} | \frac{1}{1 − w} |}_{=:C(ρ)}|x| ≤ C(ρ)|z|.

2. ∏ _{p∈ℙ} ( 1 − \frac{1}{p^{s}}) ^{−1} ist absolut konvergent ⇔ ∑_{p∈ℙ} log( 1 − \frac{1}{p^{s}}) ist absolut konvergent. Für Re(s) > 1

ist |p^{−s} | < \frac{1}{2}, also gilt mit C = C(\frac{1}{2})(= 2):

∑_{p∈ℙ} |log( 1 − \frac{1}{p^{s}}) | ≤ C ∑_{p∈ℙ} |p^{−s} | ≤ C ∑_{n∈ℕ}|n^{−s} | ← absolut konvergent

3. ℙ(x) := {p ∈ ℙ|p ≤ x}, ℕ(x) := {n ∈ ℕ|n hat nur Primfaktoren ausℙ(x)}

∏_{p∈ℙ(x)}(1 − p^{−s} )^{−1} = ∏_{p∈ℙ(x)}(1 + p^{−s} + p^{−2s} + ...) = ∑_{n∈ℕ(x)}n^{−s} (Eindeutige Primfaktorzerlegung)

Lassen wir x gegen ∞ gehen, so geht die linke Seite gegen ∏ _{p∈ℙ}(1−p^{−s} )^{−1} , und für die rechte Seite gilt:

|ζ(s) − ∑_{n∈ℕ(x)}n^{−s} | = | ∑_{n∈ℕ\ℕ(x)}n^{−s} | ≤ | ∑_{n∈ℕ\ℕ(x)}n^{−Re(s)} | ≤ ∑_{n>x} n^{−Re(s)} −⟶^{x→∞} 0

⇝ ∏_{p∈ℙ}(1 − p^{−s} )^{−1} = ζ(s).

Probleme 7.3 (Wahrscheinlichkeit für Teilerfremdheit und quadratfreiheit):

1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß zwei zufällig gewählte natürliche Zahlen teilerfremd sind? D.h. existiert der folgende Grenzwert, und welchen Wert besitzt er gegebenenfalls?

lim_{x→∞} \frac{#\{(m,n) ∈ ℕ^{2}|(m,n) = 1, m,n ≤ x\}}{#\{(m,n) ∈ ℕ^{2}|m,n ≤ x\}}

2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß eine zufällig gewählte Zahl n quadratfrei ist? D.h. welchen Wert hat der folgende Grenzwert, falls er existiert?

limx → ∞ \frac{#\{n ∈ ℕ|n ≤ x,n ist quadratfrei\}}{#\{n ∈ ℕ|n ≤ x\}}

Zu diesen Problemen machen wir die folgenden heuristischen Überlegungen:

1.

(m,n) = 1 ⇔ \{ \begin{matrix}(m,n) & ≢ & (0,0) & (mod 2) \\ (m,n) & ≢ & (0,0) & (mod 3) \\ & ... \\ (m,n) & ≢ & (0,0) & (mod p) ∀ p ∈ ℙ \end{matrix}

Die Bedingung (m,n) ≢ (0,0) (mod p) ist in p^{2}− 1 von p^{2} Fällen erfüllt, also mit Wahrscheinlichkeit \frac{p^{2}−1}{p^{2}} = 1−p^{−2} . Wegen der Unabhängigkeit der Bedingungen für verschiedene p’s (vgl. Chinesischer

Restsatz) ist also P((m,n) = 1) = ∏ _{p∈ℙ}(1 − p^{−2} ) = ζ(2)^{−1} (?)

2. Analog folgt:

n quadratfrei ⇔ \{ \begin{matrix}n & ≢ & 0 & (mod 2)^{2} \\ n & ≢ & 0 & (mod 3)^{2} \\ & ... \\ n & ≢ & 0 & (mod p)^{2} ∀ p ∈ ℙ \end{matrix}

⇝ P(n quadratfrei) = ∏ _{p∈ℙ}(1 − p^{−2} ) = ζ(2)^{−1} (?)

Allgemein gilt:

P((n_{1}...n_{k}) = 1) = ζ(k)^{−1}
P(n enthält keine k-ten Potenzen)= ζ(k)^{−1} (?)

Die Fragezeichen deuten an, daß es sich im Moment nur um Plausibilitätsbetrachtungen handelt. Später werden wir diese Sachverhalte exakt beweisen.

Satz 7.4 (Wert der Zeta-funktion an der Stelle 2):

ζ(2) = \frac{π^{2}}{6}

Dieser Satz stammt von Euler aus dem Jahre 1735. Der folgende Beweis wurde allerdings erst 1985 von Calabi gefunden:

Beweis : Sei I = [0,1],I_{ϵ} = [0,1 − ϵ]. Wir berechnen ∫_{I}∫_{I} \frac{1}{1−x^{2}y^{2}} dxdy auf zwei verschiedene Weisen:

1. \frac{1}{1−x^{2}y^{2}} dxdy = 1 + x^{2}y^{2}+ x^{4}y^{4}+ ... absolut konvergent für (x,y) ∈ I_{ϵ}

⇝∫_{I_{ϵ}}∫_{I_{ϵ}} \frac{1}{1 − x^{2}y^{2}} dxdy = ∑_{i≥0} ∫_{I_{ϵ}}∫_{I_{ϵ}}x^{2i}y^{2i}dxdy = ∑_{i≥0} \frac{(1 − ϵ)^{2i+1}}{(2i + 1)^{2}}
−−→^{ϵ→0} ∫_{I}∫_{I} \frac{1}{1 − x^{2}y^{2}} dxdy = ∑_{i≥0} \frac{1}{(2i + 1)^{2}} = ∑_{n∈ℕ} \frac{1}{n^{2}} − ∑_{n∈ℕ} \frac{1}{(2n)^{2}} = ζ(2)(1 − \frac{1}{4})

Um den Beweis dieses Satzes fortzusetzen brauchen wir das folgende Lemma:

Lemma 7.5 (Bijektion von Quadrat zum Dreieck): Sei △ = \{(u,v) ∈ ℝ^{2}|u,v ≥ 0,u + v ≤ \frac{π}{2}\} mit Innerem

△^{∘} = \{(u,v) ∈ ℝ^{2}|u,v > 0,u + v < \frac{π}{2}\}. Dann ist die Abbildung

φ: (u,v) ↦ ( \frac{sinu}{cosv}, \frac{sinv}{cosu})

eine Bijektion von △^{∘} mit I^{∘}× I^{∘} = (0,1) × (0,1).

38 7 DIE RIEMANNSCHE ZETAFUNKTION

Beweis : Der Cosinus ist auf (0, \frac{π}{2}) streng monoton fallend. Dehalb folgt aus v < \frac{π}{2} − u:

cos(v) > cos(\frac{π}{2} − u) = sinu, d.h. \frac{sinu}{cosv} < 1.

Analog folgt: \frac{sinv}{cosu} < 1. Wir setzen x:= \frac{sinu}{cosv},y:= \frac{sinv}{cosu} und erhalten:

sin^{2}u = x^{2}cos^{2}v, sin^{2}v = y^{2}cos^{2}u ⇝ 1 = cos^{2}v + sin^{2}v = cos^{2}v + y^{2}cos^{2}u

⇝cos^{2}v = 1 − y^{2}cos^{2}u = 1 − y^{2}(1 − x^{2}cos^{2}v) ⇝ (1 − x^{2}y^{2})cos^{2}v = 1 − y^{2}
⇝cosv = \sqrt{\frac{1 − y^{2}}{1 − x^{2}y^{2}}} ⇝ v = arccos\sqrt{\frac{1 − y^{2}}{1 − x^{2}y^{2}}}

Analog folgt: v = arccos\sqrt{\frac{1−x^{2}}{1−x^{2}y^{2}}} . D.h. φ^{−1} (x,y) = (u,v).

□

Nun setzen wir den Beweis von (7.4) fort:

2. Mit Bezeichnungen wie in (7.5) ist

( \begin{matrix}\frac{∂x}{∂u} & \frac{∂x}{∂v} \\ \frac{∂y}{∂u} & \frac{∂y}{∂v} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}\frac{cosu}{cosv} & \frac{sinusinv}{cos^{2}v} \\ \frac{sinvsinu}{cos^{2}u} & \frac{cosv}{cosu} \end{matrix} )

mit Determinante 1 − x^{2}y^{2}. Nun gilt:

∫_{I}∫_{I} \frac{dx dy}{1 − x^{2}y^{2}} = ∫_{△} \frac{det(...)du dv}{1 − x^{2}y^{2}}= ∫_{△} du dv = Fläche des Dreiecks = \frac{π^{2}}{8}

3. Also gilt \frac{3}{4}ζ(2) = \frac{π^{2}}{8} , d.h. ζ(2) = \frac{π^{2}}{6} .

□

Satz 7.6 (Wert der Zeta-Funktion für natürliche Zahlen): Sei k ∈ ℕ gerade. Dann gilt:

ζ(k) = −\frac{1}{2} \frac{(2πi)^{k}}{k!}B_{k}

Beweis :

1. Es gilt:

zcotz =z\frac{cosz}{sinz} = z \frac{\frac{e^{iz}+e^{−iz}}{2}}{\frac{e^{iz}−e^{−iz}}{2i}} = iz\frac{e^{iz}+ e^{−iz}}{e^{iz}− e^{−iz}} = iz( \frac{e^{2iz}+ 1}{e^{2iz}− 1} ) = iz + \frac{2iz}{e^{2iz}− 1}
= izF (2iz) = iz + ∑_{k≥0}(2i)^{k}B_{k} \frac{z^{k}}{k!} = ∑_{\begin{matrix}k≥0 \\ k≠1 \end{matrix}}(2i)^{k} \frac{B_{k}}{k!}z^{k}.

Dies ist eine alternative Definition der B_{k} (ohne B_{1}).

Erinnerung/Ergänzung 7.7 (Sinus/logarithmische Ableitung): • Eine mögliche Definition der Sinus-Funktion ist:

sinz = z∏_{n=1}^{∞} ( 1 − \frac{z^{2}}{n^{2}π^{2}}) , z ∉ ℤπ

ist abolut konvergentes Produkt und normal konvergent auf abgeschlossenen Kreisscheiben, die ℤπ nicht treffen.

• Sei f eine stetig differenzierbare Funktion ohne Nullstellen. Die logarithmische Ableitung Df

ist definiert durch:

Df := \frac{f′}{f} =_{f>0} (logf)′.

Es gilt:

– D(cf) = D(f) für alle Konstanten c ∈ ℝ.

– D(f · g) = D(f) + D(g)

– D(∏ _{1≤i≤n} f_{i}) = ∑_{1≤i≤n} D(f_{i})

– D(∏ _{i≥1} f_{i}) = ∑_{i≥1} D(f_{i}) für unendliche, normal und absolut konvergente Produkte.

2. Weiter gilt nun:

sinz = z∏_{n=1}^{∞} ( 1 − \frac{z^{2}}{n^{2}π^{2}})
⇝^{D} cot z = \frac{1}{z} + ∑_{n≥1} \frac{−2z}{n^{2}π^{2}− z^{2}}
⇝^{·z} zcot z =1 − 2 ∑_{n≥1} \frac{z^{2}/n^{2}π^{2}}{1 − z^{2}/n^{2}π^{2}}
⇝ zcot z =1 − 2 ∑_{n≥1} ∑_{k≥1} ( \frac{z^{2}}{n^{2}π^{2}}) ^{k} ← absolut konvergente Doppelsumme, falls z ∉ ℤπ
= 1 − 2 ∑_{k≥1} π^{−2k} \underbrace{∑_{n≥1} \frac{1}{n^{2k}}}_{ζ(2k)}z^{2k} = 1 − 2 ∑_{\begin{matrix}k≥2 \\ k gerade \end{matrix}} π^{−k} ζ(k)z^{k}

3. Koeffizientenvergleich der Ergebnisse von 1. und 2. liefert für gerade k:

−2π^{−k} ζ(k) = (2i)^{k} \frac{B_{k}}{k!}
⇝ ζ(k) = − \frac{1}{2} \frac{(2πi)^{k}}{k!}B_{k}
□

Beispiel (Wert der Zeta-Funktion an den Stellen 2, 4 und 6):

k = 2 : ζ(2) = −\frac{1}{2} \frac{(2πi)^{2}}{2} \frac{1}{6} = \frac{π^{2}}{6}
k = 4 : ζ(4) =  ...  = \frac{π^{4}}{90} (B_{4} = \frac{−1}{30} )
k = 6 : ζ(6) =  ...  = \frac{π^{6}}{945} (B_{6} = \frac{1}{42})

Korollar 7.8 (Vorzeichen der Bernoulli-Zahlen): Für jedes gerade k > 0,k = 2l ist B_{k} ≠ 0 und sgn(B_{k}) = (−1)^{l−1} .

□

Die Folge ζ(k) konvergiert rasch gegen 1, wie man an der folgenden Tabelle sieht:

\begin{matrix}k & 2 & 3 & 4 & 5 & 10 \\ ζ(k) & 1.64493... & 1.20205... & 1.08232... & 1.03692... & 1.00099... \end{matrix}

Satz 7.9 (Näherungsformel für die Bernoulli-Zahlen): Sei l ∈ ℕ. Dann gilt:

B_{2l} ≈ −2\frac{(2l)!}{(2πi)^{2l}} = (−1)^{l−1} 2\frac{(2l)!}{(2π)^{2l}}

40 7 DIE RIEMANNSCHE ZETAFUNKTION

Abbildung 1: Kritischer Streifen und kritische Achse.

Abbildung 2: Dieses Bild zeigt den Betrag der Riemannschen Zeta-Funktion, und stammt von der Seite www.maths.ex.ac.uk/∼mwatkins/zeta/ssm.htm. Dort befinden sich auch eine Reihe weiterer interessanter Bilder zur Primzahlverteilung und zur Riemannschen Zeta-Funktion.

Ergänzungen 7.10 (zur Zeta-Funktion):

• Wir wissen bereits: ζ(2k) = π^{2k}· rationale Zahl, k ∈ ℕ,π transzendent^{12}.

Allerdings ist über die Werte der Zeta-Funktion für ungerade Werte fast gar nichts bekannt. Die einzige sichere Information ist, daß ζ(3) irrational ist (Apéry 1977).

• ζ(s) besitzt eine meromorphe Fortsetzung auf ℂ mit einem Pol der Ordnung 1 an s = 1 und keinen weiteren Singularitäten. Es ist Res_{s=1} ζ(s) = 1, d.h. die Funktion ζ(s) − \frac{1}{s−1} besitzt in s = 1 eine hebbare Singularität.

• Die Gamma-Funktion

Γ(s) := ∫_{0}^{∞} t^{s−1} e^{−t} dt, Re(s) > 0

besitzt eine meromorphe Fortsetzung auf ℂ und genügt den folgenden Funktionalgleichungen:

– Γ(s + 1) = sΓ(s)

– Γ(s) = trigonometrischer Faktor· Γ(1 − s)

– Γ(n + 1) = n!, n ∈ ℕ

Für

Z(s) := π^{−s/2} Γ(\frac{s}{2})ζ(s)

gilt: Z(1−s) = Z(s). Mit Hilfe dieser Funktion können wir die Zeta-Funktion deshalb auch für negative Werte definieren und erhalten ζ(1 − k) = (−1)^{k+1} \frac{B_{k}}{k} für k ∈ ℕ, d.h. ζ(1 − k) = −\frac{B_{k}}{k} für k > 1.

So ist beispielsweise ζ(0) = −\frac{1}{2} und ζ(−2k) = 0,k ∈ ℕ. Weiter können wir den nicht konvergenten Term ∑ _{n=1}^{∞} n^{k−1},k ∈ ℕ mit ζ(1−k) identifizieren und ihm so einen Wert ungleich unendlich zuweisen. Besonders im Bereich der p-adischen Zahlen sind solche Betrachtungen sinnvoll.

