Universität des Saarlandes FR 6.1, Mathematik Prof. Dr. E.-U. Gekeler Dipl.-Math. M. Gebhardt �

10. Übung zur elementaren Zahlentheorie, SS 2003

Aufgabe 1:(10 Punkte) Beweisen Sie (mit Hilfe eines Taschenrechners), daß über 1 Prozent aller 40 stelligen natürlichen Zahlen Primzahlen sind. Aufgabe 2:(10 Punkte) Zeigen Sie, daß unter der Annahme π(x) ∼ \frac{x}{ln(x)} für die Größe der n-ten Primzahl p_{n} ∼ n ln(n) gilt. Aufgabe 3:(10 Punkte) Sei c ∈ ℝ und f, g : [c, ∞) → ℝ_{≥0} Funktionen mit

• g(x) > 0 ∀x ∈ [c, ∞),

• für alle x ∈ [c, ∞) existieren ∫_{c}^{x} f(t)dt und ∫_{c}^{x} g(t)dt,

• lim_{x→∞} ∫_{c}^{x} g(t)dt = ∞. Dann gilt:

a) f = o(g) ⇒ ∫_{c}^{x} f(t)dt = o(∫_{c}^{x} g(t)dt),

b) f ∼ g ⇒ ∫_{c}^{x} f(t)dt ∼ ∫_{c}^{x} g(t)dt Aufgabe 4:(10 Punkte) Sei α aus dem Intervall (−1, ∞). Zeigen Sie, daß aus π(x) ∼ \frac{x}{ln(x)}

∑_{p≤x, p prim} p^{α} ∼ \frac{1}{1 + α} \frac{x^{1+α}}{ln(x)}

folgt. (Hinweis: Schreiben Sie die Summe als ein Riemann-Stieltjes-Integral, zeigen Sie ∫_{2}^{x} \frac{t^{α}}{ln(t)}dt ∼ \frac{1}{1+α} \frac{x^{1+α}}{ln(x)} , und verwenden Sie dies zum Beweis der Aussage.)

Abgabe am 11. Juli 2003 vor der Vorlesung