Universität des Saarlandes FR 6.1 Mathematik Prof. Dr. E.-U. Gekeler �

Klausur zur Elementaren Zahlentheorie, SS 2003 25.07.2003

Hinweise zur Klausur:

a) Die Klausur dauert von 11^{15} − 13^{15}.

b) Es können maximal 60 Punkte erreicht werden. Sie sollten mindestens 20 Punkte erreichen.

c) Auf dieses Deckblatt schreiben Sie bitte leserlich (am besten in Druckbuchstaben) Ihren Namen, Ihren Vornamen, Ihr Geburtsdatum und Ihre Matrikelnummer. Unterschreiben Sie hier Ihre Klausur, und geben Sie dieses Blatt mit Ihrer Klausur ab !

d) Legen Sie Ihren Studierendenausweis und den Personalausweis griffbreit zur Kontrolle auf Ihre Bank.

e) Versehen Sie jedes Blatt , das Sie abgeben, mit Ihrem Namen.

f) Verwenden Sie für jede Aufgabe ein neues Blatt.

g) Kreuzen Sie in der Tabelle jede von Ihnen bearbeitete Aufgabe an.

h) Versehen Sie auch ihre Schmierblätter mit Namen und geben Sie sie ab.

i) In den letzten 15 Minuten der Klausur darf nicht mehr abgegeben werden.

Name : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vorname : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Geb. Datum : . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matr.Nr : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Unterschrift : . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Aufgabe  1 2 3 4 5 6 Summe Note

bearbeitet Punkte

Universität des Saarlandes FR 6.1 Mathematik Prof. Dr. E.-U. Gekeler �

Klausur zur Elementaren Zahlentheorie, SS 2003 25.07.2003

Aufgabe 1:(10 Punkte)

a) (3 Pkt.) Berechnen Sie 3^{1000} mod 7.

b) (4 Pkt.) Geben Sie das multiplikative Inverse von ¯6 in ℤ/91ℤ an.

c) (3 Pkt.) Geben Sie alle ganzzahligen Lösungen der Gleichung x^{2} − 11 = 0 mod 77

an. Aufgabe 2:(10 Punkte)

a) (6 Pkt.) Zeigen Sie, daß jede natürliche Zahl n Teiler einer natürlichen Zahl der Form 2^{a}(2^{b} − 1) mit passend gewählten a, b ∈ ℕ_{0}, b ≠ 0 ist.

b) (4 Pkt.) Geben Sie passende a, b für n = 36 und n = 200 an. Aufgabe 3:(10 Punkte)

a) (4 Pkt.) Berechnen Sie das quadratische Symbol (\frac{37}{113}).

b) (6 Pkt.) Für welche Primzahlen p mit 110 ≤ p ≤ 130 hat das Polynom f(x) =

x^{2} + 7x + 3 zwei verschiedene Nullstellen modulo p? Aufgabe 4:(10 Punkte) Sei l die Länge der Dezimalentwicklung der Zahl (1000!). Welcher der folgenden Werte liegt am nächsten an l: 500, 1000, 1500, 2000, 2500, 3000, 3500, 4000, 4500, 5000, 5500, 6000, 6500, 7000 ? (Verwenden Sie log(10) ≈ 2, 3.) Aufgabe 5:(10 Punkte)

a) (4 Pkt.) Gegen welchen Wert konvergiert die Reihe ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{8}} ?

b) (6 Pkt.) Berechnen Sie ∑_{k=20}^{39} k^{3} . Aufgabe 6:(10 Punkte)

a) (4 Pkt.) Zeigen Sie, daß für x ∈ ℝ_{>1}

∑_{n≤x} μ(n) [\frac{x}{n}] = 1

gilt.

b) (6 Pkt.) Zeigen Sie: Ist die Funktion f : ℕ → ℂ schwach multiplikativ, so auch g : ℕ → ℂ, g(n) = ∑_{d|n} f(d).