Diplomarbeit

–Charakteristische Polynome von Drinfeld-Moduln–

Florian Jung

Dezember 2000

Ich erkläre hiermit an Eides statt, diese Arbeit selbstständig geschrieben und keine Hilfsmittel außer den angegebenen verwendet zu haben.

Inhaltsverzeichnis

Einleitung 9

1 Grundlagen 13

1.1 Grundlagen aus der algebraischen Zahlentheorie und der Theorie der Funktionenkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.1 Stellen und Bewertungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.2 Norm und Spur über endlichen Körpern . . . . . . . . . . 17 1.1.3 Vervollständigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.1.4 Der rationale Funktionenkörper 𝔽_{q}(T) . . . . . . . . . . . 20

1.2 Grundlagen der Theorie der Drinfeld-Moduln . . . . . . . . . . . . 22 1.2.1 Additive Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2.2 Arithmetik in L{τ} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.2.3 Drinfeld-Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.2.4 Teilungspunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2 Arithmetik von Drinfeld-Moduln 33 2.1 Morphismen von Drinfeld-Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2 Der Endomorphismenring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3 Der Tate-Modul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.4 Reduktion von Drinfeld-Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3 Rang 2 Drinfeld-Moduln 43 3.1 Isomorphien von Rang 2 Drinfeld-Moduln . . . . . . . . . . . . . 43 3.2 Berechnung der Koeffizienten von ϕ_{a} . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.3 Die Hasse-Invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4 Das charakteristische Polynom 55 4.1 Theoretische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.2 Berechnung des charakteristischen Polynoms . . . . . . . . . . . . 61

4.2.1 Die Berechnung von ε_{ϕ} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.2.2 Die Berechnung des maximalen Koeffizienten von a …. 66 4.2.3 Die Berechnung von a mit Hilfe der Hasse-Invarianten … 70 4.2.4 Das Verhalten des charakteristischen Polynoms unter \overline{L}-

Isomorphie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5 Verteilungen von charakteristischen Polynomen 75

5.1 Umfang und Durchführung der Berechnungen im Fall (a) . . . . . 76 5.1.1 Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.1.2 Der Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.2 Ergebnisse und Beobachtungen im Fall (a) . . . . . . . . . . . . . 80 5.2.1 Verteilungen für festes 𝔭 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.2.2 Verteilungen des Faktors ε_{ϕ} . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5.2.3 Verteilungen des Koeffizienten a . . . . . . . . . . . . . . . 82 5.2.4 Verteilungen für alle 𝔭 eines festen Grades . . . . . . . . . 88

Verteilung der Drinfeld-Moduln mit g = 0 . . . . . . . . . 91

5.3 Der Fall (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 5.4 Umfang und Durchführung der Berechnungen im Fall (c) . . . . . 94

5.4.1 Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 5.4.2 Der Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.5 Ergebnisse und Beobachtungen im Fall (c) . . . . . . . . . . . . . 96 5.5.1 Verteilung der Grade für alle 𝔭 eines festen Grades …. 96 5.5.2 Verteilungen der a für alle 𝔭 eines festen Grades . . . . . . 98

5.6 Implementierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

A Tabellen Fall (a) 105 A.1 Verteilungen für eine feste Stelle 𝔭 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 A.2 Verteilungen für alle Stellen eines festen Grades . . . . . . . . . . 109

A.2.1 Zusammenfassung nach dem maximalen Koeffizienten … 114

B Tabellen Fall (b) 119

C Tabellen Fall (c) 121 C.1 Verteilungen für alle Stellen eines festen Grades . . . . . . . . . . 121

Literaturverzeichnis 129

Index 131

Tabellenverzeichnis

5.1 Übersicht der Berechnungen im Fall (a) . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.6 Übersicht der Berechnungen im Fall (c) . . . . . . . . . . . . . . . 94 5.7 Werte von |M_{ϕ}(d)| und |N_{ϕ}(d)| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

A.1 Verteilung q = 3, 𝔭 vom Grad 4 und 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 105 A.2 Verteilung q = 5, 𝔭 vom Grad 4 und 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 107 A.3 Verteilung q = 2, alle 𝔭 vom Grad 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 A.4 Verteilung q = 2, alle 𝔭 vom Grad 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 A.5 Verteilung q = 3, alle 𝔭 vom Grad 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 A.6 Verteilung q = 3, alle 𝔭 vom Grad 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 A.7 Vergleich von H(a, q, d) und C̃(a) ·_{gl}H(a, q, d) . . . . . . . . . . . . 116

B.1 Verteilung für 𝔽_{𝔭^{6}} und 𝔽_{𝔭^{7}} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

C.1 Verteilung für ϕ^{(29)}, alle 𝔭 vom Grad 24 und vom Grad 25 …. 121 C.2 Verteilung für ϕ^{(33)}, alle 𝔭 vom Grad 14 und vom Grad 15 …. 124 C.3 Verteilung für ϕ^{(23)}, alle 𝔭 vom Grad 20 und vom Grad 21 …. 126 C.4 Verteilung für ϕ^{(23)}, alle 𝔭 vom Grad 22 und vom Grad 23 …. 126 8

Einleitung

Die Theorie der algebraischen Funktionenkörper in endlicher Charakteristik, wie z. B. des rationalen Funktionenkörpers über dem Körper mit q Elementen 𝔽_{q}(T), weist in vielerlei Hinsicht Analogien zur klassischen Zahlentheorie auf, d. h. der Theorie der Zahlkörper über ℚ. So lassen sich viele Aussagen direkt in den Kontext der Funktionenkörper übertragen, wenn man die Objekte ℤ, ℚ und ℝ durch A = 𝔽_{q}[T], K = 𝔽_{q}(T) sowie K_{∞} (die Komplettierung von K an der Stelle (\frac{1}{T})) ersetzt. Ein wesentlicher Unterschied zu ℚ besteht jedoch in der durch den Frobeniusendomorphismus gegebenen Struktur im Fall endlicher Charakteristik. Durch dessen Existenz wird die Definition nicht-trivialer A-Modulstrukturen auf K ermöglicht, die keine direkte Analogie in Charakteristik Null besitzen. Solche Modulstrukturen mit gewissen Eigenschaften wurden 1974 von V.G. Drinfeld eingeführt und diese nach ihm benannten Drinfeld-Moduln spielen seitdem eine wichtige Rolle in der Arithmetik von Funktionenkörpern. Schon in den 30er Jahren definierte Carlitz, im Bestreben eine Art von Exponentialfunktion in endlicher Charakteristik einzuführen, den einfachsten Fall eines Drinfeld-Moduls. Die arithmetischen Eigenschaften des Carlitz-Moduls ermöglichten es, eine vollständige Analogie der Kreisteilungserweiterungen über ℚ und deren Funktion für die Klassenkörpertheorie zu formulieren. Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit dem nächst höheren Fall, nämlich mit Drinfeld-Moduln des Ranges 2. Für solche Drinfeld-Moduln über Körpern L endlicher 𝔭-Charakteristik, d. h. L ist eine endliche Erweiterung von 𝔽_{𝔭} = 𝔽_{q}[T]/𝔭, wird das charakteristische Polynom des zugehörigen Frobenius F_{L} bzgl. ϕ untersucht. Dieses Polynom ist eine Isogenieklasseninvariante und hat die Form P_{ϕ}(X) = X^{2} + aX + b mit Koeffizienten a, b aus A. Das Absolutglied b ist bis auf einen Faktor aus 𝔽_{q} durch 𝔭 gegeben und a hat einen beschränkten Grad. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Verteilungen von charakteristischen Polynomen zu untersuchen. Zum einen kann man über dem endlichen Körper L alle Drinfeld Moduln betrachten und miteinander vergleichen. Dies kann man für verschiedene Charakteristiken 𝔭 durchführen (Fall (a)). Eine zweite Möglichkeit ist, von einem festen Körper 𝔽_{𝔭} auszugehen und dann die charakteristischen Polynome aller Drinfeld-Moduln über den Erweiterungen 𝔽_{𝔭^{m}} zu untersuchen (Fall (b)).