• Aus der Tatsache, daß ζ keine Nullstelle mit Re(s) = 1 hat, erschließt man:

lim_{x→∞} \frac{π(x)}{\frac{x}{logx}} = 1

Diese Aussage heißt Primzahlsatz, (π(x) ist definiert durch π(x) = #{p ∈ ℙ|p ≤ x}). Sie wurde gleichzeitig 1896 von Hadamard und de la Vallée Poussin bewiesen.

12Eine Zahl heißt transzendent, wenn sie nicht Nullstelle eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten ist.

Jeder Streifen nahe 1, in dem keine Nullstellen liegen, liefert eine Abschätzung für den Fehlerterm |π(x) − \frac{x}{logx}|. Besonders interessant ist hier die Riemannsche Vermutung: Alle nichttrivialen Nullstellen s von ζ (d.h. alle Nullstellen die nicht die Form s = −2k,k ∈ ℕ haben) genügen Re(s) = \frac{1}{2}, d.h. sie liegen auf der sogenannten kritischen Achse. Ein Beweis dieser Vermutung ist allerdings noch nicht in Sicht. Bekannt sind lediglich die folgenden schwächeren Aussagen:

– Es gibt unendlich viele Nullstellen auf der kritischen Achse.

– Mindestens 40% der Nullstellen im kritischen Streifen {s ∈ ℂ|0 ≤ Re(s) ≤ 1} liegen auf der kritischen Achse.

– Zu jedem δ > 0 existieren nur endlich viele Nullstellen s im kritischen Streifen mit |Re(s)− \frac{1}{2}| > δ.

8 Die Sätze von Tschebyschew zur Primzahlverteilung

Unser Ziel ist es nun, eine Abschätzung für π(x) := #\{p ∈ ℙ|p ≤ x\},x ∈ ℝ der Form a\frac{x}{log(x)} ≤ x ≤ b\frac{x}{log(x)} zu finden, wobei a,b ∈ ℝ, a möglichst groß und b möglichst klein sein soll.^{13}

Proposition 8.1 (Vielfachheiten und Fakultäten): Sei n ∈ ℕ,n! = ∏ _{p∈ℙ} p^{v_{p}},v_{p} = v_{p}(n!) die Vielfachheit von p in n!. Dann gilt:

1.

v_{p} = [ \frac{n}{p}] + [ \frac{n}{p^{2}}] + [ \frac{n}{p^{3}}] + ... ← endliche Summe

2. Für festes p sei n = ∑_{i≥0} a_{i}p^{i} mit a_{i} ∈ {0,1,...,p − 1} die p-adische Entwicklung und l_{p} = ∑_{i≥0} a_{i} die p-adische Quersumme. Dann gilt:

v_{p} = \frac{n − l_{p}(n)}{p − 1} .

3. Es gilt die folgende Ungleichung:

\frac{n}{p} − 1 < v_{p} < \frac{n}{p} + \frac{n}{p(p − 1)} .

Beispiel (Vielfachheiten und Fakultäten): Wir berechnen v_{2}(19!) auf zwei Arten:

• v_{2}(19!) = [ \frac{19}{2}]+ [ \frac{19}{4}]+ [ \frac{19}{8}]+ [ \frac{19}{16}] = 9 + 4 + 2 + 1 = 16

• 19 = 16 + 2 + 1 ⇝ l_{2}(19) = 3 ⇝ v_{2}(19!) = \frac{19−3}{2−1} = 16

Beweis :

1.

Unter den Faktoren 1,2,...n − 1,n von n! sind p,2p,...  [ \frac{n}{p}]p durch p teilbar,
p^{2},2p^{2},... [ \frac{n}{p^{2}}]p^{2} durch p^{2} teilbar,
⋮
p^{r},2p^{r},... [ \frac{n}{p^{r}}]p^{r} durch p^{r} teilbar,

Deshalb gibt es genau [ \frac{n}{p^{r}}] − [ \frac{n}{p^{r+1}} ] viele i ∈ \{1,2,...,n\} mit p^{r}∥i. Also ist die Zahl der Faktoren p in n! gegeben durch

v_{p}(n!) =0( [ \frac{n}{1}] − [ \frac{n}{p}]) + 1( [ \frac{n}{p}] − [ \frac{n}{p^{2}}]) + 2( [ \frac{n}{p^{2}}] − [ \frac{n}{p^{3}}]) + ...
= [ \frac{n}{p}] + [ \frac{n}{p^{2}}] + ...

13Die Aussage, daß lim_{x→∞} \frac{π(x)}{x/logx} = 1 gilt ist einerseits stärker (für genügend große x können a und b beliebig nahe bei eins gewählt werden) als auch schwächer (weil nur asymptotische Aussagen getroffen werden).

42 8 DIE SÄTZE VON TSCHEBYSCHEW ZUR PRIMZAHLVERTEILUNG

2. Hier verwenden wir Induktion nach n. Für den Induktionsanfang n < p ist die Behauptung klar. Induktionsschritt: n ⇝ n + 1: Sei n + 1 = ∑_{i≥s} a_{i}p^{i}, a_{s} ≠ 0 die p-adische Entwicklung von n + 1. Dann ist

n = p − 1 + (p − 1)p + ...(p − 1)p^{s−1} + (a_{s}− 1)p^{s}+ ∑_{i>s} a_{i}p^{i} und l_{p}(n + 1) = l_{p}(n) − s(p − 1) + 1. Deshalb gilt: v_{p}((n + 1)!) = v_{p}(n!) + v_{p}(n + 1) = v_{p}(n!) + s = \frac{n+1−l_{p}(n+1)}{p−1} .

3. \frac{n}{p} − 1 < [ \frac{n}{p}] ≤_{(1.)} v_{p}(n!) =_{(2.)} \frac{n−l_{p}}{p−1} ≤ \frac{n−1}{p−1} < \frac{n}{p−1} = \frac{n}{p} + \frac{n}{p(p−1)}

□

Korollar 8.2 (Teilbarkeit von Binomialkoeffizienten): Seien n = ∑ n_{i}p^{i},k = ∑ k_{i}p^{i} die p-adischen Entwicklungen von n,k ∈ ℕ_{0},p ∈ ℙ. Mit der Konvention \binom{a}{b} = 0 falls a < b, gilt:

\binom{n}{k} ≢ 0 (mod p) ⇔ ∀ i ist \binom{n_{i}}{k_{i}} ≢ 0 (mod p)
⇔ ∀ i istk_{i} ≤ n_{i}
⇔ Die p-adischen Ziffern von n sind die Summe der entsprechenden Ziffern von k und von n − k

(”Es gibt keinen Übertrag bei der Entwicklung von n = k + (n − k)”)

⇔ l_{p}(n) = l_{p}(k) + l_{p}(n − k)

Beweis : Alle Äquivalenzen bis auf die erste sind klar, und für diese gilt:

\binom{n}{k} ≢ 0 (mod p) ⇔ v_{p}\binom{n}{k} = 0
⇔ v_{p}(n!) = v_{p}(k!) + v_{p}((n − k)!)
⇔_{(8.1,2)} \frac{n − l_{p}(n)}{p − 1} = \frac{k − l_{p}(k)}{p − 1} + \frac{n − k + l_{p}(n − k)}{p − 1}
⇔ l_{p}(n) = l_{p}(k) + l_{p}(n − k)
□

Proposition 8.3 (Ungleichungen für Binomialkoeffizienten): Für n ∈ ℕ und die Binomialkoeffizienten \binom{∗}{∗} gelten:

2^{n} ≤ \binom{2n}{n} < \binom{2n + 1}{n} < 4^{n} < (2n + 1)\binom{2n}{n} = (n + 1)\binom{2n + 1}{n}

Beweis : 1. Ungleichung: Wir verwenden Induktion nach n: n = 1 ist klar, und im Induktionsschritt vergrößert sich 2^{n} um den Faktor 2, und \binom{2n}{n} um den Faktor \frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)^{2}} > 2. Die vierte Ungleichung geht ebenfalls mittels Induktion, die zweite Ungleichung und die letzte Gleichung sind trivial. Für die dritte Ungleichung gilt:

4^{n} = \frac{1}{2}(1 + 1)^{2n+1} = \frac{1}{2} ∑_{0≤i≤2n+1} \binom{2n + 1}{i} >^{i=n,n+1} \frac{1}{2}\binom{2n + 1}{n} + \frac{1}{2} \underbrace{\binom{2n + 1}{n + 1}}_{=\binom{2n+1}{n}} = \binom{2n + 1}{n}

Ab jetzt gelte bis zum Ende des Kapitels die Konvention: p,q ∈ ℙ,∑_{p≤x} · ˆ= ∑ \begin{matrix}p≤x \\ p∈ℙ \end{matrix} ·.

Proposition 8.4 (Primzahlschranke): Für n ∈ ℕ gilt: ∏ _{p≤n} p < 4^{n}.

Beweis : Für n = 1,2 ist die Aussage trivial. Für n ≥ 3 verwenden wir Induktion: Induktionsschritt: n−1 ⇝ n:

\underline{n gerade} : ∏ _{p≤n} p = ∏ _{p≤n−1} p ≤_{Ind.Vor.}4^{n−1} < 4^{n}.

\underline{n ungerade}, d.h. n = 2m + 1 :< ∏ _{m+1<p≤2m+1} p| \binom{2m+1}{m} <_{(8.3)} 4^{m}.

Also gilt: ∏ _{p≤2m+1} p = ∏ _{p≤m+1} p∏ _{m+1<p≤2m+1} p <^{I.V.}4^{m+1}4^{m}= 4^{2m+1}.

□

Satz 8.5 (Abschätzung des kgV): Sei d_{n}:= kgV {1,2,...n},n ∈ ℕ. Dann ist für n ≥ 7 immer d_{n} > 2^{n}, wie auch folgende Tabelle verdeutlicht:

\begin{matrix}n & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\ 2^{n} & 4 & 8 & 16 & 32 & 64 & 128 & 256 & 512 & 1024 & 2048 & 4096 \\ d_{n} & 2 & 6 & 12 & 60 & 60 & 420 & 840 & 2520 & 2520 & 27720 & 27720 \end{matrix}

Beweis :

1. Wir berechnen das Integral I(m,n) := ∫_{0}^{1}x^{m−1}(1 − x)^{n−m}dx, 1 ≤ m ≤ n, m,n ∈ ℕ, auf zwei verschiedene Arten:

Wegen (1 − x)^{n−m} = ∑_{0≤j≤n−m} \binom{n−m}{j}(−1)^{j}x^{j} gilt:

I(m,n) = ∑_{0≤j≤n−m} (−1)^{j} \binom{n − m}{j} ∫_{0}^{1}x^{m−1+j} dx = ∑_{0≤j≤n−m} (−1)^{j} \binom{n − m}{j} \frac{1}{m + j} ∈ \frac{1}{d_{n}}ℤ,

denn d_{n} ist der Hauptnenner der Summanden.

2. Um das Integral auf die zweite Art zu berechnen, berechnen wir auch das folgende Integral auf zwei Arten. Dabei sei y ∈ [0,1).

∫_{0}^{1}(1 − x + xy)^{n−1} dx = ∑_{0≤m≤n−1} \binom{n − 1}{m} ∫_{0}^{1}(1 − x)^{n−m−1} (xy)^{m}dx

= ∑_{1≤m≤n} \binom{n − 1}{m − 1} ∫_{0}^{1}(1 − x)^{n−m}(xy)^{m−1}dx

= ∑_{1≤m≤n} \binom{n − 1}{m − 1} y^{m−1}I(m,n)

3.

∫_{0}^{1}(1−x+xy)^{n−1} = \frac{(1 − x + xy)^{n}}{x(y − 1)} |_{x=0}^{x=1} = \frac{y^{n}}{n(y − 1)} − \frac{1}{n(y − 1)} = \frac{1}{n}( \frac{y^{n}− 1}{y − 1} ) = \frac{1}{n}(1+y+y^{2}+...y^{n−1} )

4. Wegen der linearen Unabhängigkeit der Faktoren 1,y,y^{2},... auf [0,1) können wir Koeffizientenvergleich anwenden und erhalten:

\binom{n − 1}{m − 1} I(m,n) = \frac{1}{n}, d.h. I(m,n) = \frac{1}{n\binom{n−1}{m−1}} = \frac{1}{m\binom{n}{m}} für1 ≤ m ≤ n

5. Ein Vergleich mit (1.) zeigt: ∃ c ∈ ℕ mit

\frac{1}{m\binom{n}{m}} = \frac{c}{d_{n}}, d.h. d_{n} = cm\binom{n}{m} , d.h. m\binom{n}{m} | d_{n}

44 8 DIE SÄTZE VON TSCHEBYSCHEW ZUR PRIMZAHLVERTEILUNG

6. Insbesondere gelten: n\binom{2n}{n}| d_{2n}| d_{n+1} , und (2n + 1)\binom{2n}{n} = (n + 1)\underbrace{\binom{2n + 1}{n + 1}}_{=\binom{2n+1}{n}}| d_{2n+1} .

Wegen (n,2n+1) = 1 ist auch n\underbrace{(2n + 1)\binom{2n}{n}}_{>4^{n} nach (8.3)}| d_{2n+1} , also gilt: d_{2n+1} > n4^{n}.

7. Folglich gilt für n ≥ 2: d_{2n+1} > 2 · 4^{n}  = 2^{2n+1} und für n ≥ 4: d_{2n+2} ≥ d_{2n+1} ≥ 4^{n+1} = 2^{2n+2} was die Behauptung zeigt für un-

gerade n ≥ 5 und gerade n ≥ 10. Den Fall n = 8 haben wir für die Tabelle schon nachgerechnet.

□

Die letzte Aussage und ihr Beweis stammen von M.Nair (Journal London Mathematical Society, 1982). Satz 8.6 (Abschätzung der Primzahlfunktion): Für alle n ∈ ℕ,n ≥ 4 gelten die Ungleichungen:

log2\frac{n}{logn} ≤ π(n) ≤ ( log4 + 8\frac{loglogn}{logn}) \frac{n}{logn}

Anmerkung: log2 = 0.6931..., log4 = 1.386...

Beweis : \underline{Erste Ungleichung}: Sei p ein Primteiler von d_{n}, p^{e}∥d_{n},e ∈ ℕ. Es existiert ein m ≤ n mit p^{e}∥m. Deshalb gilt:

d_{n} = ∏_{\begin{matrix}p≤n \\ p^{e}∥d_{n} \end{matrix}}p^{e} ≤ ∏_{p≤n} n = n^{π(n)}

⇝ logd_{n} ≤ π(n)logn

⇝ π(n) ≥^{(8.5),n≥7} \frac{log2 · n}{logn}

Die Fälle n = 4,5,6 gelten ebenfalls, wie man durch Nachrechnen bestätigt. \underline{Zweite Ungleichung}:

1. Sei t ∈ [1,n]. Es ist

t^{π(n)−π(t)} ∏_{t<p≤n} p ≤_{(8.4)} 4^{n}

⇝(π(n) − π(t))logt ≤ nlog4
⇝π(n) ≤ \frac{nlog4}{logt} + π(t) ≤ \frac{nlog4}{logt} + t

2. Als Funktion in t hat \frac{nlog4}{logt} + t ein Minimum bei t mit nlog4 = t(logt)^{2} (← nicht elementar auflösbar nach t). Wähle stattdessen t := \frac{n}{(logn)^{2}}. Dies liefert π(n) ≤ \frac{nlog4}{logn−2loglogn} + \frac{n}{(logn)^{2}} = \frac{n}{logn}( _{\frac{log4}{1− \frac{2loglogn}{logn}}} + \frac{1}{logn}) Die behauptete Ungleichung folgt nun aus:

log4 + 8\frac{loglogn}{logn} ≥ \frac{log4}{1 − \frac{2loglogn}{logn}} + \frac{1}{logn}.

