Universität des Saarlandes FR 6.1, Mathematik Prof. Dr. E.-U. Gekeler Dipl.-Math. M. Gebhardt �

5. Übung zur elementaren Zahlentheorie, SS 2003

Aufgabe 1:(10 Punkte)

a) Ist 2 ein Miller-Rabin-Zeuge für die Zerlegbarkeit von 85 ?

b) Ist 13 ein Miller-Rabin-Zeuge für die Zerlegbarkeit von 85 ?

c) Zeigen Sie, daß für alle ungeraden n ∈ ℕ−{1} die Zahl n−1 kein Miller-Rabin-Zeuge für die Zerlegbarkeit von n ist.

Aufgabe 2:(10 Punkte)

a) Zeigen Sie, daß für n = 3372149

{(x, y) ∈ ℤ^{2} | x^{4} + y^{4} = n} = ∅ gilt. Geben Sie (mit Begründung) ein n > 10^{11} an, für das die obige Menge ebenfalls leer ist.

b) Finden Sie eine ganzzahlige Lösung der Gleichung x^{2} + 2xy + 2y^{2} = 3445 .

Aufgabe 3:(20 Punkte) Unter Quaternionen versteht man Ausdrücke der Form x = x_{0} + i · x_{1} + j · x_{2} + k · x_{3}, wobei x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3} ∈ ℝ sind. Die Menge aller Quaternionen wird mit ℍ bezeichnet. Man kann Quaternionen komponentenweise addieren und mit Elementen aus ℝ multiplizieren. Daher ist ℍ ein vierdimensionaler ℝ-Vektorraum. Unter Verwendung der üblichen Rechenregeln kann man zwei Quaternionen multiplizieren, wobei

r · a = a · r ∀r ∈ ℝ, a ∈ {i, j, k}

und

i^{2} = j^{2} = −1, ij = −ji = k

gelten soll. Zu einem x ∈ ℍ heißt x̄ := x_{0} − i · x_{1} − j · x_{2} − k · x_{3} das konjugierte Element und N(x) := x\overline{x} die Norm von x. Weiter wird ℝ mit ℝ · 1 ⊂ ℍ identifiziert.

a) Zeigen Sie, daß (ℍ, +, ·) ein Ring mit Eins ist.

(Bemerkung: Verwenden Sie die ℝ-lineare Abbildung

ϕ : ℍ → Mat(2, ℂ), 1 ↦ ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) , i ↦ ( \begin{matrix}i & 0 \\ 0 & −i \end{matrix} ) , j ↦ ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ) , k ↦ ( \begin{matrix}0 & i \\ i & 0 \end{matrix} )

)

b) Zeigen Sie, daß die Multiplikation in ℍ nicht kommutativ ist.

c) Zeigen Sie: Zent(ℍ) := {y ∈ ℍ | yx = xy ∀x ∈ ℍ} = ℝ.

d) Zeigen Sie: \overline{xy} = \overline{y} · \overline{x}.

e) Berechnen Sie N(x).

f) Zeigen Sie, daß N(xy) = N(x) · N(y) gilt und daß aus dieser Gleichheit die Regeln aus Satz (5.7) folgen.

g) Zeigen Sie, daß alle Elemente aus ℍ − {0} multiplikativ invertierbar sind .

h) Schreiben Sie 817 als Summe von 4 Quadraten.

Abgabe am 06. Juni 2003 vor der Vorlesung