Universität des Saarlandes FR 6.1, Mathematik Prof. Dr. E.-U. Gekeler Dipl.-Math. M. Gebhardt �

4. Übung zur elementaren Zahlentheorie, SS 2003

Aufgabe 1:(10 Punkte) Die 5-te Fermat-Zahl ist F_{5} := 2^{2^{5}} + 1 = 4 294 967 297 = 641 · 6700417. Sind a = 2 bzw. a = 3 Euler-Zeugen für F_{5}?

Aufgabe 2:(12 Punkte) Betrachten Sie die Zahl n = 2821. Führt man für die ersten 15 Primzahlen a den Solovey-Strassen-Primtest durch, so erhält man folgende Tabelle:

a a^{\frac{n−1}{2}} mod n \binom{a}{n} a a^{\frac{n−1}{2}} mod n \binom{a}{n} a a^{\frac{n−1}{2}} mod n \binom{a}{n}
2  1520  −1 13  2171  0  31  155  0
3  1  1  17  1  1  37  1520  1
5  1520  1  19  1520  1  41  1520  1
7  714  0  23  1  −1 43  1  −1
11  1520  1  29  1  −1 47  1520  1

a) Zeigen Sie, daß n eine Carmichael-Zahl ist.

b) Setzen Sie die Tabelle fort für alle a aus ℕ mit 48 ≤ a ≤ 55.

c) Erklären Sie, warum in der obigen Tabelle für a^{\frac{n−1}{2}} mod n nur 5 verschiedene Werte auftreten. Wieso tritt insbesondere die Zahl 1520 so oft auf ?

Aufgabe 3:(8 Punkte) Schreiben Sie die Zahl 2665 auf vier verschiedene Weisen als Summe von zwei Quadraten. (D.h. finden Sie vier paarweise verschiedene Mengen {a_{i}, b_{i}} ⊂ ℕ_{0} mit 2665 = a_{i}^{2} + b_{i}^{2}.)

Aufgabe 4:(10 Punkte) Sei (G, ·) eine endliche abelsche Gruppe. Dann heißt

e(G) := kgV{ord_{G}(x) | x ∈ G} = min{n ∈ ℕ | x^{n} = 1, ∀x ∈ G}

der Exponent von G. Zeigen Sie:

a) Ist G zyklisch der Ordnung n, so gilt e(G) = n.

b) Ist H Untergruppe von G, so gilt e(H)|e(G) und e(G/H)|e(G).

c) Ist p ∈ ℙ und p|#G, so gilt p|e(G).

d) Die Primteiler von #G und e(G) sind gleich.

e) e(G_{1} × G_{2}) = kgV(e(G_{1}), e(G_{2}))

Hinweis: In den Aufgaben 1 und 2 können auftretende Additionen und Multiplikationen mit dem Taschenrechner durchgeführt werden. Da in der Klausur keine Taschenrechner erlaubt sein werden, sollten die Übungen nur dann mit Hilfe eines Taschenrechners bearbeitet werden, wenn dies explizit erwähnt wird.

Abgabe am 30. Mai 2003 vor der Vorlesung