Wegen lim_{x→∞} \frac{loglogn}{logn} = 0 ist einleuchtend, daß diese gelten wird für genügend große n. Eine entsprechende Schranke werden wir im folgenden finden. Für die kleineren n vergleicht man dann π(x) direkt mit log4 + 8\frac{loglogn}{logn}.

Abbildung 3: Das Bild von L. Wie im Text gezeigt hat L eine Nullstelle bei x = e, einen Hochpunkt bei x = e^{e} und geht gegen 0 für x → ∞.

3. Setze L = L(x) = 2\frac{loglogx}{logx}. Es ist L(x) > 0 ⇔^{x>1} loglogx > 0 ⇔ logx > 1 ⇔ x > e.

Ab jetzt sei immer x > e. Weiter ist L′(x) = 2\frac{1−loglogx}{x(logx)^{2}} und es gilt: L′(x) = 0 ⇔ loglogx = 1

⇔ x = e^{e} ≈ 15,15...

Beachte: Ab x = e^{e} ist L(x) monoton fallend, L(e^{e}) = \frac{2}{e} < 1 (vgl. Bild). 4.

log4 + 8\frac{loglogn}{logn} ≥ \frac{log4}{1 − \frac{2loglogn}{logn}} + \frac{1}{logn}
⇔ \frac{log4}{1 − L} + \frac{1}{logn} ≤ log4 + 4L
⇔ log4( \frac{1}{1 − L} − 1) ≤ 4L − \frac{1}{logn}
⇔ \frac{log4}{4} ( \frac{L}{1 − L} ) ≤ L − \frac{1}{4logn}
⇔^{L,1−L>0} \frac{log4}{4} ≤ 1 − L − \frac{1 − L}{4Llogn}
⇔ L ≤ 1 − \frac{log2}{2} − \frac{1}{8loglogn} + \frac{1}{4logn} (∗)

5. Wir betrachten beide Seiten von (∗) als Funktion in x. Die Ableitung der rechten Seite ist:

\frac{1}{8xlogx(loglogx)^{2}}− \frac{1}{4x(logx)^{2}} = \frac{1}{4xlogx}( \frac{1}{2(loglogx)^{2}} − \frac{1}{logx}) .

6.

Ableitung der linken Seite < Ableitung der rechten Seite

⇔ \frac{2(1 − loglogx)}{x(logx)^{2}} < \frac{1}{4xlogx}( \frac{1}{2(loglogx)^{2}} − \frac{1}{logx})
⇔ \frac{8}{logx}(1 − loglogx) < ( \frac{1}{2(loglogx)^{2}} − \frac{1}{logx})
⇔ 9 < 8loglogx + \frac{logx}{2(loglogx)^{2}} ← monoton steigend für x > e^{e}.

Weil diese Ungleichung erfüllt ist für x = e^{e}, ist sie deshalb auch erfüllt für x ≥ e^{e}.

7. Also gilt: Ist (∗) erfüllt für ein x_{0} > e^{e}, so ist (∗) schon für alle x ≥ x_{0} erfüllt.

8. Setze x_{0} = 250. Dann ist L(x_{0}) = 0.618... und die rechte Seite von (∗) wird zu 0.625..., wenn x_{0} eingesetzt wird. Deshalb sind die Bedingungen aus (7) erfüllt.

9. Für die n ∈ ℕ mit 4 ≤ n < 250 zeigt man die behauptete Ungleichung direkt.

□

46 9 WEITERE SÄTZE ÜBER PRIMZAHLEN

Korollar 8.7 (Abschätzung der Primzahlfunktion): \underline{lim}_{x→∞} \frac{π(x)}{x/logx} ≥ log2, \overline{lim}_{x→∞} \frac{π(x)}{x/logx} ≤ log4

□

Bemerkung 8.8 (Primzahlschranken von Tschebyschew): Zwischen 1850 und 1860 hat Tschebyschew mehrere Ungleichungen der Form

(a + f(x))\frac{x}{logx} ≤ π(x) ≤ (b + g(x))\frac{x}{logx}, füry ≥ c

gezeigt, wobei f(x),g(x) gegen 0 gehen für x gegen unendlich.

Beispiel: a = log(2^{1/2}· 3^{1/3}· 5^{1/5}· 30^{−1/30} ) = 0.9219..., b = \frac{6}{5}a = 1.1055..., f,g = 0, mit großem c.

Eine der besten verfügbaren expliziten Abschätzungen ist wie folgt:

( 1 + \frac{1}{2logx}) \frac{x}{logx} ≤ π(x) ≤ ( 1 + \frac{3}{2logx}) \frac{x}{logx}, x ≥ 52.

Die Funktion \frac{x}{logx} ist eine sehr schlechte Approximation für π(x). In Wirklichkeit ist π(x) > \frac{x}{logx} für x ≥ 52. Eine bessere Approximation von π(x) ist

li(x) = ∫_{2}^{x} \frac{dt}{logt}.

Die folgende Tabelle verdeutlicht dies:

\begin{matrix}x & π(x) & \frac{x}{logx} & li(x) \\ 10 & 4 & 4,3... & 5,12... \\ 10^{2} & 25 & 21,7... & 29,08... \\ 10^{3} & 168 & 144,7... & 176,56... \\ 10^{4} & 1229 & 1085,7... & 1245,09... \\ 10^{7} & 664.578 & 620.420,7... & 664.918,... \\ 10^{10} & 455.052.511 & ≈ 4,34 · 10^{8} & ≈ 4,55056 · 10^{8} \end{matrix}

Momentan (23.06.2003) ist der genaue Wert von π(x) bekannt für x = 10^{22}. Akzeptiert man li(x) als Approximation für π(x), dann gilt:

P(n ≈ x,n ∈ ℙ) = \frac{#\{p ∈ ℙ|x − k ≤ p ≤ x + k\}}{#\{n ∈ ℕ|x − k ≤ n ≤ x + k\}} ≈ \frac{d}{dx}li(x)|_{x} = \frac{1}{logx}.

Dabei ist k klein gegenüber n, aber groß genug, um zufällige Schwankungen auszumitteln. Weiter gilt: Akzeptiert man π(n) ≈ \frac{n}{logn}, dann kann man die ”Umkehrfunktion” n ↦ p_{n} abschätzen durch nlogn. Eine bessere Approximation ist p_{n} ≈ n(logn + loglogn − 1). Es ist sogar bewiesen, daß für alle n > 8601 gilt:

n(logn + loglogn − 1.0073) < p_{n} < n(logn + loglogn − 0.9385).

Beispielsweise ergibt sich für n = 10.000 die Ungleichung 104.234 < p_{n} < 104.922.

Exakt ist p_{10.000} = 104.719.

9 Weitere Sätze über Primzahlen

In diesem Kapitel wollen wir die Summe ∑_{p≤x} \frac{1}{p} und das Produkt ∏ _{p≤x} ( 1 − \frac{1}{p}) berechnen. Dazu betrachten wir zuerst die folgende Definition: Definition 9.1 (Asymptotische Äquivalenz): Seien f,g Funktionen auf einer Teilmenge D von ℝ. Wir schreiben

1. f ∼ g:⇔ lim_{x→∞} \frac{f(x)}{g(x)} = 1. Dies gibt nur Sinn, falls D nach oben unbeschränkt ist. Diese Äquivalenzrelation heißt asymptotische Äquivalenz. So gilt beispielsweise π(x) ∼ \frac{x}{logx}.

2. f = o(g) :⇔ lim_{x→∞} \frac{f(x)}{g(x)} = 0. Auch dies macht nur Sinn, falls D nach oben unbeschränkt ist.

3. f = O(g) :⇔ ∃ c > 0 ∀ x ∈ D: |f(x) ≤ c|g(x)|.

Satz 9.2 (Satz von Mertens): Es gilt: ∑_{p≤x} \frac{logp}{p} = logx + R_{x}, R_{x} ∈ (−1 − log4,log4). Insbesondere gilt ∑_{p≤x} \frac{logp}{p} − logx = O(1), mit der Konstanten c = 1 + log4 in der O-Notation. Beweis :

1. Sei x > 1,n:= [x]. Wir wissen aus 6.7: log(n!) = nlogn − n + 1 + θ_{n}logn mit θ_{n} ∈ [0,1].

2.

logn! = ∑_{p≤n} v_{p}(n!)logp, \frac{n}{p} − 1 < v_{p}(n!) < \frac{n}{p} + \frac{n}{p(p − 1)} (vgl. 8.1)

⇝n ∑_{p≤n} \frac{logp}{p} − \underbrace{∑_{p≤n} logp}_{≤nlog4 nach 8.4} < logn! < n ∑_{p≤n} \frac{logp}{p} + ∑_{p≤n} \frac{logp}{p(p − 1)}

3.

n ∑_{p≤n} \frac{logp}{p} − nlog4 < nlogn − n + 1 + logn < nlogn,

d.h. ∑_{p≤n} \frac{logp}{p} < logn + log4 ≤ logx + log4(← erste behauptete Ungleichung).

Für die zweite Ungleichung gilt: 4.

∑_{p∈ℙ} \frac{logp}{p(p − 1)} < ∑_{2≤m} \frac{logm}{m(m − 1)} ≤ ∑_{r≥1} ∑_{2^{r−1} <m≤2^{r}} \frac{r log2}{m(m − 1)} = ∑_{r≥1} r log2\underbrace{∑_{2^{r−1} <m≤2^{r}} \frac{1}{m(m − 1)}}_{2^{−r}}
= log2\underbrace{∑_{r≥1} \frac{r}{2^{r}}}_{=2} = 2log2 = log4

5. Deshalb folgt mit 2.:

n ∑_{p≤n} \frac{logp}{p} + nlog4 >^{1.,4.} nlogn − n + 1

⇝ ∑_{p≤n} \frac{logp}{p} > logn + \frac{1}{n} − (1 + log4) ≥ logx − (1 + log4)

Noch offen sind die folgenden Punkte:

•

∑_{2^{r−1} <m≤2^{r}} \frac{1}{m(m − 1)} = 2^{−r}

•

∑_{r≥1} \frac{r}{2^{r}} = 2

Diese folgen aus den beiden folgenden Propositionen, die in den Übungen gezeigt wurden: Proposition 9.3 (Unendliche Summe eines Bruchs): Es gilt:

S_{k}:= ∑_{m>k} \frac{1}{m(m − 1)} = \frac{1}{k}.

(Vgl. Aufgabe 1, Blatt 9)

48 9 WEITERE SÄTZE ÜBER PRIMZAHLEN

Proposition 9.4 (Potenzreihenidentität): Es gilt:

∑_{r≥1} rX^{r} = \frac{X}{(1 − X)^{2}} .

(Vgl. Aufgabe 4, Blatt 6) Proposition 9.5 (Eine Summe über die Primzahlen): Die Summe

∑_{p∈ℙ} ( log( \frac{1}{1 − p^{−1}} ) − \frac{1}{p})

konvergiert absolut. Sei c_{0} ihr Wert. (c_{0} = 0.315718...) Beweis : Die Summe läßt sich umschreiben zu:

∑_{p∈ℙ} ( ∑_{k≥1} \frac{1}{kp^{k}}− \frac{1}{p}) = ∑_{p} ( ∑_{k≥2} \frac{1}{kp^{k}}) = ∑_{p^{k},k≥2} \frac{1}{kp^{k}} ≤ ∑_{p} ∑_{k≥1} \frac{1}{p^{2l}} ≤ ∑_{n∈ℕ} \frac{1}{n^{2}} < ∞

Dabei haben wir die Ungleichung

\frac{1}{2lp^{2l}} + \frac{1}{(2l + 1)p^{2l+1}} ≤ \frac{1}{p^{2l}}

verwendet.

□

Satz 9.6 (Summe über p^{−1} ): Mit c_{0} wie in (9.5) gilt:

(∗) ∑_{p≤x} \frac{1}{p} = log( \frac{1}{∏ _{p≤x} ( 1 − \frac{1}{p})} ) − c_{0}+ \frac{θ_{x}}{2(x − 1)} (θ_{x} ∈ (0,1)).

Mit anderen Worten:

∑_{p≤x} \frac{1}{p} − log( \frac{1}{∏ _{p≤x} ( 1 − \frac{1}{p})} ) + c_{0} = O( \frac{1}{x − 1} ) = O( \frac{1}{x}) fürx ≥ 2.

Beweis : Einsetzen von c_{0} und auflösen nach θ_{x} in (*) liefert:

θ_{x} = 2(x − 1) ∑_{p≥x} ( log( \frac{1}{1 − p^{−1}} ) − \frac{1}{p}) (← lauter Terme ≥ 0, also ist θ_{x} ≥ 0)

= 2(x − 1) ∑_{p≥x} ∑_{k≥2} \frac{p^{−k}}{k} < ∑_{p>x} \frac{2(x − 1)}{2p(p − 1)} < ∑_{n>x} \frac{x − 1}{n(n − 1)} =^{(9.3)} \frac{x − 1}{N − 1} < 1

Dabei ist N die kleinste natürliche Zahl > x. Für die vorletzte Ungleichung haben wir folgendes verwendet (mit t := p^{−1} ):

∑_{k≥2} \frac{t^{k}}{k} < \frac{1}{2} ∑_{k≥2} t^{k} = \frac{1}{2} \frac{t^{2}}{1 − t} = \frac{1}{2t^{−1} (t^{−1} − 1)},

wobei 0 ≤ t < 1.

□

Satz 9.7 (Summe über Inverse der Primzahlen): Es existiert eine Konstante c_{1} ∈ ℝ, so daß für alle x ≥ 2 gilt:

∑_{p≤x} \frac{1}{p} = loglogx + c_{1}+ O( \frac{1}{logx}) .

Die Konstante c zum O-Symbol kann kleiner als 2(1 + log4) < 5 gewählt werden.

Beweis :

R(t) := ∑_{p≤x} \frac{logp}{p} − log(t) (= O(1) nach 9.2 )

∑_{p≤x} \frac{1}{p} = ∫_{2−}^{x} \frac{1}{logt}d ( ∑_{p≤t} \frac{logp}{p}) (t) = ∫_{2−}^{x} \frac{1}{logt}d logt + ∫_{2−}^{x} \frac{1}{logt}dR(t)

= ∫_{2−}^{x} \frac{1}{logt} \frac{1}{t}dt + ∫_{2−}^{x} \frac{1}{logt}dR(t) = ∫_{2}^{x} \underbrace{\frac{1}{logt} \frac{1}{t}}_{(loglogt)′}dt + ∫_{2−}^{x} \frac{1}{logt}dR(t)

= loglogx − loglog2 + \frac{R(t)}{logt}|_{2−}^{x} − ∫_{2−}^{x} R(t)d ( \frac{1}{logt})

= loglogx − loglog2 + \frac{R(x)}{logx}− \underbrace{\frac{R(2−)}{log2}}_{=−1}+∫_{2−}^{x} \frac{R(t)}{t(logt)^{2}}dt.

Wir setzen R:= sup_{t≥2−} |R(t)| ≤^{9.2} 1 + log4. Dann gilt:

| \frac{R(t)}{logx}− \underbrace{∫_{x}^{∞} \frac{R(t)}{t(logt)^{2}}dt|}_{≤R∫_{x}^{∞} \frac{dt}{t(logt)^{2}}=R| \frac{1}{logt} |_{x}^{∞} = \frac{R}{logx}} ≤ 2\frac{R}{logx}

und deshalb

∑_{p≤x} \frac{1}{p} − loglogx = \underbrace{\frac{R(x)}{logx}− ∫_{x}^{∞} \frac{R(t)dt}{t(logt)^{2}}}_{O( \frac{1}{logx})}+\underbrace{∫_{2−}^{∞} \frac{R(t)dt}{t(logt)^{2}}− loglog2 + 1}_{=:c_{1}, unabhängig von x}.