Ein weiterer Ansatz besteht darin, einen globalen Drinfeld-Modul über dem Körper K an allen Stellen mit guten Eigenschaften zu reduzieren und die charakteristischen Polynome der lokalen Drinfeld-Moduln über den endlichen Körpern 𝔽_{𝔭} zu berechnen (Fall (c)).

In den Artikeln [Yos73], [Bir68] und [Tat65] werden Untersuchungen im analogen Fall von elliptischen Kurven durchgeführt. Das Absolutglied des dort untersuchten charakteristischen Polynoms ist immer gleich der Primzahl p, an der reduziert wird, und die Frobeniusspur enthält die Information über die Anzahl der Punkte der endlichen Kurve. Es wird die Vermutung aufgestellt und zum Teil bewiesen, dass sich in allen Fällen gleichartige Verteilungen der Frobeniusspuren (nach geeigneter Normierung) ergeben. Auch in unserem Fall enthält das charakteristische Polynom Informationen über den Körper L, wie z. B. seine Euler-Poincaré-Charakteristik, so dass es bei der Konstruktion von L-Reihen und Zeta-Funktionen eine wichtige Rolle spielt.

Den Ausgangspunkt der Arbeit bilden umfangreiche Berechnungen in den oben beschriebenen Situationen. Anhand derer war es möglich, einen Eindruck über das Verhalten des charakteristischen Polynoms zu gewinnen, bestimmte Aussagen darüber zu beweisen und Vermutungen über Gesetzmäßigkeiten zu formulieren. Besonders eingehende Berechnungen finden in Fall (a) statt. Hier lassen sich am systematischsten alle Fälle bis zu einer gewissen Stufe ausrechnen und man erhält sehr aussagekräftiges Datenmaterial. In den beiden anderen Fällen muss man sich durch die Wahl eines festen 𝔽_{𝔭} bzw. eines festen globalen Drinfeld-Moduls auf Einzelsituationen beschränken, so dass eine Verallgemeinerung der Beobachtungen schwierig ist.

In Kapitel 1 und 2 werden die Grundlagen aus der algebraischen Zahlentheorie bereitgestellt und in die Theorie der Drinfeld-Moduln eingeführt. Kapitel 3 widmet sich den speziellen Eigenschaften von Rang 2 Drinfeld-Moduln und enthält einige grundlegende Sachverhalte, die im weiteren Verlauf sowohl für theoretische Aussagen als auch für die numerischen Untersuchungen, benötigt werden. In Kapitel 4 wird das charakteristische Polynom eingeführt und, den Artikeln [Gek91] und [GS96] folgend, die theoretischen Aussagen über seine Eigenschaften wiedergegeben. Der zweite Abschnitt geht dann der Frage nach, wie es sich berechnen lässt. Es wird eine aus [HY00] abgeleitete Formel für das Signum des Absolutglieds b angegeben und beschrieben, wie man die Frobeniusspur a berechnen kann. Die ebenfalls aus [HY00] bekannte Formel für den „maximal möglichen“ Koeffizienten von a im Fall „deg 𝔭“ gerade wird gezeigt und eine analoge Formel für den Fall, dass deg 𝔭 ungerade ist, bewiesen. Kapitel 5 beinhaltet die Untersuchungen der oben beschriebenen Verteilungen. Es wird für bestimmte Polynome gezeigt –im Fall (a) und Fall (b) gleichermaßen geltend– dass sie nicht als charakteristische Polynome auftreten können. Danach wird allein der Koeffizient a betrachtet und eine Aussage über das Verhältnis zwischen den a mit maximalem Grad und denen mit kleinerem Grad gemacht. Für den Fall (a) wird im Weiteren das Auftreten der Frobeniusspuren unter Einbeziehung aller Primstellen eines festen Grades untersucht und vermutet, dass sich die Häufigkeit eines bestimmten a mit Hilfe einer Konstanten beschreiben lässt, die einzig von der Anzahl der Nullstellen von a über 𝔽_{q} abhängt. Die Untersuchungen in Fall (c) zeigen, dass eine Mehrzahl der Beispiele von globalen Drinfeld-Moduln ein „lokal zufälliges“ Verhalten zeigen, d. h. die Menge der reduzierten Drinfeld-Moduln verteilt sich analog den Gesetzmäßigkeiten, die in Fall (a) für alle endlichen Drinfeld-Moduln beobachtet wurden. Hierzu Vermutungen allgemeiner Natur aufzustellen, scheint aufgrund der wenigen berechneten Beispiele jedoch sehr gewagt.

An dieser Stelle möchte ich mich bei allen bedanken, die mich beim Anfertigen dieser Arbeit unterstützt haben. Mein großer Dank gilt Herrn Prof. Dr. E.-U. Gekeler für das interessante Thema und die hervorragende Betreuung. Dies gilt in gleichem Maße für alle Mitarbeiter des Lehrstuhls. Insbesondere bedanke ich mich bei Herrn Dipl.-Math M. Gebhardt für die große Hilfe zu Fragen der Programmierung, das Korrekturlesen und den wertvollen fachlichen Gedankenaustausch. Ich bedanke mich außerdem bei meiner Freundin Melanie für fortwährenden Beistand und Ermutigung, sowie bei meiner Familie, von denen ein jeder auf seine Weise zum Gelingen dieser Arbeit beigetragen hat.

12

Kapitel 1

Grundlagen

1.1 Grundlagen aus der algebraischen Zahlentheorie und der Theorie der Funktionenkörper

In diesem Abschnitt werden die für die Arbeit relevanten Hilfsmittel aus der algebraischen Zahlentheorie bereitgestellt und die grundlegenden Aussagen über die Arithmetik von Funktionenkörpern wiedergeben. Dabei liegt der Schwerpunkt in der Einführung der Bezeichnungen und Definitionen. Es wird nicht versucht, eine umfassende Darstellung dieser Sachverhalte zu geben. Hierzu sei auf die Literatur verwiesen ([Koc97], [Neu92], [Ser79] und [Sti93]). Die Begrifflichkeit der algebraischen Zahlentheorie wird anhand der Situation erläutert, in deren Rahmen sich die Problemstellungen dieser Arbeit bewegen. Dieses ist die der algebraischen Funktionenkörper in einer Variablen über einem endlichen Körper der Charakteristik p.

Sei p eine Primzahl, q = p^{l} für eine natürliche Zahl l, dann bezeichnet 𝔽_{q} den endlichen Körper mit q Elementen. Dieser ist vollkommen und hat die Charakteristik p. Eine Erweiterung K/𝔽_{q} heißt algebraischer Funktionenkörper über 𝔽_{q}, falls ein transzendentes Element x ∈ K existiert, so dass K eine endliche, algebraische Erweiterung von 𝔽_{q}(x) ist. Ist K = 𝔽_{q}(x) für ein transzendentes Element x ∈ K, so heißt K rationaler Funktionenkörper über 𝔽_{q}.

