Universität des Saarlandes FR 6.1, Mathematik Prof. Dr. E.-U. Gekeler Dipl.-Math. M. Gebhardt �

3. Übung zur elementaren Zahlentheorie, SS 2003

Aufgabe 1:(12 Punkte)

a) Zeigen Sie: Die Gleichung x^{2} ≡ 137 629 mod 163 841 ist lösbar.

b) Zeigen Sie: Die Gleichung x^{2} ≡ 15 mod 163 841 ist nicht lösbar.

c) Ist die Gleichung x^{2} + 5x + 1 ≡ 0 mod 127 lösbar?

d) Berechnen Sie (\frac{3}{35}) und zeigen Sie, daß 3 kein Quadrat modulo 35 ist. (Bemerkung: 163 841 ist die 15 000-te Primzahl.) Aufgabe 2:(8 Punkte)

a) Zeigen Sie, daß das Polynom x^{4} − 117x^{3} + 9x^{2} + 27x − 12 ∈ ℤ[x] keine ganzzahlige Nullstelle hat.

b) Zeigen Sie, daß für alle n, m ∈ ℕ − {1} gilt

φ(n) · φ(m) = φ(ggT (n, m)) · φ(kgV(n, m)) .

Dabei bezeichnet φ(n) := #{k ∈ ℕ | 0 < k < n, ggT (k, n) = 1}. Aufgabe 3:(10 Punkte)

a) Zeigen Sie: Es existieren unendlich viele Primzahlen p ∈ ℙ mit p ≡ 2 mod 3.

b) Inwiefern läßt sich der Beweis verallgemeinern? Aufgabe 4:(10 Punkte) Sei 1 < n ∈ ℕ mit ggT (n, 2) = 1. Zeigen Sie die beiden Ergänzungssätze für das Jacobisymbol

(\frac{2}{n}) = (−1)^{\frac{n^{2}−1}{8}}  ,  (\frac{−1}{n}) = (−1)^{\frac{n−1}{2}} .

Abgabe am 23. Mai 2003 vor der Vorlesung