□

Korollar 9.8 (Produkt über 1 − \frac{1}{p}): Mit den Konstanten c_{0} und c_{1} wie in (9.5) bzw. (9.7) gilt:

∏_{p≤x} ( 1 − \frac{1}{p}) = \frac{e^{−(c_{0}+c_{1})}}{logx} ( 1 + O( \frac{1}{logx}) )

Beweis :

∏_{p≤x} ( 1 − \frac{1}{p}) = e^{−log(∏ _{p≤x} (1− \frac{1}{p})^{−1} )} =^{9.6} e^{−∑_{p≤x} \frac{1}{p}−c_{0}+ \frac{θx}{2(x−1)}} θ_{x} ∈ (0,1)

=^{9.7} e^{−loglogx−c_{1}+O( \frac{1}{logx})−c_{0}+ \frac{θx}{2(x−1)}} = \frac{e^{−(c_{0}+c_{1})+O( \frac{1}{logx})}}{logx}

= \frac{e^{−(c_{0}+c_{1})}}{logx} e^{O( \frac{1}{logx})}

= \frac{e^{−(c_{0}+c_{1})}}{logx} ( 1 + O( \frac{1}{logx}) ) , da |e^{h}− 1| ≤ const. · h, falls h ∈ [0,1]

□

dere gilt:

∏_{p≤x} ( 1 − \frac{1}{p}) = \frac{e^{−γ}}{logx}( 1 + O( \frac{1}{logx}) )

Satz 9.9 (Formel von Mertens): Es gilt: c_{0}+ c_{1} = γ. Dabei ist γ die Euler-Konstante aus (6.10). Insbeson-

50 9 WEITERE SÄTZE ÜBER PRIMZAHLEN

Beweis :

1. ζ(s) = ∑_{n≥1} n^{−s} = ∏ _{p∈ℙ} ( 1 − \frac{1}{p^{s}}) ^{−1} (s ∈ ℝ,s > 1).

Wir betrachten das Verhalten bei s → 0+ von:

f(s) := logζ(1 + s) − ∑_{p∈ℙ} p^{−1−s} (s ∈ ℝ,0 < 0 ≤ 1)

= ∑_{p∈ℙ} log( \frac{1}{1 − p^{−1−s}} ) − ∑_{p∈ℙ} p^{−1−s}

= ∑_{p∈ℙ} ∑_{k≥1} \frac{p^{−k(1+s)}}{k} − ∑_{p∈ℙ} p^{−1−s}

= ∑_{p∈ℙ} ∑_{k≥2} \frac{p^{−k(1+s)}}{k}

≤ ∑_{\begin{matrix}p∈ℙ \\ k≥2 \end{matrix}} \frac{p^{−k}}{k} ( Die Summe ist absolut konvergent für s ≥ 0 und es gilt: f(0) = c_{0}.)

D.h. das “Hindernis” für die Konvergenz von ∑_{n≥1} n^{−s} an s = 1 ist die Teilsumme ∑_{p∈ℙ} n^{−s} .

2. Für 0 < s ≤ 1 gilt:

ζ(1 + s) = ∑_{n≥1} n^{−(1+s)} =^{(6.7)} ∫_{1}^{∞} x^{−1−s} dx + 1 + θ(−1) θ ∈ [0,1]
= − \frac{x^{−s}}{s} |_{x=1}^{x=∞} + O(1) = \frac{1}{s} + \underbrace{O(1)}_{unabhängig von s} = \frac{1}{s}(1 + O(s)).

3. Deshalb

logζ(1 + s) = log( \frac{1}{s} (1 + O(s)) ) = log( \frac{1}{s}) + \underbrace{log(1 + O(s))}_{O(s)}

= \underbrace{log( \frac{1}{1 − e^{−s}} )}_{=log \frac{1}{s}+O(s)}+O(s) = ∑_{n≥1} \frac{e^{−sn}}{n} + O(s)

= ∫_{0}^{∞} e^{−st} dH(t) + O(s) =^{part. Int.}\underbrace{e^{−st} H(t)|_{{t=∞ \atop t=0}}}_{=0}−∫_{0}^{∞} H(t)d(e^{−st}) + O(s)

= s∫_{0}^{∞} H(t)e^{−st} dt + O(s) mitH(t) := ∑_{n∈ℕ1≤n≤t} \frac{1}{n}vgl. (6.10)

4. Sei P(n) := ∑_{p≤n} \frac{1}{p}. Dann gilt:

∑_{p∈ℙ} p^{−1−s} = ∫_{1}^{∞} u^{−s} dP(u) =^{part.Int}s∫_{1}^{∞} P(u)u^{−1−s} du =^{u:=e^{t}= \frac{du}{dt}} s∫_{0}^{∞} e^{−st} P(e^{t})dt.

5. Es ist

H(t)= logt + γ + O( \frac{1}{t})  ( nach (6.10))
P(e^{t})= ∑_{p≤e^{t}} \frac{1}{p} =^{(9.7)} logloge^{t}+ c_{1}+ O( \frac{1}{loge^{t}}) = logt + c_{1}+ O( \frac{1}{t})

⇝ H(t) − P(e^{t})= γ − c_{1}+ O( \frac{1}{t}) (t ≥ 1)

= γ − c_{1}+ O( \frac{1}{t + 1} ) (t ≥ 0)

f(s) =^{(i) bis (iv)}s∫_{0}^{∞} e^{−st} (H(t) − P(e^{t}))dt + O(s)

= s∫_{0}^{∞} e^{−st} (γ − c_{1})dt + s∫_{0}^{∞} e^{−st} ( O( \frac{1}{t + 1} ) ) dt + O(s)

= γ − c_{1}+ O( s∫_{0}^{∞} \frac{e^{−st}}{t + 1} dt) + O(s)

6. Weiter ist

∫_{0}^{∞} \frac{e^{−st}}{t + 1} dt = ∑_{k≥1} \frac{e^{−sk}}{k + 1} + θ \frac{e^{−st}}{t + 1} |_{t=0} θ ∈ [0,1]

= ∑_{k≥0} \frac{e^{−sk}}{k + 1} + O(1) = e^{s} ∑_{k≥1} \frac{e^{−sk}}{k} + O(1) = e^{s}log\underbrace{\frac{1}{1 − e^{−s}}}_{O(s)}+O(1)

= e^{s}O(log(s^{−1} )) + O(1) = O(logs^{−1} )

7. Zusammen also f(s) = γ − c_{1}+ O(sO(logs^{−1} )) + O(s) = γ − c_{1}+ O(slogs^{−1} ) + O(s).

Weiter gilt: c_{0} =^{1.} lim_{s→0} f(s) = γ − c_{1}+ \underbrace{lim_{s→0}O(slogs^{−1} )}_{=0 (Regel von de l’Hôpital)} = γ − c_{1}

□

\underline{Schlußbemerkungen} : Die Konstanten γ und c_{0} sind relativ leicht zu approximieren. Mit ihrer Hilfe kann man deshalb auch c_{1} näherungsweise bestimmen: c_{1} = γ − c_{0} ≈ 0.26149....

In (9.7) haben wir gezeigt: ∑_{p} \frac{1}{p} = loglogx + c_{1} + O( \frac{1}{logx}). Inbesondere geht die Summe der reziproken Primzahlen also gegen unendlich. Nimmt man aber alle zur Zeit “bekannten” Primzahlen (momentan sind alle Primzahlen kleiner 10^{22} “bekannt”^{14}) und wertet die Summe aus, ist man noch sehr weit von unendlich entfernt, wie folgende Rechnung zeigt:

∑_{p≤10^{22}} \frac{1}{p} ≤^{9.7} loglog10^{22}+ 0.26149...+ 2(1 + log4)( \frac{1}{log10^{22}}) ≈ 4.3 ≪ ∞.

10 Arithmetische Funktionen und Dirichlet-Reihen

Definition 10.1 (Arithmetische Funktion): Eine arithmetische Funktion ist eine Abbildung f : ℕ → ℂ.

Eine arithmetische Funktion f heißt (schwach)  additiv  :⇔ f(mn) = f(m) + f(n)  falls (m,n) = 1
multiplikativ :⇔ f(mn) = f(m) · f(n)  falls (m,n) = 1.
f heißt vollständig additiv :⇔ f(mn) = f(m) + f(n) ∀ (m,n) ∈ ℕ^{2}
multiplikativ :⇔ f(mn) = f(m) · f(n)  ∀ (m,n) ∈ ℕ^{2}.

Ist f \{ \begin{matrix}additiv \\ multiplikativ \end{matrix}\} , so gilt bei bekannter Primfaktorzerlegung n = ∏ p_{i}^{e_{i}} : f(n) = \{ \begin{matrix}∑ f(p_{i}^{e_{i}}) \\ ∏ f(p_{i}^{e_{i}}) \end{matrix} \} .

14Genauer gesagt, ist der Wert die π-Funktion für diesen Wert bekannt.

Beispiele/Definitionen 10.2 (Möbius-Funktion):

1. Die Eulersche φ-Funktion ist multiplikativ.

2.

ω: ℕ → ℕ_{0} : ω(n) := #{p ∈ ℙ| p| n}  ist additiv.
Ω(n) : ℕ → ℕ_{0} : Ω(n) := #{p^{e_{i}}| p ∈ ℙ,e_{i} ∈ ℕ,p^{e_{i}}|n}  ist vollständig additiv.

Mit der Primfaktorzerlegung n = ∏ p_{i}^{e_{i}} gilt: Ω(n) = ∑ e_{i}.

3. Für k ∈ ℕ_{0} sei σ_{k} definiert durch

σ_{k}(n) := ∑_{\begin{matrix}d∈ℕ \\ d| n \end{matrix}}d^{k}.

Speziell sei τ(n) := σ_{0}(n) = #{d| n}, σ(n) := σ_{1}(n).

Alle σ_{k} sind multiplikativ. (Leichte Übung) 4.

μ:ℕ_{0} → {±1,0}
n ↦ \{ \begin{matrix}(−1)^{ω(n)} & n quadratfrei \\ 0 & sonst \end{matrix} \} ist multiplikativ.

Es gilt:

μ(p^{e}) = \{ \begin{matrix}1 & e = 0 \\ −1 & e = 1 \\ 0 & e ≥ 2 \end{matrix} p ∈ ℙ,e ∈ ℕ_{0}.

Proposition 10.3 (Summe über μ(d)): Es gilt:

∑_{d| n}μ(d) = \{ \begin{matrix}1 & n = 1 \\ 0 & n ≠ 1 \end{matrix}

Beweis : Wir verwenden Induktion über ω(n):

ω(n) = 0 ⇔ n = 1 ist klar.

ω(n) = 1 ⇒ n = p^{e} : ∑_{d| n}μ(d) = \underbrace{μ(1)}_{1}+\underbrace{μ(p)}_{−1}+\underbrace{μ(p^{2})}_{0}+....

ω(n) > 1, d.h. n = p^{e}m, mit p ∈ ℙ,e ≥ 1:

∑_{d| n}μ(d) = ∑_{d′| p^{e}} ∑_{d′′| m}μ(d′d′′) = ∑_{d′| p^{e}} ∑_{d′′| m}μ(d′)μ(d′′) = ( ∑_{d′| p^{e}}μ(d′)) ( ∑_{d′′| m}μ(d′′)) =^{I.V.}0 · 0 = 0

□

Satz 10.4 (Möbius-Inversion I): Sind f,g zwei arithmetische Funktionen, so sind äquivalent:

1. g(n) = ∑_{d| n}f(d) ∀ n ∈ ℕ

2. f(n) = ∑_{d| n}μ(\frac{n}{d})g(d) ∀ n ∈ ℕ

(Der Zusammenhang zwischen f und g ist analog zum Zusammenhang zwischen einer Funktion f und ihrer Fouriertransformierten f̂.)

Beweis : Sei (1.) erfüllt. Dann gilt:

∑_{d| n}μ( \frac{n}{d}) g(d) = ∑_{d| n}μ( \frac{n}{d}) ∑_{d′| d}f(d′) = ∑_{d′| n}\underbrace{∑_{d′′| \frac{n}{d}′}μ(d′′)}_{\{ \begin{matrix}0 & d′< n \\ 1 & d′= n \end{matrix} \}} f(d′) = f(n).

Die zweite Implikation ergibt sich analog.

□

Satz 10.5 (Möbius-Inversion II): Seien F,G Funktionen auf ℝ_{≥1} , trivial fortgesetzt auf ℝ_{≥0} ^{15}. Dann sind äquivalent:

1. G(x) = ∑_{n≤x} F (\frac{x}{n})

2. F (x) = ∑_{n≤x} μ(n)G(\frac{x}{n})

Beweis : Wir zeigen nur (1.) ⇒ (2.), die zweite Implikation folgt analog:

∑_{n≤x} μ(n)G( \frac{x}{n}) = ∑_{n≤x} μ(n) ∑_{m≤ \frac{x}{n}} F ( \frac{x}{nm}) = ∑_{k≤x} ∑_{\begin{matrix}m,n \\ mn=k \end{matrix}}μ(n)F ( \frac{x}{k})

= ∑_{k≤x}F ( \frac{x}{k}) \underbrace{( ∑_{n| k}μ(n))}_{=\{ \begin{matrix}0 & k > 1 \\ 1 & k = 1 \end{matrix} \} nach (10.3)} = F (x)

□

Bemerkung 10.6 (Möbius-Inversion in abelschen Gruppen):

Aussage (10.4) bleibt richtig, falls f,g : ℕ → A Abbildungen mit Werten in einer abelschen Gruppe (A,+) sind.

Beispiel 10.7 (primitive Einheitswurzeln): Frage: Wie viele primitive n-te Einheitswurzeln ζ gibt es in ℂ?

Sei λ(n) := #{ζ ∈ ℂ|ζ^{n} = 1,ζ^{m} ≠ 1∀ m < n} = #{ζ ∈ ℂ|ζ ist primitive n-te Einheitswurzel }.

Es gilt:

∑_{d| n}λ(d) = n =^{2.20} ∑_{d| n}φ(d).

Wende nun (10.4) an mit g(n) = n,f(n) = λ(n)(bzw. φ(n)). Also muß gelten: λ = φ. Es gibt also genau φ(n) primitive n-te Einheitswurzeln.

Sei nun weiter

f_{n}(X) = ∏_{ζ primitive_{n-te Einheitswurzel}}(X − ζ) ∈ ℂ[X]

und

g_{n}(X) = ∏_{\begin{matrix}ζ∈ℂ \\ ζ^{n}=1 \end{matrix}} (X − ζ) = X^{n}− 1.

Dann gilt in ℂ[X] : f_{n}| g_{n}. Betrachte die Abbildungen n ↦ f_{n}(X) und n ↦ g_{n}(X), die beide von ℕ in die multiplikative Gruppe ℂ[X]^{∗} des Körpers ℂ[x] der rationalen Funktionen gehen (!). Es gilt: g_{n} = ∏ _{d| n}f_{d}(X). Wir wenden die Möbius-Inversion an und erhalten (dabei ist ℂ[X]^{∗} eine \underline{multiplikative}Gruppe):

f_{n}(X) = ∏_{d| n}g_{d}(X)^{μ( \frac{n}{d})}

15D.h. F (x) und G(x) sind 0 für 0 ≤ x < 1.

54 10 ARITHMETISCHE FUNKTIONEN UND DIRICHLET-REIHEN

Beispielsweise gilt: f_{6}(X) = \frac{(X^{6}−1)(X−1)}{(X^{3}−1)(X^{2}−1)} , wie man mittels obiger Formel und folgender Tabelle sieht:

\begin{matrix}d & 6 & 3 & 2 & 1 \\ μ(\frac{6}{d}) & 1 & −1 & −1 & 1 \end{matrix}

Dies kann man auch noch ohne die Formel verifizieren: X^{6} − 1 enthält alle 6-ten Einheitswurzeln, davon zieht man alle zweiten und dritten ab, muss aber die ersten Einheitswurzeln wieder dazu nehmen, denn diese wurden doppelt herausgenommen (bei zweifach und bei dreifach).)

