Universität des Saarlandes FR 6.1, Mathematik Dr. Johannes Lengler �

Klausur zu ”Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie“, Wintersemester 2009/10

Aufgabe 1 (2+1+1+1=5 Punkte) Seien

A = ( \begin{matrix}2 & 1 & −2 & 5 \\ 0 & 2 & −1 & 7 \\ 0 & −2 & 0 & 1 \\ 0 & 6 & 0 & 1 \end{matrix} ) und B = ( \begin{matrix}−1 & 5 & 2 & 1 \\ −6 & 3 & 2 & 1 \\ 3 & 7 & 4 & 2 \\ −4 & 0 & 2 & 1 \end{matrix} ) .

Berechnen Sie det(A), det(B), det(A^{−1}) und det(A · B). Hinweis: Betrachten Sie die letzten beiden Spalten von B.

Aufgabe 2 (3+2=5 Punkte) Berechnen Sie das Inverse der Matrix

A = ( \begin{matrix}−1 & 1 & −2 \\ 1 & −2 & 4 \\ −2 & 0 & 1 \end{matrix} )

und lösen Sie damit das Gleichungssystem Ax = b für die Vektoren

(i) b = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , (ii) b = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , (iii) b = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) , (iv) b = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} )

Aufgabe 3 (1+2+2=5 Punkte)

(a) Berechnen Sie \frac{(−2+8i)·(i+2)^{2}}{2i−6} .

(b) Geben Sie alle komplexen Zahlen z an mit z^{2} = −i.

(c) Schreiben Sie z = 1 − i in Polarkoordinaten und entscheiden Sie mit Begründung, ob z^{24} reell ist. (Sie brauchen z^{24} nicht zu berechnen!)

Aufgabe 4 (1+1+1+1+1=5 Punkte) Seien A ∈ eine reelle 4 × 4-Matrix mit charakteristischem Polynom p_{A}(λ) = λ · (λ − 1) · (λ − 2)^{2}. Sei außerdem B eine beliebige 4 × 4-Matrix mit reellen Einträgen. Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche sind falsch, und welche sind mit den angegebenen Informationen nicht entscheidbar?

(a) Es gibt einen Vektor x ∈ ℝ^{4} mit x ≠ 0 und A · x = −x.

(b) det(A) = 0.

(c) B besitzt in ℝ höchstens 4 Eigenwerte.

(d) B besitzt in ℂ genau vier Eigenwerte.

(e) Alle Eigenwerte von B sind reell.

Aufgabe 5 (1+2+2=5 Punkte) Entscheiden Sie, ob die nachstehenden Folgen (eigentlich oder uneigentlich) konvergieren und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.

(a) (\frac{\sqrt{2n+3}}{1+\sqrt{n}})_{n∈ℕ}
(b) ((−1)^{n} · \frac{3n−5}{n^{2}+1})_{n∈ℕ}
(c) ((−1)^{n} · \frac{2n^{2}+2}{n^{2}+5n})_{n∈ℕ}

Aufgabe 6 (2+3=5 Punkte) Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:

(a) ∑_{k=0}^{∞} \frac{2^{k}}{k!} (Hinweis: Quotientenkriterium)

(b) ∑_{l=0}^{∞} \frac{l+3}{l^{2}−7} (Hinweis: Vergleichskriterium)

Aufgabe 7 (2+3=5 Punkte) Lösen Sie die folgenden Gleichungen:

(a) 2^{x+1} = 6 · 3^{2x+1}

(b) 2 · log(x + 1) = log(4x)

Aufgabe 8 (1+2+2=5 Punkte) Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte (in ℝ ∪ {±∞}):

(a) lim_{x→−∞} exp(sin(exp(x)))

(b) lim_{x→0} \frac{1−cos(x)}{sin(x)}
(c) lim_{x→1} \frac{log x}{1−x}

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Klausur zu ”Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie“, Wintersemester 2009/10 Blatt 2

Aufgabe 9 (5 Punkte) Bestimmen Sie die lokalen Extremstellen und die Monotonieintervalle der Funktion

f(x) = (x^{2} − 3) · e^{−x}.

Aufgabe 10 (3+2=5 Punkte) Berechnen Sie die folgenden Integrale:

(a) ∫_{0}^{π} x^{2} · sin(x)dx (Hinweis: partielle Integration)

(b) ∫_{1}^{2} \frac{x^{2}}{1+x^{3}} dx (Hinweis: Substitution)

Aufgabe 11 (3+2=5 Punkte)

(a) Finden Sie alle Lösungen der Differentialgleichung

y′(x) − 2\frac{y(x)}{x} = 0

durch Trennung der Variablen.

(b) Finden Sie alle Lösungen der Differentialgleichung

y′(x) − 2\frac{y(x)}{x} = x^{3}

durch Variation der Konstanten. (Hinweis: Eine Lösung von (a) ist y(x) = x^{2}.)

Aufgabe 12 (2+3=5 Punkte)

(a) Bestimmen Sie alle Lösungen der Differentialgleichung

y′′′′(x) = y(x).

(b) Lösen Sie das Anfangswertproblem

y′′(x) + 3 · y′(x) − 4y(x) = 0, y(0) = 2, y′(0) = −3.