Universität des Saarlandes FR 6.1, Mathematik Dr. Johannes Lengler �

Klausur zu ”Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie“, Wintersemester 2009/10

Aufgabe 1 (5 Punkte) Lösen Sie das lineare Gleichungssystem

−x_{1} + x_{2}  − x_{4} = 2
x_{3} − x_{4} = 1
3x_{1}  + 2x_{3} + x_{4} = −1
x_{1} + 2x_{2} + x_{3} + 4x_{4} = −6

mit dem Gauß-Algorithmus.

Aufgabe 2 (1+1+1+1+1=5 Punkte) Die 5 × 5-Matrix A habe Determinante det(A) = 0. Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche sind falsch, und welche sind nicht anhand der gegebenen Informationen entscheidbar? Sie brauchen Ihre Antworten nicht zu begründen.

(a) Es gibt einen Vektor x ∈ ℝ^{5} mit Ax = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ).

(b) Es gibt einen Vektor x ≠ 0 mit Ax = 0.

(c) A ist invertierbar.

(d) Die aus den Zeilen von A gebildeten Vektoren sind linear abhängig.

(e) Es gibt eine 5 × 5-Matrix B mit A · B = E_{5}. (Wie üblich bezeichnet E_{5} die 5 × 5-Einheitsmatrix.)

Aufgabe 3 (3+2=5 Punkte) Berechnen Sie das Inverse der Matrix

A = ( \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 3 \\ 1 & 4 & 2 \end{matrix} )

und lösen Sie damit die Gleichungssystem Ax = b für die Vektoren

(i) b = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , (ii) b = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , (iii) b = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) .

Aufgabe 4 (2+3=5 Punkte) Berechnen Sie die Determinanten der folgenden Matrizen:

A = ( \begin{matrix}2 & −1 & 0 \\ −4 & 1 & 2 \\ −3 & 0 & 1 \end{matrix} ) , B = ( \begin{matrix}2 & 1 & −4 & −7 \\ 0 & 5 & −3 & 11 \\ 0 & 0 & 3 & −2 \\ 0 & 0 & −2 & 1 \end{matrix} ) .

Aufgabe 5 (2+1+2=5 Punkte) Berechnen Sie die Eigenwerte der folgenden Matrizen:

A = ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} ) , B = ( \begin{matrix}1 & −1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 1 & −4 \\ 0 & 0 & 1 & −2 \\ 0 & 0 & 0 & −2 \end{matrix} ) .

Geben Sie außerdem für die erste Matrix A zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor ≠ 0 an.

Aufgabe 6 (5 Punkte) Finden Sie alle komplexen Zahlen z ∈ ℂ, die die folgende quadratische Gleichung erfüllen:

(1 + i) · z^{2} + (2 − 2i) · z + (1 − 3i) = 0.

Hinweis: Ihre Rechnung sollte auf den Zwischenschritt (z − ξ)^{2} = 2i führen, für ein geeignetes ξ ∈ ℂ.

Aufgabe 7 (1+1+1+2=5 Punkte)

(a) Entscheiden Sie, ob die nachstehenden Folgen einen Grenzwert (in ℝ oder ±∞) besitzen und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.

(i) (\frac{3n^{2}−2n+7}{−9n^{2}+6n})_{n≥1}
(ii) (1 + (−\frac{3}{5})^{n})_{n∈ℕ}
(iii) ((−1)^{n} \frac{n^{2}}{n+1})_{n∈ℕ}

(b) Die folgende, rekursiv definierte Folge besitzt einen Grenzwert in den reellen Zahlen. (Das brauchen Sie nicht zu zeigen.) Berechnen Sie mit Hilfe dieser Information den Grenzwert

a_{0} = 0, a_{n} = \frac{1}{2}(a_{n−1}^{2} + 1) für n ≥ 1.

Aufgabe 8 (1+2+2=5 Punkte)

(a) Berechnen Sie den Wert der Reihe

∑_{k=1}^{∞} (\frac{2}{3})^{n} .

(b) Entscheiden Sie, ob die nachstehenden Reihen gegen eine reelle Zahl konvergieren, ob sie gegen ±∞ konvergieren, oder ob sie divergieren. Begründen Sie Ihre Antwort!

(i) ∑_{k=1}^{∞} \frac{k}{2^{k}} (Hinweis: Quotientenkriterium)

(ii) ∑_{k=1}^{∞} \frac{k+1}{k^{3}+3k^{2}+7} (Hinweis: Vergleichen Sie die Reihe mit ∑ \frac{1}{k^{2}} .)