Gekürzt ergibt sich: f_{6}(X) = \frac{X^{3}+1}{X+1} = X^{2}− X + 1.

Für n = 20 ergibt sich die Tabelle:

\begin{matrix}d & 20 & 10 & 5 & 4 & 2 & 1 \\ μ(\frac{20}{d}) & 1 & −1 & 0 & −1 & 1 & 0 \end{matrix}

und damit f_{20} = \frac{(X^{20}−1)(X^{2}−1)}{(X^{10}−1)(X^{4}−1)} = \frac{X^{10}−1}{X^{2}+1} = X^{8}− X^{6}+ X^{4}− X^{2}+ 1.

Bemerkung (Polynome und Einheitswurzeln): Die Polynome f_{n}(X) aus (10.7) haben Koeffizienten in ℚ, und sogar in {±1,0}, falls n ≤ 104. Letzteres gilt aber nicht allgemein.

Definition/Proposition 10.8 (formale Dirichlet-Reihen): Eine formale Dirichlet-Reihe ist eine Reihe der Form

∑_{n=1}^{∞} n^{−s} = ∑_{n≥1} a_{n}n^{−s} (a_{n} ∈ ℂ).

Ist f eine arithmetische Funktion, so heißt

∑_{n≥1} f(n)n^{−s} =: D(f,s)

die zugehörige Dirichlet-Reihe. Zu je zwei Dirichlet-Reihen D(f,s) und D(g,s) sind D(f,s) + D(g,s) =

D(f + g,s) und D(f,s) · D(g,s) = D(h,s) mit h(n) = ∑ \begin{matrix}d,m∈ℕ \\ dm=n \end{matrix}f(d)g(m) = ∑_{d| n}f(d)g(\frac{n}{d}) wieder formale

Potenzreihen. Deshalb bildet die Menge aller formalen Potenzreihen einen kommutativen, nullteilerfreien(!) Ring, d.h. einen Integritätsbereich.

Definition/Proposition 10.9 (Faltung):

Es sei 𝔄:= {f|f ist arithmetische Funktion } und 𝔇 = {f|f ist formale Dirichlet-Reihe}.

Dann ist \begin{matrix}𝔄 → 𝔇 \\ f ↦ D(f,s) \end{matrix} bijektiv. Die dadurch auf 𝔄 definierte Multiplikation “∗” ist

(f ∗ g)(n) = ∑_{d| n}f(d)g( \frac{n}{d}) = ∑_{d| n}f ( \frac{n}{d}) g(d).

Sie macht 𝔄 zu einen kommutativen nullteilerfreien Ring. Die Verknüpfung “∗” heißt Faltung.

Satz 10.10 (arithmetische Funktionen und Multiplikativität): Sei f ∈ 𝔄. Dann gilt:

1. f ist Einheit ⇔ f(1) ≠ 0

2. f ist multiplikativ ⇔ D(f,s) besitzt eine formale Produktentwicklung, d.h.

D(f,s) = ∏_{p∈ℙ} ( 1 + ∑_{e≥1} f(p^{e})p^{−es} )

3. Die Menge 𝔐 der multiplikativen arithmetischen Funktionen ist eine Untergruppe der multiplikativen Gruppe 𝔄^{∗} von 𝔄.

Beweis :

1. Das Einselement bzgl. “∗” ist δ: ℕ → ℂ, n ↦ \{ \begin{matrix}1 & n = 1 \\ 0 & n > 1 \end{matrix} Die Gleichung f ∗ g = δ ist äquivalent zu:

∀ n gilt: ∑_{d| n}f ( \frac{n}{d}) g(d) = \{ \begin{matrix}1 & n = 1 \\ 0 & n > 1 \end{matrix}

Ist nun f(1) ≠ 0, so kann man rekursiv nach g auflösen und erhält:

g(1) = f(1)^{−1} ,g(n) = −f(1)^{−1} ∑ \begin{matrix}d| n \\ d≠n \end{matrix}f ( \frac{n}{d})g(d).

Ist f(1) = 0, so ist die Gleichung für kein g erfüllt, denn man erhält die Gleichung f(1)g(1) = 0.

2. Es ist klar, daß das Produkt rechts ein wohldefiniertes Element von 𝔇 ist. Ist n = ∏ _{1≤i≤s} p_{i}^{e_{i}} die Primfaktorzerlegung von n, dann ist der Koeffizient f(n) von n^{−s} in diesem Produkt gerade ∏ _{1≤i≤s} f(p_{i}^{e_{i}}). Dies zeigt, daß die Funktion f mit dieser Produktentwicklung multiplikativ ist. Ist umgekehrt f multiplikativ (d.h. f(n) = ∏ _{q≤i≤s} f(p_{i}^{e_{i}}), so hat D(f,s) die Produktentwicklung wie in (2.)

3. 𝔐 ⊂ 𝔄^{∗} ist klar nach (1.). Daß 𝔐 ⊂ 𝔄 auch eine Untergruppe ist, bleibt dem Leser als Übung über-

lassen.

□

Beispiel 10.11 (Faltung): Sei \underline{1} ∈ 𝔄 die Funktion von ℕ → ℂ, n ↦ 1. (Achtung: Dies ist nicht das Einselement von 𝔄!). Weiter seien j und j^{k} die arithmetischen Funktionen mit j: n ↦ n und j^{k}: n ↦ n^{k}. Dann gilt:

• \underline{1}∗ \underline{1} = τ, denn (\underline{1}∗ \underline{1})(n) = ∑_{d| n}1 · 1 = σ_{0}(n) = τ(n).

• \underline{1}∗ j = σ_{1} = σ

• \underline{1}∗ j^{k} = σ_{k}

• \underline{1}∗ μ = δ, denn (\underline{1}∗ μ)(n) = ∑_{d| n}1 · μ( \frac{n}{d}) = ∑_{d| n}μ(d) =^{10.3} δ(1)

Mit anderen Worten: Die Faltung mit \underline{1} bewirkt eine Möbius-Transformation, die Faltung mit μ eine inverse Möbius-Transformation. Definition/Satz 10.12 (von Mangoldt-Funktion): Sei λ: ℕ → ℂ die arithmetische Funktion λ:= μ ∗ log. λ heißt die von Mangoldt-Funktion. Weiter sei ψ: ℝ_{≥0} → ℂ definiert durch ψ(x) := ∑_{n≤x} λ(n) und ϑ: ℝ_{≥0} → ℂ,ϑ(x) = ∑_{p≤x} logp. ψ und ϑ heißen Tschebyschew-Funktionen. Beispielweise ist für n = 17:

ϑ(x) = log2+ log3+ log5 + log7 + log11 + log13 + log17
ψ(x) = 4log2+ 2log3+ log5 + log7 + log11 + log13 + log17

Es gelten:

1. λ(n) = \{ \begin{matrix}logp & n = p^{e}(← Primzahlpotenz) \\ 0 & sonst \end{matrix}

2. ψ(x) = ∑_{p^{e}≤x} logp = logkgV{n ≤ x}

3. ψ(x) = ∑_{n≥1} ϑ(\sqrt[n]{x}) (← endliche Summe!)

4. ϑ(x) ≤ [x]log4

5. ψ(x) ≥ [x]log2

6. ψ(x) = ϑ(x) + O(\sqrt{x}logx)

56 10 ARITHMETISCHE FUNKTIONEN UND DIRICHLET-REIHEN

Beweis :

1. Es gilt:

λ(n) = ∑_{d| n}μ(d)log( \frac{n}{d}) = \underbrace{( ∑_{d| n}μ(d))}_{=δ(n)=0,wenn n>1} logn − ∑_{d| n}μ(d)logd

⇝λ = −μlog∗\underline{1}

Sind jetzt m,n > 1 teilerfremd, so ist

λ(mn) = − ∑_{d| n}μ(d)logd
= − ∑_{d_{1}| m}μ(d_{1}) ∑_{d_{2}| n}μ(d_{2})(logd_{1}+ logd_{2})
= − ∑_{d_{1}| m}μ(d_{1})[δ(n)logd_{1}− λ(n)]
= δ(n)λ(m) + λ(n)δ(m) = 0

Also verschwindet λ auf n, sofern n keine Primzahlpotenz ist. Weiter ist

λ(p^{e}) = − (μlog∗1)(p^{e})
= − (μ(1)log1 + μ(p)logp + ∑_{2≤i≤e} μ(p^{i})logp^{i})
= logp

2. Ist klar nach (1.).

3. Für p ∈ ℙ gilt: p^{e} ≤ x ⇔ p ≤ \sqrt[e]{x}. Deshalb tritt logp als Summand auf beiden Seiten gleich oft auf.

4. Folgt aus (8.4)

5. Folgt aus (8.5) (wenn man dort Logarithmen zieht)

6. Aus (3.) wissen wir:

ψ(x) = ϑ(x) + ∑_{2≤n≤ \frac{logx}{log2}} ϑ(\sqrt[n]{x}) = ϑ(x) + \frac{logx}{log2}O(\sqrt{x}) = ϑ(x) + O(\sqrt{x}logx) = ϑ(x) + O(\sqrt{x}logx)

□

Satz 10.13 (Vermutung von Bertrand): Für alle natürlichen Zahlen n existiert eine Primzahl p mit n < p ≤ 2. Dieser Satz wurde zuerst von Tschebyschew bewiesen. Beweis : \underline{Annahme}: ∃ n ∈ ℕ mit: ∄ p ∈ ℙ mit n < p ≤ 2n. Wir zeigen, daß dann n ≤ C ist (mit einer geeigneten Konstanten C) und erledigen den Rest “von Hand”.

1. Sei N := \binom{2n}{n} und p sei ein Primfaktor von N. Dann gilt:

0 < v_{p}(N) = v_{p}((2n)!) − 2v_{p}(n!) =^{8.1} ∑_{i≥1} ( [ \frac{2n}{p^{i}}] − 2[ \frac{n}{p^{i}}])

2. Nach Voraussetzung ist p ≤ 2n, also sogar p ≤ n (wegen unserer Annahme).

3. Es ist sogar p ≤ \frac{2}{3}n, denn sonst gilt:

\frac{2}{3}n < p ≤ n ⇝ 2p ≤ 2n < 3p

⇝ 9p^{2} > 4n^{2}

⇝ p^{2} > \frac{4}{9}n^{2} >_{n>4} 2n

⇝ v_{p}(N) = [ \frac{2n}{p}] − 2[ \frac{n}{p}] = 2 − 2 = 0 Widerspruch.

4. Also ist jeder Primteiler p von N kleiner als \frac{2}{3}n. Deshalb gilt:

∑_{p| N}logp ≤ ∑_{p≤ \frac{2}{3}n} logp = ϑ( \frac{2}{3}n) = ϑ( [ \frac{2}{3}n]) ≤^{10.12} log4[ \frac{2}{3}n] ≤ \frac{4}{3}nlog2.

5. Weiter gilt:

v_{p}(N) ≤ \underbrace{\frac{log(2n)}{logp}}_{Anzahl der Summanden in der Summe in 1.} ,

denn für x ∈ ℝ gilt: [2x]−2[x] ≤ 1. Ist v_{p}(N) ≥ 2, so folgt: 2logp ≤ v_{p}(N)logp ≤ log2n, d.h. p ≤ \sqrt{2n},

und es gibt höchstens \sqrt{2n} viele solcher p. Also gilt:

∑_{p| N,v_{p}(N)≥2}v_{p}(N)logp ≤ \sqrt{2n}log2n.

6. Es gilt:

logN = ∑_{p| N}v_{p}(N)logp = ∑_{\begin{matrix}p| N \\ v_{p}(N)=1 \end{matrix}}v_{p}(N)logp + ∑_{\begin{matrix}p| N \\ v_{p}(N)≥2 \end{matrix}}v_{p}(N)logp ≤^{(4),(5)} \frac{4}{3}nlog2 + \sqrt{2n}log2n.

7. N = \binom{2n}{n} ist der größte Term in

2^{2n} = (1 + 1)^{2n} = 1 + \binom{2n}{1} + \binom{2n}{2} + ...+ \binom{2n}{2n−1} + 1 = \underbrace{2 + \binom{2n}{1} + \binom{2n}{2} + ...+ \binom{2n}{2n − 1}}_{2n Summanden}

⇝2^{2n} ≤ 2n\binom{2n}{n} = 2nN (vgl. 8.3)
⇝2nlog2 ≤ log2n + logN ≤^{(6.)} log2n + \frac{4}{3} log2 + \sqrt{2n}log2n
⇝\frac{2}{3}nlog2 ≤ (1 + \sqrt{2n})log2n
⇝2nlog2 ≤ 3(1 + \sqrt{2n})log2n

Diese Ungleichung hat die Form “O(n) ≤ O(\sqrt{n}logn)”. Es ist also klar, daß sie ab einem bestimmten n nicht mehr gelten kann.

8. \underline{Annahme}: n > 2^{9} = 512. Setze x:= \frac{logn−9log2}{10log2} > 0. Dann ist 2^{10+10x} = 2^{10}2^{\frac{logn}{log2}}2^{−9} = 2n. Die letzte

Ungleichung aus (7.) wird dann zu:

2^{10+10x} log2 ≤ 3(1 + 2^{5+5x})(10 + 10x)log2

⇝2^{10+10x} ≤ 30(1 + 2^{5+5x}(1 + x)
⇝^{:2^{10}2^{5x}}2^{5x} ≤ \underbrace{30 · 2^{−5}}_{<(1−2^{−5} )} \underbrace{(1 + 2^{−5(1+x)} )}_{≤(1+2^{−5} )}(1 + x) < 1 + x(1 − 2^{−10} ) < 1 + x

58 11 MITTLERE ORDNUNGEN ARITHMETISCHER FUNKTIONEN

Andererseits gilt: 2^{5x} = exp(5xlog2) = 1 + \underbrace{\frac{5log2}{1!}x}_{>1}+ positive Terme. Widerspruch. Also ist n < 512.

9. Betrachte die Primzahlen q_{1},q_{2},q_{3}... = 2,3,5,7,13,23,43,83,163,317,631. Dann ist jeweils q_{i+1} <

2q_{i}. Also gibt es für jedes n ≤ 630 ein q_{i} aus der Liste mit n < q_{i} ≤ 2n.

□

11 Mittlere Ordnungen arithmetischer Funktionen

Definition 11.1 (Mittlere Ordnung): Sei f : ℕ → ℂ eine arithmetische Funktion und g eine elementare reelle Funktion. Wir sagen, daß f mittlere Ordnung g hat, falls gilt:

(∗) ∑_{n≤x} f(n) ∼ ∑_{n≤x} g(n).

Bemerkung (Zu mittleren Ordnungen):

1. “Elementare Funktion” ist nicht wohldefiniert und steht in etwa für “leicht berechenbar”.

2. f kann verschiedene mittlere Ordnungen haben.

3. Hat f mittlere Ordnung g, und ist die Approximation in (∗) “genügend gut”, so beschreibt g(x) den Mittelwert von f in der Umgebung von x, d.h.

\frac{∑ \begin{matrix}n∈ℕ \\ x−y≤n≤x+y \end{matrix} f(n)}{2y} ≈ g(x) 0 ≪ y ≪ x

4. Bestimmung einer mittleren Ordnung g für f ist äquivalent zur Bestimmung von

∑_{n≤x} f(n) = G(x)+ Fehlerterm mit Abschätzung.

Beispiel (Mittlere Ordnung): Sei f(n) = \{ \begin{matrix}1 & n ∈ ℙ \\ 0 & n ∉ ℙ \end{matrix} , also ∑_{n≤x} f(n) = π(x). π(x) ∼ \frac{x}{logx} bedeuted, daß

f(n) die mittlere Ordnung g(x) = ( \frac{x}{logx})′∼ \frac{1}{logx} hat.

