Universität des Saarlandes FR 6.1, Mathematik Prof. Dr. E.-U. Gekeler Dipl.-Math. M. Gebhardt �

6. Übung zur elementaren Zahlentheorie, SS 2003

Aufgabe 1:(8 Punkte)

a) Zeigen Sie, daß in ℂ[[X]] die Identität ∑_{i=0}^{∞} X^{n} = \frac{1}{1−X} gilt.

b) Sei a ∈ ℂ − \{0\}. Wie lautet die Taylorentwicklung im Punkt 0 von \frac{1}{X+a} ∈ ℚ(X)?

c) Wie lautet die Taylorentwicklung im Punkt 0 von \frac{1}{X^{2}−3X+2} ∈ ℚ(X)?

Aufgabe 2:(7 Punkte) Sei ∑_{n=0}^{∞} b_{n}X^{n} ∈ ℚ[[X]] die multiplikativ inverse Potenzreihe zu ∑_{n=0}^{∞}(n^{2} + 2)X^{n} ∈ ℚ[[X]]. Berechnen Sie b_{0}, b_{1}, …, b_{4}.

Aufgabe 3:(7 Punkte) Bestimmen Sie das multiplikativ Inverse der formalen Potenzreihe f(X) := ∑_{n=0}^{∞} \frac{2^{n}}{n!} X^{n}.

Aufgabe 4:(8 Punkte) Finden Sie einen rationale Ausdruch \frac{f(X)}{g(X)} ∈ ℚ(X), dessen Taylorentwicklung im Punkt 0 gerade ∑_{n=0}^{∞} nX^{n} ist.

Aufgabe 5:(10 Punkte) Sei N ∈ ℕ, B_{k} die k-te Bernoulli-Zahl und B_{k}(X) das k-te Bernoulli-Polynom. Zeigen Sie:

a) B_{k}(X) = (−1)^{k}B_{k}(1 − X),

b) N^{k−1} ∑_{i=0}^{N−1} B_{k}(X + \frac{i}{N}) = B_{k}(NX),

c) B_{k}(\frac{1}{2}) = −(1 − 2^{1−k})B_{k},

d) B_{2k}(\frac{1}{3}) = −\frac{1}{2}(1 − 3^{1−2k})B_{2k}.

(Bemerkung: Häufig wird ,,Bestimmen Sie die Taylorentwicklung im Punkt 0 von XXX.” durch ,,Bestimmen Sie die formale Potenzreihe zu XXX.” abgekürzt.)

Abgabe am 13. Juni 2003 vor der Vorlesung