1.1.1 Stellen und Bewertungen

1.1.1 Definition. Ein Ring O ⊆ K mit den Eigenschaften

(i) 𝔽_{q} ⫋ O ⫋ K, und

(ii) für alle x ∈ K gilt x ∈ O oder x^{−1} ∈ O,

KAPITEL 1. Grundlagen

heißt ein Bewertungsring von K. Der Bewertungsring O ist ein lokaler Ring mit dem maximalen Ideal 𝔭 = O \ O^{∗}. Dieses ist darüber hinaus ein Hauptideal, so dass O ein diskreter Bewertungsring ist. 1.1.2 Definition. (i) Eine Stelle 𝔭 des algebraischen Funktionenkörpers K/𝔽_{q}

ist das maximale Ideal eines Bewertungsrings O ⊆ K. (ii) Mit S(K) := {𝔭 | 𝔭 ist eine Stelle von K/𝔽_{q}} wird die Menge der Stellen

von K/𝔽_{q} bezeichnet. (iii) Ein Element π ∈ 𝔭 mit π O = 𝔭 heißt eine Uniformisierende von 𝔭. (iv) Der Körper L_{𝔭} := O/𝔭 heißt Restklassenkörper von O bzgl. 𝔭.

(v) Man nennt deg 𝔭 := [L_{𝔭} : 𝔽_{q}] den Grad der Stelle 𝔞. Der Bewertungsring O mit dem maximalen Ideal 𝔭 ist wegen O = {x ∈ K| : x^{−1} ∉ 𝔭} durch dieses schon eindeutig bestimmt, so dass die Stellen eineindeutig den Bewertungsringen entsprechen. Deshalb wird O_{(𝔭)} := Oals der Bewertungsring zu der Stelle 𝔭 bezeichnet. Der Begriff der Stelle lässt sich auch mittels der diskreten Bewertungen einführen. 1.1.3 Definition. Eine diskrete Bewertung von K/𝔽_{q} ist eine Funktion ν : K → ℤ ∪ {∞} mit den folgenden Eigenschaften:

(i) ν(x) = ∞ ⇔ x = 0. (ii) ν(x y) = ν(x) + ν(y) für alle x, y ∈ K. (iii) ν(x + y) ≥ min{ν(x), ν(y)} für alle x, y ∈ K. Eine Bewertung heißt normiert, falls ν(K^{∗}) = ℤ ist. Für eine diskrete Bewertung ν erhält man durch die Definition |x| := (\frac{1}{q})^{ν(x)} für x ∈ K eine Betragsbewertung, d. h. eine Abbildung |.| : K → ℝ_{≥0} mit den Eigenschaften:

(i) |x| = 0 ⇔ x = 0. (ii) |x y| = |x| |y| für alle x, y ∈ K. (iii) |x + y| ≤ |x| + |y| für alle x, y ∈ K.

1.1. Grundlagen aus der algebraischen Zahlentheorie und der Theorie der Funktionenkörper

Eine diskrete Bewertung ν heißt trivial, falls gilt:

ν(x) = \begin{cases}0 & für x ≠ 0 \\ ∞ & für x = 0. \end{cases}

Sei ν eine diskrete Bewertung von K/𝔽_{q}, dann ist ν_{|𝔽_{q}} trivial.

Durch die Angabe einer Stelle 𝔭 ∈ S(K) lässt sich eine diskrete Bewertung ν_{𝔭} wie folgt definieren. Sei π eine Uniformisierende von 𝔭, dann hat jedes x ∈ K^{∗} eine eindeutige Darstellung x = π^{n(x)} · u mit u ∈ O_{(𝔭)}^{∗} und n(x) ∈ ℤ. Durch die folgende Definition ist eine diskrete Bewertung auf K/𝔽_{q} gegeben:

ν_{𝔭} : K ⟶ ℤ ∪ {∞}
x ⟼ \begin{cases}n(x) & x ≠ 0 \\ ∞ & x = 0. \end{cases}

Umgekehrt erhält man für eine diskrete Bewertung ν einen Bewertungsring O_{(ν)} mit maximalem Ideal 𝔭 durch:

O_{(ν)} := {x ∈ K | ν(x) ≥ 0},
O_{(ν)}^{∗} := {x ∈ K | ν(x) = 0},
𝔭 := {x ∈ K | ν(x) > 0}.

Diskrete Bewertungen heißen äquivalent, wenn sie den gleichen Bewertungsring definieren, und die Äquivalenzklassen werden repräsentiert von den normierten diskreten Bewertungen. Damit entsprechen die Stellen von K eineindeutig den normierten diskreten Bewertungen, so dass diese Begriffe im Folgenden synonym verwendet werden.

Es gilt die folgende fundamentale Formel für die Stellen von K/𝔽_{q}:

1.1.4 Proposition. Sei α ∈ K, dann gilt ν_{𝔭}(α) = 0 für fast alle 𝔭 ∈ S(K) und zusätzlich

∑_{𝔭∈S(K)}deg 𝔭 ν_{𝔭}(α) = 0.

Beweis. Siehe [Koc97, Satz 5.2.1].

Durch die Wahl einer beliebigen Stelle ∞ ∈ S(K) definiert man einen Unterring A von K

A := ⋂_{\begin{matrix}𝔭∈S(K) \\ 𝔭≠∞ \end{matrix}}O_{(𝔭)} = \{x ∈ K | ν(x) ≥ 0 für alle ν ∈ S(K) mit ν ≠ ν_{∞}\}, (1.1)

KAPITEL 1. Grundlagen

der die folgenden Eigenschaften besitzt:

(i) A ist Dedekind-Ring.

(ii) K ist der Quotientenkörper von A.

(iii) Die Elemente von S(K) entsprechen eineindeutig denen der Menge {𝔭 | 0 ≠ 𝔭 ist Primideal von A} ∪ {∞}.

Für die Elemente von A wird auf folgende Weise eine Gradfunktion eingeführt:

deg : A ⟶ ℤ
a ⟼ log_{q} |(A/(a)| = −(deg ∞ · ν_{∞}(a)). (1.2)

Es sei nun E/K eine endliche Körpererweiterung von K. Mit 𝔓 ∈ S(E) sei eine Stelle von E und mit 𝔭 ∈ S(K) sei eine Stelle von K bezeichnet. Wenn für diese beiden Stellen O_{(𝔭)} ⊂ O_{(𝔓)} gilt, dann sagt man „𝔓 liegt über 𝔭“ bzw. „𝔓 teilt 𝔭“ und schreibt dies in der Form 𝔓 | 𝔭. Die zugehörige Bewertung ν_{𝔓} von E heißt dann eine Fortsetzung der Bewertung ν_{𝔓} von K.

1.1.5 Definition. Sei 𝔓 eine Stelle aus E, die über der Stelle 𝔭 aus K liegt, dann heißt die Zahl e_{𝔓}(E/K), für die gilt

e_{𝔓}(E/K)ν_{𝔭}(x) = ν_{𝔓}(x) für alle x ∈ K,

der Verzweigungsindex von 𝔓 in E/K. Der Grad der Erweiterung der Restklassenkörper

f_{𝔓}(E/K) := [L_{𝔓} : L_{𝔭}] = [O_{(𝔓)}/𝔓 : O_{(𝔭)}/𝔭]

wird als der Trägheitsindex von 𝔓 in E/K oder auch als der Restklassengrad von 𝔓 in E/K bezeichnet.

Es gilt die folgende fundamentale Beziehung zwischen den Grad einer separablen Körpererweiterung und den Verzweigungsindizes und Trägheitsgraden einer Stelle aus K:

1.1.6 Proposition. Sei E/K separabel und 𝔭 ∈ S(K), dann gilt:

[E : K] = ∑_{𝔓 | 𝔭}e_{𝔓}(E/K)f_{𝔓}(E/K).

Beweis. Siehe [Neu92, Satz 8.5].

1.1.2 Norm und Spur über endlichen Körpern

Für eine endliche Erweiterung E/K führt man die Spur und die Norm eines Elements x ∈ E ein, indem man E als K-Vektorraum mit der durch Multiplikation mit x gegebenen Transformation auffasst.