Proposition 11.2 (Mittlere Ordnung der τ-Funktion): Mit τ(n) = #{d ∈ ℕ: d| n} gilt:

∑_{n≤x} τ(n) = ∑_{n≤x} ∑_{d| n}1 = ∑_{d≤x} ∑_{\begin{matrix}n≤x \\ n≡0(d) \end{matrix}} 1 = ∑_{d≤x} [ \frac{x}{d}] = ∑_{d≤x} ( \frac{x}{d} + O(1)) = \underbrace{x ∑_{d≤x} \frac{1}{d}}_{logx+O(1)} +\underbrace{[x]O(1)}_{O(x)}= xlogx + O(x).

□

Proposition 11.3 (Andere Darstellung von ∑_{n≤x} f ∗ g): Seien f, g zwei arithmetische Funktionen mit summatorischen Funktionen F und G^{16}. Für 1 ≤ y ≤ x gilt:

∑_{n≤x} f ∗ g(n) = ∑_{n≤y} g(n)F ( \frac{x}{n}) + ∑_{m≤ \frac{x}{y}} f(m)G( \frac{x}{m}) − F ( \frac{x}{y}) G(y).

16d.h. F (x) = ∑_{n≤x} f(n), x ∈ ℝ, analog für g und G.

Beweis : Es gilt:

∑_{n≤x} f ∗ g(n) = ∑_{\begin{matrix}m,d∈ℕ \\ md=n \\ n≤x \end{matrix}}f(m)g(d) = ∑_{\begin{matrix}md≤x \\ d≤y \end{matrix}}f(m)g(d) + ∑_{\begin{matrix}md≤x \\ d>y \end{matrix}}f(m)g(d)
= ∑_{d≤y} g(d)F ( \frac{x}{d}) + ∑_{m≤ \frac{x}{y}} f(m)( G( \frac{x}{m}) − G(y))
□

Eine Verfeinerung von 11.2 ist Satz 11.4 (Summe über τ(n)): Es gilt:

∑_{n≤x} τ(n) = xlogx + (2γ − 1)x + O(\sqrt{x}).

Beweis : Wende (11.3) an mit f,g = \underline{1}, F (x) = G(x) = [x], y = \sqrt{x}. Dann gilt wegen τ = \underline{1}∗ \underline{1}:

∑_{n≤x} τ(n) =2 ∑_{m≤\sqrt{x}}[ \frac{x}{m}] − [\sqrt{x}]^{2} = 2x \underbrace{∑_{m≤\sqrt{x}} \frac{1}{m}}_{log\sqrt{x}+γ+O(x^{−1/2} )} +O(\sqrt{x}) − x + O(\sqrt{x})

= xlogx + 2γx + O(\sqrt{x}) − x + O(\sqrt{x}) = xlogx + (2γ − 1)x + O(\sqrt{x})
□

\underline{Folge}: Die mittlere Ordnung von τ(n) ist \frac{d}{dx}(xlogx + (2γ − 1)x) = logx + 2γ. Beispiel (Mittlere Ordnung von τ(n)): Für x = 100 gilt: log(100) + 2γ = 5,759..., und das lokale Mittel

von τ(n) für 90 ≤ n ≤ 110 ist \frac{123}{21} = 5,857....

Satz 11.5 (Asymptotik von ∑_{n≤x} σ(n)): Für x → ∞ gilt:

∑_{n≤x} σ(n) = \frac{π^{2}}{12}x^{2}+ O(xlogx)

Beweis : Es gilt:

∑_{n≤x} σ(n) = ∑_{n≤x} ∑_{d| n}d = ∑_{md≤x}d = ∑_{m≤x} ∑_{d≤ \frac{x}{m}} d = \frac{1}{2} ∑_{m≤x}[ \frac{x}{m}]( [ \frac{x}{m}+ 1] )
= \frac{1}{2} ∑_{m≤x} \frac{x^{2}}{m^{2}}+ O(x \underbrace{∑_{m≤x} \frac{1}{m}}_{logx+O(1)}) = \frac{1}{2}x^{2} ∑_{m≤x} \frac{1}{m^{2}}+ O(xlogx)

= \frac{1}{2}x^{2}( ∑_{m∈ℕ} \frac{1}{m^{2}} − \underbrace{∑_{m>x} \frac{1}{m^{2}})}_{O(x^{−1} )}+O(xlogx) = \frac{1}{2}ζ(2)x^{2}+ O(x) + O(xlogx) = \frac{π^{2}}{12}x^{2}+ O(xlogx)

□

Bemerkung (Mittlere Ordnung von σ(n)): σ(n) hat als mittlere Ordnung \frac{d}{dx}( \frac{π^{2}}{12}x^{2}) = \frac{π^{2}}{6} x.

\underline{Frage}: Welche mittlere Ordnung hat \frac{σ(n)}{n}? Bemerkung 11.6 (Multiplikativität bei mittleren Ordnungen?): Sind f_{1},f_{2} arithmetische Funktionen mit mittleren Ordnungen g_{1},g_{2}, so gilt im Allgemeinen \underline{nicht}: g_{1}g_{2} = mittlere Ordnung von f_{1}f_{2}. Trotzdem gilt:

60 11 MITTLERE ORDNUNGEN ARITHMETISCHER FUNKTIONEN

Satz (Mittlere Ordnung von \frac{σ(n)}{n}): \frac{σ(n)}{n} hat \frac{π^{2}}{6} als mittlere Ordnung. Beweis : Es gilt:

∑_{n≤x} \frac{σ(n)}{n} = ∑_{\begin{matrix}m,d∈ℕ \\ md≤x \end{matrix}} \frac{1}{m} = ∑_{m≤x} \frac{1}{m}[ \frac{x}{m}] = ∑_{m≤x} \frac{1}{m}( \frac{x}{m}− \{ \frac{x}{m}\})
= x ∑_{m≤x} \frac{1}{m^{2}}+ O(logx) = xζ(2) + O(1) + O(logx) = xζ(2) + O(logx)

Damit folgt, daß \frac{σ(n)}{n} die mittlere Ordnung \frac{d}{dx}(xζ(2)) = ζ(2) = \frac{π^{2}}{6} hat. Definition 11.7 (Mittelbar): Hat f ∈ 𝔄 eine konstante mittlere Ordnung c ∈ ℂ, d.h. ∑_{n≤x} f(n) ∼ cx, so ist lim_{x→∞} \frac{1}{x}∑_{n≤x} f(n) = c. In diesem Fall heißt f mittelbar mit Mittel c. Beispielsweise ist \frac{σ(n)}{n} mittelbar mit Mittel ζ(2) = \frac{π^{2}}{6} . Satz 11.8 (Mittlere Ordnung von φ(n)): Für x → ∞ gilt:

∑_{n≤x} φ(n) = \frac{3}{π^{2}} x^{2}+ O(xlogx)

Beweis : Wegen ∑_{d| n}φ(d) = n ist φ(n) = ∑_{d| n}μ(d)\frac{n}{d} = ∑_{dm=n} μ(d)m, und deshalb gilt

∑_{n≤x} φ(n) = ∑_{n≤x} ∑_{dm=n}μ(d)m = ∑_{d≤x} μ(d) ∑_{m≤ \frac{x}{d}} m = \frac{1}{2} ∑_{d≤x} μ(d)[ \frac{x}{d}]( [ \frac{x}{d}] + 1)
= \frac{1}{2}x^{2} \underbrace{∑_{d≤x} \frac{μ(d)}{d^{2}}}_{ζ(2)^{−1} +O(x^{−1} )_{s. unten}} +O(xlogx) = \frac{1}{2}ζ(2)^{−1} x^{2}+ O(x) + O(xlogx) = \frac{1}{2}ζ(2)^{−1} x^{2}+ O(xlogx).

Wegen μ ∗ \underline{1} = δ gilt: \underbrace{D(μ,s)}_{=∑_{n≥1} μ(n)n^{−s}} ·\underbrace{D(\underline{1},s)}_{=∑_{n≥1} n^{−s}} = 1. (= Konstante Dirichlet-Reihe mit Wert 1)

Da beide Summen absolut konvergieren für s = 2, gilt auch (∑_{n≥1} μ(n)n^{−2} )\underbrace{( ∑_{n≥1} n^{−2} )}_{=ζ(2)= \frac{π2}{6}} = 1,

also ∑_{n≥1} μ(n)n^{−2} = \frac{6}{π^{2}} .

□

φ(n) hat folglich die mittlere Ordnung \frac{6}{π^{2}} x. Korollar 11.9 (Mittel von \frac{φ(n)}{n}): \frac{φ(n)}{n} ist mittelbar mit Mittel ζ(2)^{−1} = \frac{6}{π^{2}} . Beweis : Es gilt:

∑_{n≤x} \frac{φ(n)}{n} = ∑_{n≤x} \frac{1}{n} ∑_{d| n}μ(d)\frac{n}{d} = ∑_{d| n}μ(d) ∑_{m≤ \frac{x}{d}} \frac{m}{md} = ∑_{d| n}μ(d) ∑_{m≤[\frac{x}{d}]} \frac{1}{d} = ∑_{d≤x} μ(d)[ \frac{x}{d}] \frac{1}{d} = ∑_{d≤x} \frac{μ(d)}{d}( \frac{x}{d} − \{ \frac{x}{d}\})

= x ∑_{d≤x} \frac{μ(d)}{d^{2}} + O( ∑_{d≤x} \frac{1}{d}) = x(ζ(2)^{−1} + O(x^{−1} )) + O(logx)

= ζ(2)^{−1} x + O(1) + O(logx) = ζ(2)^{−1} x + O(logx)

□

Korollar 11.10 (Verifizierung von (7.3)): Die Wahrscheinlichkeit P(m,n teilerfremd) für zwei zufällig gewählte natürliche Zahlen m und n, teilerfremd zu sein, ist ζ(2)^{−1} = \frac{6}{π^{2}} . Beweis :

P(m,n teilerfremd)= lim_{x→∞} \frac{#\{(m,n) ∈ ℕ × ℕ|m,n ≤ x(m,n) = 1}{#\{(m,n) ∈ ℕ × ℕ|m,n ≤ x}

= lim_{x→∞} \frac{1 + 2∑_{n≤x} φ(n)}{[x]^{2}} (Beachte: #\{m > n...\} = #\{m < n...\} = φ(n),#\{m = n...\} = 1)

= lim_{x→∞} \frac{\frac{6}{π^{2}} x^{2}+ O(xlogx) + 1}{[x]^{2}} = \frac{6}{π^{2}}

□

Satz 11.11 (Verifizierung von (7.3)): Die Wahrscheinlichkeit P(n quadratfrei), daß eine zufällig gewählte natürliche Zahl n quadratfrei ist, ist ebenfalls ζ(2)^{−1} . (Dies ist keine unmittelbare Folgerung aus 11.10!) Beweis :

1. n quadratfrei ⇔ μ(n) = ±1 ⇔ μ(n)^{2} = 1, d.h.

P(n quadratfrei) = lim_{x→∞} \frac{#\{n ≤ x|n quadratfrei\}}{#\{n ≤ x\}} = lim_{x→∞} \frac{∑_{n≤x} μ(n)^{2}}{[x]} = Mittel vonμ(n)^{2}.

2. Für n ∈ ℕ ∃! Darstellung n = qm^{2}, q quadratfrei, q = ∏ \begin{matrix}p| n \\ v_{p}(n) ungerade \end{matrix} p.

Dann ist

•

μ(n)^{2} = δ(m) = ∑_{d| m}μ(d),

• und für d ∈ ℕ gilt: d| m ⇔ d^{2}| n.

3. Deshalb gilt:

∑_{n≤x} μ(n)^{2} = ∑_{n≤x} ∑_{d^{2}| n}μ(d) = ∑_{d≤\sqrt{x}} μ(d)\underbrace{[ \frac{x}{d^{2}}]}_{( \frac{x}{d^{2}}−\{ \frac{x}{d^{2}}\})}

= x ∑_{d≤\sqrt{x}} \frac{μ(d)}{d^{2}} + O(\sqrt{x}) = x( ζ(2)^{−1} + O(x^{−1/2} )) + O(\sqrt{x}) = xζ(2)^{−1} + O(\sqrt{x})

4. Abschließend gilt:

P(n quadratfrei) = lim_{x→∞} \frac{ζ(2)^{−1} x + O(\sqrt{x})}{[x]} = ζ(2)^{−1} .

□

Beispiel (Wahrscheinlichkeit für Quadratfreiheit): Von den ersten 10 Zahlen sind 70% quadratfrei, und unter den ersten 100 Zahlen sind 61% quadratfrei. Dieser Wert liegt also schon nahe an ζ(2)^{−1} ≈ 0,607. Satz 11.12 (Summe über ω(n)): Es gilt:

∑_{n≤x} ω(n) = xloglogx + c_{1}x + O( \frac{x}{logx}) .

62 11 MITTLERE ORDNUNGEN ARITHMETISCHER FUNKTIONEN

Beweis : Es ist

∑_{n≤x} ω(n) = ∑_{n≤x} ∑_{p| n}1 = ∑_{\begin{matrix}p≤x \\ p∈ℙ \end{matrix}} [ \frac{x}{p}] = ∑_{p≤x} \frac{x}{p} − ∑_{p≤x} \{ \frac{x}{p}\} = x ∑_{p≤x} \frac{1}{p} + O(π(x)) = x ∑_{p≤x} \frac{1}{p} + O( \frac{x}{logx})

=^{9.7} x( loglogx + c_{1}+ O( \frac{1}{logx}) ) + O( \frac{1}{logx}) = xloglogx + c_{1}x + O( \frac{x}{logx})

□

Satz 11.13 (Summe über Ω(n)): Es gilt:

∑_{n≤x} Ω(n) = xloglogx + c_{2}x + O( \frac{x}{logx}) .

Beweis :

1. Wir definieren

A(x) := ∑_{n≤x} Ω(n) − ω(n) = ∑_{p∈ℙ} ∑_{k≥2} [ \frac{x}{p^{k}}]

und setzen

c_{2} := c_{1}+ ∑_{p∈ℙ} \underbrace{\frac{1}{p(p − 1)}}_{abs. konvergent} .

2. Es gilt:

A(x) ≤ x ∑_{p∈ℙ} ∑_{k≥2} p^{−k} = x ∑_{p∈ℙ} \frac{p^{−2}}{1 − p^{−1}} = x ∑_{p∈ℙ} \frac{1}{p(p − 1)} = x(c_{2}− c_{1})

3. Weiter ist

∑_{2≤k≤[ \frac{logx}{logp}]=:n} \frac{1}{p^{k}} =^{geom. Summe} \frac{1 − p^{1−n}}{p(p − 1)} = \frac{1}{p(p − 1)} + O(p^{−n}),

und wegen

p^{−n} = p^{−[ \frac{logx}{logp}]} = e^{−logp[ \frac{logx}{logp}]}

gilt

O(p^{−n}) = O(e^{−logx}) = O(x^{−1} ).

4. Nun ist

A(x)≥ ∑_{p≤\sqrt{x}} ∑_{2≤k≤ \frac{logx}{logp}} ( \frac{x}{p^{k}} − 1) =^{3.} x ∑_{p≤\sqrt{x}} ( \frac{1}{p(p − 1)} + O(x^{−1} )) + x ∑_{p≤\sqrt{x}} O( \frac{logx}{logp})

= x ∑_{p≤\sqrt{x}} \frac{1}{p(p − 1)} + O(\sqrt{x}) + O(logx\sqrt{x}) = x ∑_{p≤\sqrt{x}} \frac{1}{p(p − 1)} + O(logx\sqrt{x})

= x( ∑_{p∈ℙ} \frac{1}{p(p − 1)} + O(x^{−1/2} )) + O(\sqrt{x}logx) = x(c_{2}− c_{1}) + O(\sqrt{x}) + O(\sqrt{x}logx)

= x(c_{2}− c_{1}) + O(\sqrt{x}logx)

5. Zusammengefasst ergibt sich:

A(x) = (c_{2}− c_{1})x + O(\sqrt{x}logx)

und damit

∑_{n≤x} Ω(n) = ∑_{n≤x} ω(n)+A(x) =^{11.12}xloglogx+c_{1}x+O( \frac{x}{logx}) +A(x) = xloglogx+c_{2}x+O( \frac{x}{logx}) .

