Universität des Saarlandes FR 6.1, Mathematik Prof. Dr. E.-U. Gekeler Dipl.-Math. M. Gebhardt �

8. Übung zur elementaren Zahlentheorie, SS 2003

Aufgabe 1:(15 Punkte) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, daß eine ganze Zahl nicht durch die ersten n-Primzahlen teilbar ist? D.h., zeigen Sie, daß der folgende Grenzwert existiert und berechnen Sie seinen Wert:

lim_{x→∞} \frac{#\{1 ≤ m ≤ x | ggT (m, p_{k}) = 1 ∀1 ≤ k ≤ n\}}{#\{1 ≤ m ≤ x\}} .

Hierbei bezeichnen p_{1}, …, p_{n} die ersten n Primzahlen. Geben Sie die Wahrscheinlichkeit für n = 1, 2, 3, 4, 5 an.

Aufgabe 2:(15 Punkte) Zeigen Sie, daß für die Fibonacci-Zahlen

F_{n} = \frac{1}{\sqrt{5}} (\frac{1}{ω_{1}^{n}} − \frac{1}{ω_{2}^{n}} )

gilt mit ω_{1} = \frac{−1+\sqrt{5}}{2} und ω_{2} = \frac{−1−\sqrt{5}}{2}. Geben Sie (unter Verwendung eines Taschenrechners) eine Vermutung ab, für welche n ∈ ℕ die Dezimalentwicklung von F_{n} 100 Stellen hat. (Hinweis: Übung 6, Aufgabe 1)

Aufgabe 3:(10 Punkte) (Wiederholung/Ergänzung) Beweisen Sie die folgenden Aussagen:

a) Seien p und q Primzahlen größer als 3. Dann ist

p^{2} − q^{2} ≡ 0 (mod24) .

b) Es seien a und b teilerfremde ganze Zahlen. Dann ist

ggT(a + b, a^{2} + b^{2}) ∈ {1, 2} .

c) Es seien n eine natürliche Zahl, und T_{n} := {d ∈ N | d teilt n}. Zeigen Sie:

( ∏_{d∈T_{n}} d)^{2} = n^{#T_{n}} .

Abgabe am 27. Juni 2003 vor der Vorlesung