T_{x} : E ⟶ E
T_{x}(α) = x · α.

Man definiert dann

N_{K}^{E}(x) := det(T_{x}) und Tr_{K}^{E}(x) := Tr(T_{x}).

Ist E/K separabel vom Grad n und sind σ_{1}, …, σ_{n} die verschiedenen K-Einbettungen von E in \overline{K}, dann gilt

N_{K}^{E}(x) = ∏_{i=1}^{n} σ_{i}(x),

Tr_{K}^{E}(x) = ∑_{i=1}^{n} σ_{i}(x).

Damit erhält man für die Spur und die Norm in der Situation von endlichen Körpern die folgende Beschreibung.

Sei E = 𝔽_{q^{n}} und K = 𝔽_{q}, dann ist 𝔽_{q^{n}} eine zyklische Erweiterung des Grades n von 𝔽_{q}. Diese wird erzeugt von τ, dem Frobenius von 𝔽_{q}, so dass gilt:

N_{𝔽_{q}}^{𝔽_{q^{n}}} (x) = x · x^{q} · · · · · x^{q−1} = x^{\frac{q^{n}−1}{q−1}} ,
Tr_{𝔽_{q}}^{𝔽_{q^{n}}} (x) = x + x^{q} + ⋯ + x^{q−1}.

1.1.7 Proposition. Die Normabbildung über endlichen Körpern hat die folgenden Eigenschaften:

(i) N_{𝔽_{q}}^{𝔽_{q^{n}}} (α β) = N_{𝔽_{q}}^{𝔽_{q^{n}}} (α) N_{𝔽_{q}}^{𝔽_{q^{n}}} (β) für alle α, β ∈ 𝔽_{q^{n}}.

(ii) Die Norm bildet 𝔽_{q^{n}} (bzw. 𝔽_{q^{n}}^{∗}) surjektiv auf 𝔽_{q} (bzw. 𝔽_{q}^{∗}) ab.

(iii) N_{𝔽_{q}}^{𝔽_{q^{n}}} (a) = a^{n} für alle a ∈ 𝔽_{q}.

(iv) N_{𝔽_{q}}^{𝔽_{q^{n}}} (α^{q}) = N_{𝔽_{q}}^{𝔽_{q^{n}}} (α) für alle α ∈ 𝔽_{q^{n}}.

Beweis. Siehe [LN94, Theorem 2.23].

1.1.8 Proposition. Die Spurabbildung über endlichen Körpern hat die folgenden Eigenschaften:

(i) Tr_{𝔽_{q}}^{𝔽_{q^{n}}} (α + β) = Tr_{𝔽_{q}}^{𝔽_{q^{n}}} (α) + Tr_{𝔽_{q}}^{𝔽_{q^{n}}} (β) für alle α, β ∈ 𝔽_{q^{n}}.

(ii) Tr_{𝔽_{q}}^{𝔽_{q^{n}}} (c α) = c Tr_{𝔽_{q}}^{𝔽_{q^{n}}} (α) für alle c ∈ 𝔽_{q}, α ∈ 𝔽_{q^{n}}.

(iii) Die Spur bildet 𝔽_{q^{n}} surjektiv auf 𝔽_{q} ab.

(iv) Tr_{𝔽_{q}}^{𝔽_{q^{n}}} (a) = n a für alle a ∈ 𝔽_{q}.

(v) Tr_{𝔽_{q}}^{𝔽_{q^{n}}} (α^{q}) = Tr_{𝔽_{q}}^{𝔽_{q^{n}}} (α) für alle α ∈ 𝔽_{q^{n}}.

Beweis. Siehe [LN94, Theorem 2.28].

Da die Norm von 𝔽_{q^{n}}^{∗} nach 𝔽_{q}^{∗} und die Spur von 𝔽_{q^{n}} nach 𝔽_{q} surjektive Homomorphismen der additiven bzw. der multiplikativen Gruppe sind, gilt für die jeweiligen Urbildmengen unter diesen Abbildungen der folgende Sachverhalt:

| \{x ∈ 𝔽_{q^{n}}^{∗} | N_{𝔽_{q}}^{𝔽_{q^{n}}} (x) = a\} | = \frac{q^{n} − 1}{q − 1} für alle a ∈ 𝔽_{q}^{∗}, sowie
| {x ∈ 𝔽_{q^{n}} | Tr_{𝔽_{q}}^{𝔽_{q^{n}}} (x) = a} | = q^{n−1} für alle a ∈ 𝔽_{q}.

(1.3)

1.1.3 Vervollständigung

So wie sich der Körper ℚ bzgl. des Absolutbetrages | . | zu ℝ vervollständigen lässt, oder die p-adischen Beträge als Vervollständigungen die kompletten Körper ℚ_{p} liefern, so lassen sich mittels der Bewertungen auch im Funktionenkörperfall Vervollständigungen konstruieren. Der algebraische Funktionenkörper K sei mit der Bewertung ν_{𝔭} versehen und 𝔭 sei die zu ν_{𝔭} gehörige Stelle aus S(K). Durch ν_{𝔭} ist auf K eine Metrik gegeben, so dass sich auf dem topologischen Raum K der Begriff der Cauchyfolge definieren lässt. Sei K_{𝔭} der Ring der Cauchyfolgen bzgl. ν_{𝔭} modulo dem maximalen Ideal aller Nullfolgen. Bettet man die Elemente x ∈ K als die konstanten Folgen (x, x, …) in K_{𝔭} ein und definiert auf K_{𝔭} die kanonische Fortsetzung von ν_{𝔭}, die auch mit ν_{𝔭} bezeichnet wird, und gegeben ist durch

ν_{𝔭}(\overline{(x_{n})}_{n≥0}) := lim_{n→∞} ν_{𝔭}(x_{n}) für \overline{(x_{n})}_{n≥0} ∈ K_{𝔭},

so ist K_{𝔭} ein Körper mit den Eigenschaften

(i) K liegt dicht in K_{𝔭}, und (ii) K_{𝔭} ist vollständig bzgl. ν_{𝔭}.

K_{𝔭} heißt die Vervollständigung von K an der Stelle 𝔭. Mit O_{𝔭} ⊂ K_{𝔭} wird der Bewertungsring und mit 𝔓 dessen maximales Ideal von K_{𝔭} bzgl. ν_{𝔭} bezeichnet. Ist π eine Uniformisierende von O_{(𝔭)} ⊂ K, so lässt sich O_{𝔭} als projektiver Limes schreiben

O_{𝔭} = \underleftarrow{lim} O_{(𝔭)}/π^{n}O_{(𝔭)}.

Außerdem gilt die Isomorphie

O_{(𝔭)}/π^{n}O_{(𝔭)} ≃ O_{𝔭}/π^{n}O_{𝔭} für n ∈ ℕ,

also insbesondere die Isomorphie der Restklassenkörper

L_{𝔭} = O_{(𝔭)}/𝔭 ≃ O_{𝔭}/𝔓 = L_{𝔓}.

Sei R ⊆ K_{𝔭} ein Repräsentantensystem für L_{𝔭}, dann hat jedes Element von K_{𝔭} eine Darstellung

x = ∑_{i=n}^{∞} a_{i}π^{i} mit a_{i} ∈ R und n ∈ ℤ.

Der vollständige Körper K_{𝔭} hat die Eigenschaft, dass sich ν_{𝔭} auf jede endliche Erweiterung eindeutig fortsetzen lässt und diese Erweiterung dann selbst wieder vollständig ist.