□

Es ist c_{1} = γ − c_{0} = 0,26149... und c_{2} = c_{1}+ ∑_{p∈ℙ} \frac{1}{p(p−1)} = 1,03465....

Der Erwartungwert für \{ \begin{matrix}ω(n) \\ Ω(n) \end{matrix} \} für n ∈ ℕ,n ≈ x ∈ ℝ ist also

\frac{d}{dx}( xloglogx + \{ \begin{matrix}c_{1} \\ c_{2} \end{matrix} \} ) = loglogx + \frac{1}{logx}+ \{ \begin{matrix}c_{1} \\ c_{2} \end{matrix} \} .

Für x = 10^{100} ergibt sich: \{ \begin{matrix}5,7050... \\ 6,4781... \end{matrix} \} .

Tabelle 11.14 (Summe über ω(n) und Ω(n), lokale Mittel etc.):

x  100  1000  10000
∑_{n≤x} ω(n)  171  2126  24300
xloglogx + c_{1}x  178,... 2194,... 24818,...
∑_{n≤x} Ω(n) 239 2877 31985
xloglogx + c_{2}x  256,... 2967,... 32549,...
Lokales MIttel vonω(n) 1,952... 2,262... 2,537...
Erwartungwert fürω(n) 2,005... 2,339... 2,590...

Schlußbemerkung 11.15 (Überblick über mittlere Ordnungen): Der Erwartungwert für die arithmetischen Funktionen f(n) auf einem zufällig gewählten n in der Nähe von x ≫ 0 ist gegeben durch:

f(n)  Erwartungwert = mittlere Ordnung vonx  Bewiesen in
τ = σ_{0}  logx + 2γ  11.4
σ = σ_{1}  ζ(2)x  11.5
σ_{k},k ≥ 2  ζ(k + 1)x^{k}  nicht bewiesen, Übung
\frac{σ(n)}{n}  ζ(2)  11.6
φ  ζ(2)^{−1} x  11.8
\frac{φ(n)}{n}  ζ(2)^{−1}  11.9
μ(n)^{2}  ζ(2)^{−1}  11.11
χ_{r}  ζ(r)^{−1}  nicht bewiesen, Übung
ω  loglogx + c_{1}+ \frac{1}{logx}  11.12
Ω  loglogx + c_{2}+ \frac{1}{logx}  11.13

Dabei ist χ_{r} die charakteristische Funktion der Menge {n ∈ ℕ|(m^{r}| n) ⇒ (m = 1)}, d.h. χ_{2} = μ^{2}.

12 Extremale Ordnungen

Definition 12.1 (Maximalordnung): Sei f eine reellwertige arithmetische Funktion, g: ℝ_{≥0} → ℝ_{≥0} monoton wachsend. Dann ist g Maximalordnung von f wenn gilt:

\overline{lim}_{n→∞} \frac{f(n)}{g(n)} = 1.

g ist Minimalordnung von f wenn gilt:

\underline{lim}_{n→∞} \frac{f(n)}{g(n)} = 1.

Satz 12.2 (Grenzwerte über Primzahlpotenzen): Sei f ∈ 𝔄 multiplikativ. Aus

lim_{\begin{matrix}q→∞ \\ q=p^{e},e∈ℕ,p∈ℙ \end{matrix}} f(q) = 0

folgt lim_{n→∞} f(n) = 0.

64 12 EXTREMALE ORDNUNGEN

Beweis : q sei immer eine Primzahlpotenz. Gegeben sei ϵ > 0. Es existiert Q = Q(e) mit q > Q ⇒ |f(q)| ≤ ϵ. Setze

Q_{1} := {q|q ≤ Q,|f(q)| ≤ 1}
Q_{2} := {q|q ≤ Q,|f(q)| > 1}
Q_{3} := {q > Q}

Jedes n ∈ ℕ besitzt eine eindeutige Zerlegung n = n_{1}n_{2}n_{3}, wobei die n_{i} paarweise teilerfremd sind und n_{i} nur exakte Teiler q_{i} mit q_{i} ∈ Q_{i} enthält. Es gilt:

• f(n) = f_{1}(n_{1})f_{2}(n_{2})f_{3}(n_{3})

• |f(n_{1})| < 1

• |f(n_{2})| ≤ A (= Konstante, unabhängig von ϵ)

• |f(n_{3})| ≤ ϵ (oder |f(n_{3})| = 1, falls n_{3} = 1 gilt. Dies kann aber nur für endlich viele n gelten)

⇝ \overline{lim}_{n→∞} |f(n)| ≤ ϵA gilt für alle ϵ mit 0 < ϵ < 1. ⇝ \overline{lim}_{n→∞} |f(n)| = 0

□

Korollar 12.3 (O-Klasse von τ(n)): Für alle ϵ > 0 gilt τ(n) = O_{ϵ}(n^{ϵ}). Dabei bedeutet (O_{ϵ}), daß die implizierte Konstante von ϵ abhängt. Beweis : Setze f(n) := τ(n)n^{−ϵ}. Dann ist f multiplikativ und es gilt:

f(p^{r}) = τ(p^{r})p^{−rϵ} = (r + 1)p^{−rϵ} →_{p^{r}→∞} 0,

d.h. f(q) →_{q→∞} 0, also f(n) →_{n→∞} 0 und τ(p^{r}) = O(p^{rϵ}).

□

Satz 12.4 (Maximalordnung von logτ(n)): Die Funktion logτ(n) hat log2\frac{logn}{loglogn} als Maximalordnung. (Die Minimalordnung von τ(n) ist 2.) Beweis : Sei n gegeben. Für reelle t mit 2 ≤ t ≤ n gilt:

τ(n)= ∏_{p^{i}∥n}(i + 1) ≤ ∏_{\begin{matrix}p^{i}∥n \\ p≤t \end{matrix}}( \underbrace{i}_{≤ \frac{logn}{log2}}+1) ∏_{\begin{matrix}p^{i}∥n \\ p>t \end{matrix}}2^{i} ≤ ( 1 + \frac{logn}{log2}) ^{t} \underbrace{( ∏_{\begin{matrix}p^{i}∥n \\ p>t \end{matrix}}p^{i})}_{≤n=exp(logn)} ^{\frac{log2}{logt}}

≤ exp( t(2 + loglogn) + \frac{log2logn}{logt})

Dabei haben wir verwendet:

1 ≤ ( e^{2}− \frac{1}{log2}) y gilt für genügend große y
⇒ 1 + \frac{y}{log2} ≤ e^{2}y
⇒ log( 1 + \frac{y}{log2}) ≤ 2 + logy
⇒^{y=logn} log( 1 + \frac{logn}{log2}) ≤ 2 + loglogn
⇒ ( 1 + \frac{logn}{log2}) ^{t} ≤ exp(t(2 + loglogn))

Wähle nun t = \frac{logn}{(loglogn)^{3}}. Dann gilt:

12.4.1 τ(n) ≤ exp( \frac{log2logn}{loglogn}( 1 + O( \frac{logloglogn}{loglogn}) ) )

Der Term \frac{logloglogn}{loglogn} geht gegen Null für n gegen unendlich. Deshalb folgt daraus die erste der folgenden zwei Behauptungen, die wir zeigen müssen:

•

∀ ϵ > 0∃ n_{0}(ϵ)∀ n ≥ n_{0} : τ(n) < exp( (1 + ϵ)log2\frac{logn}{loglogn}) .

•

∀ ϵ > 0 : τ(n) > exp( (1 − ϵ)log2\frac{logn}{loglogn}) für unendlich viele n.

Um die zweite Behauptung zu zeigen finden wir natürliche Zahlen n mit “vielen” Teilern. Wähle dafür

n_{k} = ∏ _{j≤k} p_{j}, p_{1}p_{2}p_{3}... = 2,3,5.... Dann gilt: τ(n_{k}) = 2^{k} und logn_{k} = ∑_{p≤p_{k}} logp = ϑ(p_{k}) ≤ klogp_{k} ⇝ logτ(n_{k}) = klog2 ≥ log2\frac{logn_{k}}{logp_{k}}

Erinnerung (10.12): ϑ(x) = ψ(x) + O(\sqrt{x}logx),ψ(x) ≥ [x]log2. Daraus folgt: Für alle a ∈ ℝ mit a < log2 ist ϑ(x) ≥ ax ∀ x ≫^{a} 0. Wende dies an für x = p_{k}. Dann folgt für k ≫ 0:

log(n_{k}) = ϑ(p_{k}) ≥ ap_{k} ⇝ loglogn_{k} ≥ loga + logp_{k}

⇝logτ(n_{k}) ≥ \frac{log2log(n_{k})}{loglogn_{k}( 1 − \frac{loga}{loglogn_{k}})} = \frac{log2logn_{k}}{loglogn_{k}}( 1 + O( \frac{1}{loglogn_{k}}) )
14.4.2  logτ(n_{k}) ≥ \frac{log2logn_{k}}{loglogn_{k}}( 1 + O( \frac{1}{loglogn_{k}}) )

Dies zeigt die zweite Behauptung.

□

Satz 12.5 (Maximalordnung von ω und Ω):

1. Die Maximalordnung von ω(n) ist \frac{logn}{loglogn}.

2. Die Maximalordnung von Ω(n) ist \frac{logn}{log2}.

3. Die Minimalordnung von ω(n) und Ω(n) ist 1. Beweis :

1. Für n = p^{i} ist ω(n) = 1,τ(n) = i + 1,Ω(n) = i. Deshalb und wegen der Multiplikativität der arithmeti-

schen Funktionen gilt:

(∗) 2^{ω(n)} ≤_{(i)} τ(n) ≤_{(ii)} 2^{Ω(n)} ≤_{(iii)} n.

Alle Ungleichungen sind optimal: In (i) und (ii) gilt die Gleichheit, wenn μ(n)^{2} = 1 und in (iii) gilt die Gleichheit, wenn n eine Zweierpotenz ist. Aus (12.4.1) und (∗) ergibt sich:

ω(n) ≤ \frac{logτ(n)}{log2} ≤^{(12.4.1)} \frac{logn}{loglogn}( 1 + O( \frac{logloglogn}{loglogn}) ) .

Dies zeigt die Abschätzung von (1.). Daß diese Abschätzung scharf ist, folgt aus (14.4.2).

2. Wegen (∗) gilt Ω(n) ≤ \frac{logn}{log2}, und diese Schranke wird angenommen für n = 2^{k}.

3. klar.

□

66 INHALTSVERZEICHNIS

Inhaltsverzeichnis

1 Teilbarkeit in ℤ, Primzahlen 1 Grundlegende Definitionen (Definitionen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 ℕ,ℤ,ℂ... (Zahlenbereiche) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Teilbarkeit, prim, zusammengesetzt (Definition) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Primfaktorzerlegung (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 ggT (Definition) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Euklid (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Ideale in ℤ (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Summe von Idealen in ℤ (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Lineare Gleichungen (Korollar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Euklid (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Satz von Euklid (Korollar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Satz von Euklid (Korollar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Satz von Euklid (Korollar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Standardform (Definition) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Eindeutige Primfaktorzerlegung (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Euklid (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Primzahlschranken (Probleme) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Schranke für Primzahlen (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Schranke für Primzahlen (Beispiel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Fermat-Zahlen (Definition) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Teilerfremdheit der Fermat-Zahlen (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Kongruenzrechnung 6 modulo (Definition) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 ℤ/nℤ (Lemma/Definition) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 ℤ/n als Ring. (Lemma) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Einheit (Definition) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Einheiten in ℤ/n (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 ℤ/n (Korollar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 ℤ/nℤ (Beispiele) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Eulersche φ-Funktion (Definition) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Euler-Fermat (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 ℤ/nm (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Schwach multiplikativ (Definition) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 φ und Multiplikativität (Korollar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Formel für φ(n) (Korollar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 φ(n) (Beispiel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Berechnung von a^{b} (mod c) (Algorithmus) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Chinesischer Restsatz (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Chinesischer Restsatz, 2. Variante (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Chinesischer Restsatz (Beispiele) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Primzahlen und Restklassen (Problem) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Dirichlet, hier ohne Beweis (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Primzahlen und Restklassen modulo 4 (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Nullstellen von Polynomen (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Eigenschaft der φ-Funktion (Proposition) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Primitivwurzeln (Satz/Definition) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Diskreter Logarithmus (Definition/Korollar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Kriterium von Euler (Korollar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Quadratisches Symbol (Definition) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Quadratisches Symbol (Korollar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Primzahlen und Restklassen modulo 4 (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3 Das quadratische Reziprozitätsgesetz 12

Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Quadratisches Reziprozitätsgesetz (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 QRG (Beispiel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Minimalreste (Lemma) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Gauß (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 S(p,q) (Definition) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Eigenschaft von S(q,p) (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Jacobi-Symbol (Definition) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Eigenschaften des Jacobi-Symbols (Korollar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4 Primzahltests 16 Carmichael-Zahl (Definition) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Carmichael-Zahl (Bemerkung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Pseudo-Primzahl (Bemerkung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Form der Carmichael-Zahlen (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Eigenschaften abelscher Gruppen (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Carmichael-Zahlen (Beispiel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Carmichael-Zahlen und Primteiler (Proposition) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Anzahl der Carmichael-Zahlen (Bemerkung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Euler-Zeuge (Definition) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 E_{n} (Lemma) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Primalität und E_{n} (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 E_{n} (Korollar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Primzahltest von Solovay und Strassen (1977) (Primzahltest) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Primzahltest von Solovay und Strassen, sowie schnelle Exponentation (Beispiel) . . . . . . . 19 Miller-Rabin-Zeuge (Definition) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Miller-Rabin-Zeugen und Zerlegbarkeit (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Division und Kongruenzen (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Anzahl der Miller-Rabin-Zeugen (Korollar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Satz von Rabin (hier ohne Beweis) (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Primzahltest von Miller-Rabin (Primzahltest) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Satz von Ankeny-Montgomery-Bach (hier ohne Beweis) (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 5 Quadratsummen und das Waring-Problem 22

diophantische Gleichungen (Anmerkung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Produkt von Quadratsummen (Lemma) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Produkt von Quadratsummen mit zwei Zahlen (Bemerkung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Fermat, ≈ 1640 (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Primitiv (Definition) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Summen von Quadraten und Primzahlen kongruent 3 (modulo 4) (Satz) . . . . . . . . . . . . 23 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Genauer p-Teiler (Definition) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Summe zweier Quadrate (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Produkt von Quadratsummen (Lemma) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Produkt von Summen von vier Quadraten (Bemerkung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Summe von Quadraten (Lemma) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Summe von vier Quadraten (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Summe von drei Quadraten (Bemerkung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Summe von drei Quadraten (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Benachbarte Probleme (Ausblick) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Benachbarte Probleme (Bemerkungen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

