Universität des Saarlandes FR 6.1, Mathematik Prof. Dr. E.-U. Gekeler Dipl.-Math. M. Gebhardt �

7. Übung zur elementaren Zahlentheorie, SS 2003

Aufgabe 1:(10 Punkte) Die Fibonacci-Zahlen F_{n} sind definiert durch

F_{0} = 0 , F_{1} = 1, F_{n+1} = F_{n} + F_{n−1} .

Finden Sie einen rationalen Ausdruck \frac{f(X)}{g(X)} ∈ ℚ(X), dessen Potenzreihe gerade ∑_{n=0}^{∞} F_{n}X^{n} ist.

Aufgabe 2:(10 Punkte) Finden Sie alle f(X) ∈ ℂ[[X]], die die Differentialgleichung f′(X) = 2Xf(X) erfüllen.

Aufgabe 3:(10 Punkte) Betrachten Sie die Funktion

g : ℝ → ℝ, x ↦ \{ \begin{matrix}1 , & x ≤ 1 \\ ln(x) , & 1 < x < 2 \\ 2 , & 2 < x \end{matrix} .

Berechnen Sie die folgenden Riemann-Stieltjes Integrale:

a) ∫_{−2}^{3} x^{2}d|x|,

b) ∫_{1}^{2} x^{2}d(ln(x)),

c) ∫_{0}^{2} x^{2}d(x + g(x)).

Aufgabe 4:(10 Punkte) Berechnen Sie die Funktion

F : ℝ_{>0} → ℝ, x ↦ ∫_{0}^{x} t d[t] .

Ist F stetig? Geben Sie F (3.9), F (4) und F (4.1) an.

Hinweise:

a) Zu den Ergänzungen zum Riemann-Stieltjes-Integral: Der Punkt (5) ist zu lesen als: Ist f stetig und α eine Treppenfunktion mit Sprungstellenmenge S ⊂ ℝ. Seien a, b ∉ S und S ∩ (a, b) = {x_{1}, …, x_{n}} endlich. Dann gilt

∫_{a}^{b} f(x)dα(x) = ∑_{1≤i≤n} f(x_{i})[α(x_{i}+) − α(x_{i}−)].

b) Sie dürfen verwenden, daß alle auf diesem Blatt auftretenden Funktionen beschränkte Variation haben.

Abgabe am 20. Juni 2003 vor der Vorlesung