Sei E/K eine endliche Erweiterung vom Grad n und r_{𝔭}(E/K) bezeichne die Anzahl der verschiedenen Stellen aus E die über 𝔭 ∈ K liegen. Für diese Stellen 𝔓_{1}, …, 𝔓_{r_{𝔭}(E/K)} seien

e_{i} = e_{𝔓}(E/K) und f_{i} = f_{𝔓}(E/K) für 1 ≤ i ≤ r_{𝔭}(E/K)

jeweils die Verzweigungs- und Trägheitsindizes. Der Körper E lässt sich bzgl. der Stellen 𝔓_{i} vervollständigen, und diese Körper werden mit E_{𝔓_{i}} bezeichnet. Für jene Komplettierungen des Erweiterungskörpers gilt:

(i) E_{𝔓_{i}} ist eine Erweiterung von K_{𝔭} des Grades n_{i} = e_{i}f_{i}.

(ii) Die Bewertung ν_{𝔭} besitzt die eindeutige Fortsetzung e_{i} ν_{𝔓_{i}} auf E_{𝔓_{i}}.

(iii) Der kanonische Homomorphismus

φ : E ⊗_{K} K_{𝔭} ⟶ ∏_{i=1}^{r_{𝔭}(E/K)} E_{𝔓_{i}}

ist ein Isomorphismus.

(iv) Für die Spur und die Norm eines Elements α aus E gilt:

Tr_{K}^{E}(α) = ∑_{i=1}^{r_{𝔭}(E/K)} Tr_{K_{𝔭}}^{E_{𝔓_{i}}}(α) und

N_{K}^{E}(α) = ∏_{i=1}^{r_{𝔭}(E/K)} N_{K_{𝔭}}^{E_{𝔓_{i}}}(α).

(1.4)

1.1.9 Proposition. Sei ν eine Fortsetzung der Bewertung eines vollständigen Körpers L auf die endliche Erweiterung E/L vom Grad n. Dann gilt:

n ν(α) = ν(N_{L}^{E}(α)) für α ∈ E.

Beweis. Siehe [Koc97, Satz 4.5.3].

1.1.4 Der rationale Funktionenkörper 𝔽_{q}(T)

Anhand des für diese Arbeit relevanten (und einfachsten) Falles eines algebraischen Funktionenkörpers, dem rationalen Funktionenkörper über 𝔽_{q}, sollen die eingeführten Begriffe konkretisiert werden. Dieser lässt sich für ein transzendentes Element T darstellen als K = 𝔽_{q}(T). Der rationale Funktionenkörper bildet in vieler Hinsicht ein Analogon zu dem Körper ℚ im Zahlkörperfall. Ein wesentlicher Unterschied besteht darin, dass ℚ eine nicht-archimedische Bewertung in Form des Absolutbetrages besitzt. Auf diese Weise wird ℤ als der Ring der ganzen Zahlen als Unterring von ℚ ausgezeichnet. Im Funktionenkörperfall sind alle Bewertungen nicht-archimedisch, so dass die Wahl eines Unterrings von K, wie es in (1.1) geschieht, nicht kanonisch ist, sondern von der Wahl der Transzendenten T abhängt.

Die Stellen von 𝔽_{q}(T)

Die Bewertungsringe von 𝔽_{q}(T) sind bis auf eine Ausnahme von der Form

O_{(p(T))} := \{\frac{f(T)}{g(T)} | f(T), g(T) ∈ K[T], p(T) ∤ g(T)\},  (a)

mit dem maximalen Ideal

𝔭_{(p(T))} = \{\frac{f(T)}{g(T)} | f(T), g(T) ∈ K[T], p(T)|f(T), p(T) ∤ g(T)\}

und dem Restklassenkörper

O_{(p(T))}/𝔭_{(p(T))} = 𝔽_{q}[T]/p(T) ≅ 𝔽_{q^{deg(p(T))}},

wobei p(T) ∈ 𝔽_{q}[T] ein irreduzibles Polynom ist.

Ein weiterer Bewertungsring ist gegeben durch:

O_{∞} := \{\frac{f(T)}{g(T)} | f(T), g(T) ∈ K[T], deg f(T) ≤ deg g(T)\},  (b)

mit dem maximalen Ideal

𝔭_{∞} = \{\frac{f(T)}{g(T)} | f(T), g(T) ∈ K[T], deg f(T) < deg g(T)\}

und dem Restklassenkörper

O_{∞}/𝔭_{∞} ≅ 𝔽_{q}.

Die Stellen von 𝔽_{q}(T) entsprechen also eineindeutig den normierten Primelementen von 𝔽_{q}[T] im Fall (a) und dem Element (\frac{1}{T}) im Fall (b). Dies sind zugleich auch Uniformisierende der jeweiligen Stellen. Im Fall (a) heißen die Stellen endlich, die zu (\frac{1}{T}) gehörige Stelle wird als ∞-Stelle bezeichnet.

Der Unterring A von 𝔽_{q}(T), den man aufgrund dieser Wahl der ∞-Stelle durch die Konstruktion in (1.1) erhält, ist der Polynomring in T, denn

A := ⋂_{\begin{matrix}𝔭∈S(K) \\ 𝔭≠∞ \end{matrix}}O_{(𝔭)} = ⋂_{\begin{matrix}f(T)∈𝔽_{q}[T] \\ f(T)prim \end{matrix}} O_{(p(T))} = 𝔽_{q}[T].  (1.5)

Die in (1.2) eingeführte Gradfunktion stimmt mit der üblichen Gradfunktion auf 𝔽_{q}[T] überein.

Den Stellen vom Typ (a) entsprechen die durch die irreduziblen Polynome gegebenen diskreten Bewertungen:

ν_{p(T)} : 𝔽_{q}(T) ⟶ ℤ
x ⟼ \begin{cases}i − j & falls x = \frac{p(T)^{i}f(T)}{p(T)^{j}g(T)} mit p(T) ∤ f(T), g(T) \\ ∞ & falls x = 0. \end{cases}

Der ∞-Stelle entspricht die negative Gradbewertung, d. h.

ν_{∞} : 𝔽_{q}(T) ⟶ ℤ
x ⟼ \begin{cases}deg g(T) − deg f(T) & falls x = \frac{f(T)}{g(T)} \\ ∞ & falls x = 0. \end{cases}

Die Vervollständigung von 𝔽_{q}(T) an der ∞-Stelle

Vervollständigt man 𝔽_{q}(T) an der ∞-Stelle, so erhält man den Körper der formalen Laurent-Reihen in \frac{1}{T}, d. h.

𝔽_{q}(T)_{∞} = 𝔽_{q}((\frac{1}{T})) = \{f(T) = ∑_{i=−∞}^{n} a_{i}T^{i}, | n ∈ ℤ und a_{i} ∈ 𝔽_{q}\}.

𝔽_{q}(T)_{∞} ist ein lokaler Körper, d. h. er ist vollständig diskret bewertet mit endlichem Restkörper.

Der algebraische Abschluss von 𝔽_{q}(T)_{∞} ist –im Gegensatz zu dem Körper der komplexen Zahlen als Abschluss von ℝ– nicht mehr vollständig. Die Komplet-

tierung von ; \overline{𝔽_{q}(T)}_{∞} wird in Analogie zu ℂ mit C bezeichnet. Der Körper C ist aufgrund des Lemmas von Krassner algebraisch abgeschlossen.

1.2 Grundlagen der Theorie der Drinfeld-Moduln

Im Folgenden sei L ein Körper mit char(L) = p ≠ 0. \overline{L} sei ein fixierter algebraischer Abschluss von L. Für jede Erweiterung L′ ⊆ \overline{L} von L bezeichnet 𝔾_{a}(L′) := (L′, +) die additive Gruppe von L′.