6 Bernoulli-Zahlen und -Polynome 26 formale Potenzreihe (Erinnerung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Bernoulli-Zahlen (Definition) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Bernoulli-Polynome (Definition) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Bernoulli-Zahlen (Proposition) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 S_{k}(N) (Definition) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Formeln für S_{k}(N) mit 1 ≤ k ≤ 4 (Bemerkung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Explizite Formel für S_{k}(N) (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Die ersten 5 Bernoulli-Polynome (Bemerkung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Abel-Summation (Lemma) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Riemann-Stieltjes-Integral (Erinnerung/Ergänzung aus der Analysis) . . . . . . . . . . . . . . 29 Riemann-Stieltjes-Integral und Summen (Proposition) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Abschätzung für n! (Beispiel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Bernoulli-Funktion (Definition/Proposition) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Summenformel von Euler-MacLaurin (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Summe der harmonischen Reihe (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Abschätzung für n! (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Wallis-Integral (Definition/Lemma) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Geschlossene Formel für das Wallis-Integral (Korollar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Stirling-Formel (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Fehlerterm der Stirling-Formel (Bemerkung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

7 Die Riemannsche Zetafunktion 35

Komplexer Logarithmus, absolute Konvergenz von Produkten, komplexe Exponenten (Erinne-

rung/Ergänzungen zur Analysis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Die Riemannsche Zetafunktion (Definition) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Euler (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Wahrscheinlichkeit für Teilerfremdheit und quadratfreiheit (Probleme) . . . . . . . . . . . . . . 36 Wert der Zeta-funktion an der Stelle 2 (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Bijektion von Quadrat zum Dreieck (Lemma) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Wert der Zeta-Funktion für natürliche Zahlen (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Sinus/logarithmische Ableitung (Erinnerung/Ergänzung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Wert der Zeta-Funktion an den Stellen 2, 4 und 6 (Beispiel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Vorzeichen der Bernoulli-Zahlen (Korollar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Näherungsformel für die Bernoulli-Zahlen (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 zur Zeta-Funktion (Ergänzungen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

8 Die Sätze von Tschebyschew zur Primzahlverteilung 41 Vielfachheiten und Fakultäten (Proposition) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Vielfachheiten und Fakultäten (Beispiel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Teilbarkeit von Binomialkoeffizienten (Korollar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Ungleichungen für Binomialkoeffizienten (Proposition) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Primzahlschranke (Proposition) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Abschätzung des kgV (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Abschätzung der Primzahlfunktion (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Abschätzung der Primzahlfunktion (Korollar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Primzahlschranken von Tschebyschew (Bemerkung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

9 Weitere Sätze über Primzahlen 46 Asymptotische Äquivalenz (Definition) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Satz von Mertens (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Unendliche Summe eines Bruchs (Proposition) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Potenzreihenidentität (Proposition) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Eine Summe über die Primzahlen (Proposition) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Summe über p^{−1} (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Summe über Inverse der Primzahlen (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Produkt über 1 − \frac{1}{p} (Korollar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Formel von Mertens (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

10 Arithmetische Funktionen und Dirichlet-Reihen 51 Arithmetische Funktion (Definition) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Möbius-Funktion (Beispiele/Definitionen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Summe über μ(d) (Proposition) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Möbius-Inversion I (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Möbius-Inversion II (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Möbius-Inversion in abelschen Gruppen (Bemerkung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 primitive Einheitswurzeln (Beispiel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Polynome und Einheitswurzeln (Bemerkung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 formale Dirichlet-Reihen (Definition/Proposition) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Faltung (Definition/Proposition) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 arithmetische Funktionen und Multiplikativität (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Faltung (Beispiel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 von Mangoldt-Funktion (Definition/Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Vermutung von Bertrand (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

11 Mittlere Ordnungen arithmetischer Funktionen 58 Mittlere Ordnung (Definition) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Zu mittleren Ordnungen (Bemerkung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Mittlere Ordnung (Beispiel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Mittlere Ordnung der τ-Funktion (Proposition) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Andere Darstellung von ∑_{n≤x} f ∗ g (Proposition) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Summe über τ(n) (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Mittlere Ordnung von τ(n) (Beispiel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Asymptotik von ∑_{n≤x} σ(n) (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Mittlere Ordnung von σ(n) (Bemerkung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Multiplikativität bei mittleren Ordnungen? (Bemerkung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Mittlere Ordnung von \frac{σ(n)}{n} (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Mittelbar (Definition) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Mittlere Ordnung von φ(n) (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Mittel von \frac{φ(n)}{n} (Korollar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Verifizierung von (7.3) (Korollar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Verifizierung von (7.3) (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Wahrscheinlichkeit für Quadratfreiheit (Beispiel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Summe über ω(n) (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Summe über Ω(n) (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Summe über ω(n) und Ω(n), lokale Mittel etc. (Tabelle) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Überblick über mittlere Ordnungen (Schlußbemerkung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 12 Extremale Ordnungen 63

Maximalordnung (Definition) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Grenzwerte über Primzahlpotenzen (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 O-Klasse von τ(n) (Korollar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Maximalordnung von logτ(n) (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Maximalordnung von ω und Ω (Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 (Beweis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Index

E_{n}

(Korollar), 18 (Lemma), 18

S(p,q)

(Definition), 14

S_{k}(N)

(Definition), 28

Ω(n), 52 μ(n), 52 ω(n), 52 σ_{k}(n), 52

φ und Multiplikativität

(Korollar), 8

φ(n)

(Beispiel), 8 (Ring-)Homomorphismus, 2 Überblick über mittlere Ordnungen

(Schlußbemerkung), 63

Abel-Summation

(Lemma), 29 abelsch, 1 Abschätzung der Primzahlfunktion

(Korollar), 46 (Satz), 44

Abschätzung des kgV

(Satz), 43 absolut konvergiert, 35 Absolutbetrag, 3 additiv, 1, 51 Anzahl der Carmichael-Zahlen

(Bemerkung), 18 Anzahl der Miller-Rabin-Zeugen

(Korollar), 21 Arithmetische Funktion

(Definition), 51 arithmetische Funktionen und Multiplikativität

(Satz), 54 Asymptotische Äquivalenz

(Definition), 46 asymptotische Äquivalenz, 46

Benachbarte Probleme (Ausblick), 26 (Bemerkungen), 26

Bernoulli-Funktion, 31 Bernoulli-Funktion

(Definition/Proposition), 31 Bernoulli-Polynome

(Definition), 27 Bernoulli-Zahlen

(Definition), 27 (Proposition), 28

Bijektion von Quadrat zum Dreieck (Lemma), 37 Carmichael-Zahl

(Bemerkung), 17 (Definition), 17

Carmichael-Zahlen

(Beispiel), 17 Carmichael-Zahlen und Primteiler

(Proposition), 18 Chinesischer Restsatz

(Beispiele), 9 (Satz), 9

Chinesischer Restsatz, 2. Variante (Satz), 9

Die ersten 5 Bernoulli-Polynome

(Bemerkung), 29 Die Riemannsche Zetafunktion

(Definition), 36 diophantische Gleichungen, 22 diophantische Gleichungen

(Anmerkung), 22 Dirichlet, hier ohne Beweis

(Satz), 9 diskreten Logarithmus, 11 Diskreter Logarithmus

(Definition/Korollar), 11 Division und Kongruenzen

(Satz), 19

Eigenschaft der φ-Funktion

(Proposition), 10 Eigenschaft von S(q,p)

(Satz), 14 Eigenschaften abelscher Gruppen

(Satz), 17 Eigenschaften des Jacobi-Symbols

(Korollar), 15 Eindeutige Primfaktorzerlegung

(Satz), 5 Eine Summe über die Primzahlen

(Proposition), 48 Einheit, 6 Einheit

(Definition), 6 Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitäts-

gesetz (Satz), 12

Euklid

(Satz), 3–5 Euler

(Satz), 36 Euler-Fermat

(Satz), 7 Euler-Konstante, 32 Euler-Zeuge, 18 Euler-Zeuge

(Definition), 18 Eulersche φ-Funktion, 6 Eulersche φ-Funktion

(Definition), 6 Explizite Formel für S_{k}(N)

(Satz), 29 Exponent, 17

Faltung, 54 Faltung

(Beispiel), 55

(Definition/Proposition), 54 Fehlerterm der Stirling-Formel

(Bemerkung), 35 Fermat, ≈ 1640

(Satz), 22 Fermat-Test, 16 Fermat-Zahlen

(Definition), 5 Form der Carmichael-Zahlen

(Satz), 17 formale Dirichlet-Reihe, 54 formale Dirichlet-Reihen

(Definition/Proposition), 54 formale Potenzreihe, 27 formale Potenzreihe

(Erinnerung), 27 Formel für φ(n)

(Korollar), 8 Formel von Mertens

(Satz), 49 Formeln für S_{k}(N) mit 1 ≤ k ≤ 4

(Bemerkung), 29

Gamma-Funktion, 40 genaue p-Teiler von n, 23 Genauer p-Teiler

(Definition), 23 Generalized Riemann Hypothesis, 21 Geschlossene Formel für das Wallis-Integral

(Korollar), 34 ggT

(Definition), 3 Grenzwerte über Primzahlpotenzen

(Satz), 63 GRH, 21 Grundlegende Definitionen

(Definitionen), 1 Gruppe, 1

Hauptideal, 2 Homomorphismus, 2

Ideal, 2 imprimitiv, 23 Inverse, 1

Jacobi-Symbol, 15 Jacobi-Symbol

(Definition), 15

Körper, 2

kommutativ, 1, 2

komplexe Logarithmusfunktion, 35

Komplexer Logarithmus, absolute Konvergenz von Produkten, komplexe Exponenten (Erinnerung/Ergänzungen zur Analysis), 35

koprim, 3

Kriterium von Euler (Korollar), 11 kritischen Achse, 41 kritischen Streifen, 41

Legendre-Symbol, 11 Lineare Gleichungen (Korollar), 4

logarithmische Ableitung, 39

Möbius-Funktion

(Beispiele/Definitionen), 52 Möbius-Inversion I (Satz), 52 Möbius-Inversion II (Satz), 53

Möbius-Inversion in abelschen Gruppen

(Bemerkung), 53 Maximalordnung, 63 Maximalordnung

(Definition), 63 Maximalordnung von ω und Ω

(Satz), 65 Maximalordnung von logτ(n)

(Satz), 64 Miller-Rabin-Zeuge, 19 Miller-Rabin-Zeuge

(Definition), 19 Miller-Rabin-Zeugen und Zerlegbarkeit

(Satz), 19 Minimalordnung, 63 Minimalrest, 13 Minimalreste

(Lemma), 13 Mittel von \frac{φ(n)}{n}

(Korollar), 60 Mittelbar

(Definition), 60 mittelbar, 60 Mittlere Ordnung

(Beispiel), 58 (Definition), 58

Mittlere Ordnung der τ-Funktion

(Proposition), 58 Mittlere Ordnung von \frac{σ(n)}{n} (Satz), 60

Mittlere Ordnung von σ(n) (Bemerkung), 59 Mittlere Ordnung von τ(n)

(Beispiel), 59 Mittlere Ordnung von φ(n)

(Satz), 60 modulo

(Definition), 6 multiplikativ, 51 Multiplikativität bei mittleren Ordnungen?

(Bemerkung), 59

Näherungsformel für die Bernoulli-Zahlen

(Satz), 39 Nullstellen von Polynomen

(Satz), 10

O-Klasse von τ(n)

(Korollar), 64

Polynome und Einheitswurzeln

(Bemerkung), 54 Potenzreihenidentität

(Proposition), 48 Primalität und E_{n}

(Satz), 18 Primfaktorzerlegung

(Satz), 3 Primitiv

(Definition), 23 primitiv, 23 primitive Einheitswurzeln

(Beispiel), 53 Primitivwurzeln, 10 Primitivwurzeln

(Satz/Definition), 10 Primzahl, 3 Primzahlen und Restklassen

(Problem), 9 Primzahlen und Restklassen modulo 4

(Satz), 9, 12 Primzahlsatz, 40 Primzahlschranke

(Proposition), 42 Primzahlschranken

(Probleme), 5 Primzahlschranken von Tschebyschew

(Bemerkung), 46 Primzahltest von Miller-Rabin

(Primzahltest), 21 Primzahltest von Solovay und Strassen (1977)

(Primzahltest), 19 Primzahltest von Solovay und Strassen, sowie schnel-

le Exponentation (Beispiel), 19

Produkt über 1 − \frac{1}{p}

(Korollar), 49 Produkt von Quadratsummen

(Lemma), 22, 24 Produkt von Quadratsummen mit zwei Zahlen

(Bemerkung), 22 Produkt von Summen von vier Quadraten

(Bemerkung), 24 Pseudo-Primzahl

(Bemerkung), 17 pseudo-Primzahl, 17

QRG, 13 QRG

(Beispiel), 13 quadratische Reziprozitätsgesetz, 13 Quadratisches Reziprozitätsgesetz

(Satz), 13 Quadratisches Symbol, 11 Quadratisches Symbol

(Definition), 11 (Korollar), 11

relativ prim, 3 Riemann-Stieltjes-Integral

(Erinnerung/Ergänzung aus der Analysis), 29 Riemann-Stieltjes-Integral und Summen

(Proposition), 31 Riemannsche Vermutung, 41 Ring, 1

Satz von Ankeny-Montgomery-Bach (hier ohne Be-

weis) (Satz), 21

Satz von Euklid

(Korollar), 4 Satz von Mertens

(Satz), 47 Satz von Rabin (hier ohne Beweis)

(Satz), 21 Schiefkörper, 24 Schranke für Primzahlen

(Beispiel), 5 (Satz), 5

schwach additiv, 51 Schwach multiplikativ

(Definition), 8 schwach multiplikativ, 8, 51 Sinus, 38 Sinus/logarithmische Ableitung

(Erinnerung/Ergänzung), 38 Standardform, 4 Standardform

(Definition), 4 Stirling-Formel

(Satz), 34 Summe über μ(d)

(Proposition), 52 Summe über Ω(n)

(Satz), 62 Summe über ω(n)

(Satz), 61 Summe über ω(n) und Ω(n), lokale Mittel etc.

(Tabelle), 63 Summe über τ(n)

(Satz), 59 Summe über p^{−1}

(Satz), 48 Summe über Inverse der Primzahlen

(Satz), 48 Summe der harmonischen Reihe

(Satz), 32 Summe von drei Quadraten

(Bemerkung), 25

(Satz), 25 Summe von Quadraten

(Lemma), 24 Summe von vier Quadraten

(Satz), 24 Summe zweier Quadrate

(Satz), 23 Summen von Quadraten und Primzahlen kongru-

ent 3 (modulo 4) (Satz), 23

Summenformel von Euler-MacLaurin (Satz), 32

Teilbarkeit von Binomialkoeffizienten

(Korollar), 42 Teilbarkeit, prim, zusammengesetzt

(Definition), 3 teilerfremd, 3 Teilerfremdheit der Fermat-Zahlen

(Satz), 5

Unendliche Summe eines Bruchs

(Proposition), 47 Ungleichungen für Binomialkoeffizienten

(Proposition), 42 Untergruppe, 2 Unterring, 2

Verifizierung von (7.3)

(Korollar), 61 (Satz), 61

Vermutung von Bertrand

(Satz), 56 Vielfachheiten und Fakultäten

(Beispiel), 41 (Proposition), 41

vollständig additiv, 51 vollständig multiplikativ, 51 von Mangoldt-Funktion, 55 von Mangoldt-Funktion

(Definition/Satz), 55 Vorzeichen der Bernoulli-Zahlen

(Korollar), 39

Wahrscheinlichkeit für Quadratfreiheit

(Beispiel), 61 Wahrscheinlichkeit für Teilerfremdheit und quadrat-

freiheit

(Probleme), 36 Wallis-Integral

(Definition/Lemma), 34 Waring-Problem, 22, 26 Wert der Zeta-Funktion an den Stellen 2, 4 und 6

(Beispiel), 39 Wert der Zeta-funktion an der Stelle 2

(Satz), 37 Wert der Zeta-Funktion für natürliche Zahlen

(Satz), 38

Zu mittleren Ordnungen (Bemerkung), 58

zur Zeta-Funktion

(Ergänzungen), 40 zusammengesetzt, 3