Universität des Saarlandes FR 6.1, Mathematik Prof. Dr. E.-U. Gekeler Dipl.-Math. M. Gebhardt �

1. Übung zur elementaren Zahlentheorie, SS 2003

Aufgabe 1:(10 Punkte) Sei m ∈ ℕ. Zeigen Sie: Für alle j ∈ ℤ ist durch

φ : ℤ/mℤ ⟶ ℤ/mℤ
\overline{a} ↦ \overline{aj}

ein Homomorphismus gegeben. Es gilt

φ surjektiv ⇔ φ injektiv ⇔ ggT (m, j) = 1 .

Aufgabe 2:(10 Punkte)

a) Zeigen Sie die “3-er Regel“, also daß für eine beliebige ganze Zahl

a := + − ∑_{i=0}^{s} a_{i} · 10^{i}, a_{i}, s ∈ ℕ_{0}, a_{i} ≤ 9,

gilt: 3|a genau dann, wenn 3| ∑_{i=0}^{s} a_{i}.

b) Für die Teilbarkeit durch 7 ergibt sich die Regel:

7|(b_{0} + 100 · b_{1} + … + 100^{n} · b_{n}) genau dann, wenn 7|(b_{0} + 2 · b_{1} + … + 2^{n} · b_{n}),

wobei die b_{i} ∈ ℕ_{0} kleiner 100 sind.

Aufgabe 3:(10 Punkte)

a) Berechnen Sie das (multiplikativ) Inverse zu \overline{41} in ℤ/94ℤ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus.

b) Bestimmen Sie alle (multiplikativ) invertierbaren Elemente in ℤ/48ℤ.

c) Zeigen Sie: 36 teilt 1349^{445} + 67^{843}.

Aufgabe 4:(10 Punkte)

a) Kürzen Sie (ohne Verwendung eines Computers) den Bruch

\frac{91374}{184203}

vollständig. (Hinweis: Es ist nicht zu erwarten, daß Sie die vollständige Faktorisierung von Zähler oder Nenner finden.)

b) Zeigen Sie, daß \sqrt{p} keine rationale Zahl ist für alle Primzahlen p.

Abgabe am 09. Mai 2003 vor der Vorlesung