1.2.1 Additive Polynome

1.2.1 Definition. Ein Polynom P (X) ∈ L[X] heißt additiv genau dann, wenn für alle α, β ∈ L gilt:

P (α + β) = P (α) + P (β).

P heißt absolut additiv, falls P additiv ist über \overline{L}.

Aus dieser Definition folgt sofort:

1.2.2 Proposition. Seien P (X), H(X) ∈ L[X] additive Polynome, dann sind auch die Polynome

(i) P (X) + H(X),

(ii) P (H(X)) und

(iii) αP (X) für α ∈ L

additiv.

1.2. Grundlagen der Theorie der Drinfeld-Moduln

Sei τ_{p}(X) := X^{p} ∈ L[X]. Da für das Erheben in die p-te Potenz in Charakteristik p gilt

(α + β)^{p} = α^{p} + β^{p} für alle α, β ∈ \overline{L},

ist τ_{p}(X) ein absolut additives Polynom. Es zeigt sich, dass die Potenzen von τ_{p} gerade die Teilmenge der absolut additiven Polynome in L[X] aufspannen, denn es gilt:

1.2.3 Proposition. Sei P (X) ∈ L[X] ein absolut additives Polynom, dann ist P (X) von der Form:

P (X) = ∑_{i=0}^{d} a_{i}X^{p^{i}}.

Beweis. Siehe [Gos96, Corollary 1.1.6].

Für die Menge

End_{L}(𝔾_{a}(L)) := {P (X) ∈ L[X] | P (X) ist absolut additiv}

gilt also die folgende

1.2.4 Proposition.

(i)

End_{L}(𝔾_{a}(L)) = {∑_{i=0}^{d} a_{i}X^{p^{i}} | d ∈ ℕ_{0}, a_{i} ∈ L}

(ii) End_{L}(𝔾_{a}(L)) wird durch die Verknüpfungen + und ∘, definiert durch

\begin{aligned}+ & : (P + H)(X) := P (X) + H(X) \\ ∘ & : (P ∘ H)(X) := P (H(X)), \end{aligned}

zu einem nicht-kommutativen Ring mit Eins-Element X.

Ersetzt man X^{p} ∈ End_{L}(𝔾_{a}(L)) durch τ_{p} und entsprechend

τ_{p}^{0} = X
τ_{p}^{i} = \underbrace{τ_{p} ∘ … ∘ τ_{p}}_{i Faktoren} = X^{p^{i}},

dann folgt

End_{L}(𝔾_{a}(L)) = {∑_{i=0}^{d} a_{i}τ_{p}^{i} | d ∈ ℕ_{0}, a_{i} ∈ L}.

In der τ_{p}-Notation haben die Verknüpfungen aus 1.2.4 die folgende Form:

\begin{aligned}+ & : (∑_{i=0}^{d} a_{i}τ_{p}^{i}) + (∑_{j=0}^{d′} b_{j}τ_{p}^{j}) = ∑_{k=0}^{max(d,d′)}(a_{k} + b_{k}) τ_{p}^{k} \\ ∘ & : (∑_{i=0}^{d} a_{i}τ_{p}^{i}) · (∑_{i=0}^{d′} b_{i}τ_{p}^{i}) = ∑_{k=0}^{d+d′}( ∑_{i+j=k}(a_{i} b_{j}^{q^{i}}))τ_{p}^{k} \end{aligned}

1.2.5 Definition. Die Menge L{τ_{p}} = (End_{L}(𝔾_{a}(L)), +, ∘) wird als der getwistete Polynomring in τ_{p} bezeichnet.

1.2.6 Bemerkung: Alternativ kann man L{τ_{p}} einführen als den Polynomring in τ_{p} mit links stehenden Koeffizienten, wobei die Multiplikation von Elementen α ∈ L und τ_{p} folgender Kommutatorregel genügt:

τ_{p} α = α^{p} τ_{p}.

Es wird im Folgenden vorausgesetzt, dass L den Körper 𝔽_{q} mit q = p^{l} als Unterkörper enthält.

1.2.7 Definition. Ein Polynom P (X) ∈ L[X] heißt 𝔽_{q}-linear genau dann, wenn P absolut additiv ist und für alle a ∈ 𝔽_{q} gilt:

P (a · X) = a · P (X).

1.2.8 Proposition. P (X) ∈ L[X] ist 𝔽_{q}-linear genau dann, wenn P (X) von der Form

P (X) = ∑_{i=0}^{d} a_{i}X^{q^{i}} mit a_{i} ∈ L

ist. Für die Menge

End_{L,𝔽_{q}} (𝔾_{a}(L)) := {P (X) ∈ L[X] | P (X) ist 𝔽_{q}-linear}

gilt:

(i)

End_{L,𝔽_{q}} (𝔾_{a}(L)) = {∑_{i=0}^{d} a_{i}X^{q^{i}} | d ∈ ℕ_{0}, a_{i} ∈ L}.

(ii) Sei P (X) ∈ End_{L,𝔽_{q}} (𝔾_{a}(L)), so ist ker(P (X)) ein 𝔽_{q}-Untervektorraum von \overline{L}.

(iii) Ist umgekehrt H ⊂ \overline{L} ein endlichdimensionaler 𝔽_{q}-Untervektorraum, so ist

das Polynom

f_{H} := ∏_{h∈H}(X − h)

𝔽_{q}-linear.

Es folgen nun einige Aussagen im Zusammenhang mit additiven Polynomen und 𝔽_{q}-Untervektorräumen von \overline{L}, die für spätere Beweise gebraucht werden. Es wird zunächst der Begriff der Moore-Determinanten eingeführt, die ein Analogon zur Vandermondeschen Determinante im klassischen Fall darstellt. Mit deren Hilfe wird dann die benötigte Aussage von Proposition 1.2.12 bewiesen. Eine ausführlichere Darstellung findet sich in [Gos96, Chapter 1.3].

1.2.9 Definition. Für die Menge \{w_{1}, …, w_{n}\} ⊂ \overline{L} definiert man die Moore-Determinante durch

Δ(w_{1}, …, w_{n}) := det (\begin{matrix}w_{1} & … & w_{n} \\ w_{1}^{q} & … & w_{n}^{q} \\ ⋮ & & ⋮ \\ w_{1}^{q^{n−1}} & … & w_{n}^{q^{n−1}} \end{matrix} ) .

Man benötigt die folgende Eigenschaft der Moore-Determinante:

1.2.10 Lemma. Sei C ∈ Mat(d × d, 𝔽_{q}) und \{w_{1}, …, w_{n}\} ⊂ \overline{L}, dann gilt:

Δ(C ( \begin{matrix}w_{1} \\ . \\ . \\ w_{n} \end{matrix} )) = det(C) · Δ(w_{1}, …, w_{n}).

1.2.11 Proposition. Sei H ein 𝔽_{q}-Untervektorraum von \overline{L} der Dimension l, und {h_{1}, …, h_{l}} sei eine Basis von H. Dann gilt:

∏_{\begin{matrix}h∈H \\ h≠0 \end{matrix}} h = (−1)^{l}Δ(h_{1}, …, h_{l})^{q−1}.

Beweis. Dies ist Corollary 1.3.8 aus [Gos96].

1.2.12 Proposition. Sei L vom Grad n über 𝔽_{q} und H ein endlichdimensionaler 𝔽_{q}-Untervektorraum von \overline{L}, der stabil ist unter der Abbildung F : x ↦ x^{q^{n}}, welche durch den Frobenius von L gegeben ist. Weiter sei {h_{1}, …, h_{l}} eine Basis von H und a_{0} := ∏\begin{matrix}h∈H \\ h≠0 \end{matrix} h, dann gilt:

det(F|_{H}) = N_{𝔽_{q}}^{L} ((−1)^{l} a_{0}).

Beweis. Nach Proposition 1.2.11 gilt:

Δ(h_{1}, …, h_{l})^{q−1} = (−1)^{l} a_{0},

und somit

Δ(h_{1}, …, h_{l})^{q^{n}−1} = ((−1)^{l} a_{0})^{\frac{q^{n}−1}{q−1}}
= N_{𝔽_{q}}^{L} ((−1)^{l} a_{0}).  (1.6)

Sei C die Abildungsmatrix der 𝔽_{q}-linearen Abbildung F bzgl. der Basis {h_{1}, …, h_{l}}, dann gilt einerseits mit Lemma 1.2.10

Δ(F ( \begin{matrix}h_{1} \\ . \\ . \\ h_{l} \end{matrix} )) = Δ(C ( \begin{matrix}h_{1} \\ . \\ . \\ h_{l} \end{matrix} )) = det(C) · Δ(h_{1}, …, h_{l})
= det(F|_{H}) · Δ(h_{1}, …, h_{l}),

andererseits gilt aber auch

Δ(F ( \begin{matrix}h_{1} \\ . \\ . \\ h_{l} \end{matrix} )) = Δ(h_{1}, …, h_{l})^{q^{n}}.

Zusammen mit (1.6) erhält man

det(F|_{H}) = Δ(h_{1}, …, h_{l})^{q^{n}−1}
= N_{𝔽_{q}}^{L} ((−1)^{l} a_{0}),

womit die Behauptung gezeigt ist.

1.2.2 Arithmetik in L{τ}

1.2.13 Notation: Ab jetzt gelte immer τ := τ _{p}^{l} für eine feste Primpotenz q der Form q = p^{l}, das heißt im Ring L{τ} wird für a ∈ L bzgl. der Kommutatorregel

τ a = a^{q} τ

multipliziert.

Sei P ∈ L{τ} von der Form

P = ∑_{i=0}^{d} a_{i}τ^{i} mit a_{i} ∈ L, a_{d} ≠ 0,

dann definiert man:

deg_{τ}(P) := d  der Grad in τ, wobei deg_{τ}(0) := −∞ gesetzt wird,

und

D (f) := a_{0}.

Für alle P, Q ∈ L{τ} gilt:

deg_{τ}(P + Q) ≤ deg_{τ}(P), deg_{τ}(Q)
deg_{τ}(P · Q) ≤ deg_{τ}(P) · deg_{τ}(Q) und D (P + Q) ≤ D (P) + D (Q)_{D (P · Q) ≤ D (P) · D (Q).}

Der nichtkommutative Ring L{τ} ist nullteilerfrei, d. h. für f, g ∈ L{τ} folgt aus f ∘ g = 0, dass entweder f = 0 oder g = 0 sein muss. Die Einheiten von L{τ} sind die Elemente von L^{∗}. L{τ} ist rechtseuklidisch, d. h. für alle f, g ∈ L{τ}, g ≠ 0 existieren h, r ∈ L{τ} mit

deg_{τ}(r) < deg_{τ}(g) und
f = h ∘ g + r.

Hieraus resultiert ein rechtseuklidischer Algorithmus, mit dessen Hilfe man zeigen kann, dass jedes Linksideal ein Hauptideal ist. L{τ} ist somit ein Linkshauptidealring, und für zwei Elemente f, g ∈ L{τ} gibt es deshalb immer ein linkes kleinstes gemeinsames Vielfaches, d. h. es existieren Elemente u, v ∈ L{τ} mit

k = u ∘ f = v ∘ g.

Die Existenz dieses linken kgV ist das entscheidende Argument für den Beweis der folgenden Aussage.

1.2.14 Proposition. Der Ring L{τ} besitzt einen linken Quotientendivisionsring, d. h. es existiert ein injektiver Ringhomomorphismus L{τ} ↪ D_{l}, für einen Divisionsring D_{l}, dessen Elemente eine Darstellung der Form Q^{−1}P mit P, Q ∈ L{τ} besitzen.

Beweis. Siehe [Gos96, Paragraph 1.6 und Paragraph 4.11].

Ein solcher linker Quotientendivisionsring von L{τ}, wie er in [Gos96, Definition 4.11.2] explizit konstruiert wird, sei mit L(τ) bezeichnet.

1.2.15 Bemerkung: (i) Ist L ein perfekter Körper, so ist L{τ} auch ein Rechtshauptidealring, und ganz analog existiert ein rechtes kgV und ein rechter Quotientendivisionsring D_{r}, der kanonisch isomorph zu D_{l} ist.

(ii) Die Existenz eines Quotientendivisionsringes folgt nicht automatisch für alle nicht-kommutativen, nullteilerfreien Ringe, ebenso wenig die Isomorphie zwischen D_{r} und D_{l}, falls sie existieren.

1.2.3 Drinfeld-Moduln

Nachdem L{τ} als der Ring der Endomorphismen der additiven Gruppe des Körpers L identifiziert und seine grundlegenden Eigenschaften dargelegt wurden, soll in diesem Abschnitt der zentrale Begriff des Drinfeld-Moduls eingeführt werden.

Sei K ein algebraischer Funktionenkörper über 𝔽_{q}. Aus S(K), der Menge der Stellen von K, zeichnet man willkürlich eine davon als die ∞-Stelle v_{∞} aus und definiert

A := {x ∈ K | ∀ v ∈ S(K) mit v ≠ v_{∞} ist v(x) ≥ 0}.

Wir wissen, dass für A gilt:

• A ist Dedekind-Ring.

• K ist der Quotientenkörper von A.

• Die Elemente von S(K) entsprechen eineindeutig denen der Menge {𝔭 | 𝔭 ist Primideal von A} ∪ {∞}.

1.2.16 Definition. Einen Körper L bezeichnet man als einen A-Körper, wenn er versehen ist mit einem Ringhomomorphismus

γ : A → L.

Die A-Charakteristik char_{A}(L) des A-Körpers L wird definiert als

char_{A}(L) := 𝔭  falls ker(γ) = 𝔭
char_{A}(L) := ∞  falls ker(γ) = {0}.

Im Fall char_{A}(L) := 𝔭 für ein 𝔭 ⊆ A hat A endliche Charakteristik. Im zweiten Fall hat L generische A-Charakteristik und für alle Ideale 𝔮 ⊆ A definiert man in dieser Situation (𝔮, char_{A}(L)) := 1.

1.2.17 Bemerkung: (i) Falls keine Verwechslung möglich ist, wird A mit γ(A) identifiziert.

(ii) Da γ den Körper 𝔽_{q} in L einbettet, kann man 𝔽_{q} vermöge γ als Unterkörper von L auffassen. Der Kern von γ ist ein Primideal von A. Der Ringhomomorphismus γ ist also im Fall char_{A}(L) = ∞ eine Einbettung von A in L und im Fall char_{A}(L) = 𝔭 im Wesentlichen die Reduktionsabbildung modulo dem Primideal 𝔭 von A.

In dieser Situation

K algebraischer Funktionenkörper in einer Variablen über 𝔽_{q},

A = ⋂\begin{matrix}𝔭∈S(K) \\ 𝔭≠∞ \end{matrix} O_{(𝔭)} Ring der Elemente aus K, die bzgl. aller 𝔭 ≠ ∞ ganz sind,

L  ein A-Körper vermöge γ,
L{τ} = End_{L,𝔽_{q}} (𝔾_{a}(L))  der Ring der 𝔽_{q}-Endomorphismen von 𝔾_{a}(L),

definiert man:

1.2.18 Definition. Ein Drinfeld A-Modul über L ist eine A-Modulstruktur auf L{τ}, gegeben durch einen Ringhomomorphismus

ϕ : A → L{τ}
a ↦ ϕ_{a}

mit den Eigenschaften

(i) ϕ ist 𝔽_{q}-linear, das heißt für alle c ∈ 𝔽_{q}, a ∈ A gilt: ϕ_{ca} = c · ϕ_{a}.

(ii) D ∘ ϕ = γ, das heißt es ist ϕ_{a} = γ(a)τ^{0} + höhere Terme in τ für alle a ∈ A.

(iii) Es gibt ein a ∈ A mit ϕ_{a} ≠ γ(a)τ^{0}, m. a. W. ϕ ist nicht trivial.

1.2.19 Proposition. (i) Ist ϕ ein Drinfeld A-Modul über L, dann existiert eine ganze Zahl r ≥ 0, so dass gilt:

deg_{τ} ϕ_{a} = r deg a für alle a ∈ A.

Diese Zahl r wird als der Rang des Drinfeld-Moduls ϕ bezeichnet und rg(ϕ) geschrieben.

(ii) Die Abbildung ϕ : A → L{τ} ist injektiv.

Beweis. Siehe [Gos96, Corollary 4.5.2].

1.2.20 Beispiel: Die Standardsituation ist dadurch gegeben, dass A der Polynomring in einer Variablen über 𝔽_{q} ist, d. h.

A = 𝔽_{q}[T],
K = 𝔽_{q}(T),
∞ ≈ (\frac{1}{T}).

Als A-Körper L wird entweder eine endliche Erweiterung von 𝔽_{q}(T) betrachtet, wobei char_{A}(L) = ∞ gilt, oder L ist eine endliche Erweiterung von 𝔽_{q}[T] / 𝔭, so dass char_{A}(L) = 𝔭 gilt. Der A-Drinfeld-Modul ϕ über dem Körper L ist dann vollständig bestimmt durch die Angabe von

ϕ_{T} = γ(T) + ∑_{i=1}^{r} g_{i}τ^{i} mit g_{i} ∈ L, g_{r} ≠ 0 und r ≥ 1.

Für alle a ∈ A gilt deg_{τ}(ϕ_{a}) = r deg(a), so dass die Zahl r, die hier auftritt, der in 1.2.19 definierte Rang von ϕ ist.

Der einfachste Fall eines Drinfeld-Moduls ist ein Rang 1 Drinfeld-Modul, der sogenannte Carlitz-Modul. Dieser wird definiert als

A = 𝔽_{q}[T], L = K = 𝔽_{q}(T)
γ = id : A ↪ K
ϕ_{T} := T + τ.

Gegenstand dieser Arbeit werden Drinfeld-Moduln des Rangs 2 über einem 𝔽_{q}[T]- Körper L sowohl generischer als auch endlicher Charakteristik sein. Diese sind vollständig bestimmt durch die Angabe von

ϕ_{T} := γ(T) + gτ + Δτ^{2} mit g, Δ ∈ L und Δ ≠ 0.

Für den Fall, dass K nicht der rationale Funktionenkörper, sondern eine endliche, algebraische Erweiterung von diesem ist, führt schon die explizite Darstellung eines Drinfeld-Moduls zu nicht-trivialen Problemen. Ist A von der Form A = 𝔽_{q}[T, Y] mit ψ(Y) = 0 für ein ψ(X) ∈ 𝔽_{q}[T][X], so erhält man durch den Ansatz

ϕ_{T} = γ(T) + ∑_{i=1}^{r} g_{i}τ^{i}

ϕ_{Y} = γ(Y) + ∑_{j=1}^{r′} h_{j}τ^{j}

komplizierte nichtlineare Gleichungssysteme für die Koeffizienten g_{i} und h_{j} (siehe z.B. [Hay91] oder [Dum92]).

1.2.4 Teilungspunkte

Sei ϕ ein A-Drinfeld-Modul über dem A-Körper L und L′ eine Erweiterung von L. Dann operiert ein a ∈ A auf x ∈ L′ durch

a ∗_{ϕ} x := ϕ_{a}(x) = γx + g_{1}x^{q} + … + g_{r deg(a)}x^{r deg(a)}.

Auf diese Art induziert ϕ auf allen Erweiterungen L′ von L eine A-Modulstruktur.

1.2.21 Definition. Sei a ∈ A. Ein x ∈ \overline{L}, für das gilt

a ∗_{ϕ} x = 0,

heißt ein a-Teilungs- bzw. a-Torsionspunkt. Die a-Torsionspunkte sind also genau die Nullstellen von ϕ_{a}(X) ∈ L[X] aus \overline{L}. Man definiert:

aϕ(L′) := {x ∈ L′ | _{a}ϕ(x) = 0}.

Die Menge _{a}ϕ(L′) heißt der Modul der L′-wertigen a-Teilungspunkte. Für ein Ideal 𝔞 ⊆ A sei

𝔞ϕ(L′) := ⋂_{a∈𝔞} _{a}ϕ(L′).

Für den Modul der \overline{L}-wertigen a-Teilungspunkte verzichtet man auf die Angabe des Körpers und schreibt einfach _{a}ϕ bzw. _{𝔞}ϕ im Fall des Ideals.

Es gelten die folgenden Aussagen:

(i) Ist 𝔞 = (a) ein Hauptideal, dann ist _{𝔞}ϕ = _{a}ϕ.

(ii) Jedes _{𝔞}ϕ ist sogar ein A/𝔞-Modul.

(iii) Für alle Erweiterungen L′ von L und alle 𝔞 ≠ {0} ist _{𝔞}ϕ(L′) endlich.

Neben diesen Eigenschaften, die unmittelbar aus der Definition folgen, kann man für den Modul der 𝔞-Teilungspunkte folgende Aussage beweisen:

1.2.22 Proposition. Sei ϕ ein A-Drinfeld-Modul vom Rang r über L und 𝔞 ein von \{0\} verschiedenes Ideal von A, dann gilt für den A-Modul _{𝔞}ϕ(\overline{L}):

(i) Ist (𝔞, char_{A}(\overline{L})) = 1, dann ist _{𝔞}ϕ(\overline{L}) frei über A/𝔞 vom Rang r.

(ii) Falls (𝔞, char_{A}(\overline{L})) = 𝔭 für ein Primideal 𝔭 ≠ \{0\} ist, so existiert ein h ∈ ℕ mit 1 ≤ h ≤ r, so dass gilt:

Für alle 𝔞 ⊆ A von der Form 𝔞 = 𝔭^{e} ist _{𝔞}ϕ(\overline{L}) frei über A/𝔭^{e} vom Rang r − h.

Die Zahl h =: ht(ϕ), die hier auftritt, wird als die Höhe von ϕ bezeichnet.

Beweis. (i) Siehe [Gos96, Remarks 4.5.5] bzw. [DH87, Chapter I 3.3] (ii) Siehe [DH87, Chapter I 3.4].

1.2.23 Proposition. Sei (𝔞, char_{A}(\overline{L})) = 1, dann ist der Modul _{𝔞}ϕ der 𝔞-Teilungspunkte invariant unter der A-linearen Operation der Gruppe Gal(L^{sep}/L).

Beweis. Sei σ ∈ Gal(L^{sep}/L), x ∈ _{𝔞}ϕ und a ∈ 𝔞, dann gilt:

ϕ_{a}(σ(x)) = σ(ϕ_{a}(x)) = σ(0) = 0.

Damit ist σ(x) wieder ein 𝔞-Teilungspunkt. Für ein a ∈ A gilt:

σ(a ∗_{ϕ} x) = σ(ϕ_{a}(x)) = ϕ_{a}(σ(x)) = a ∗_{ϕ} σ(x).

Die mittlere Gleichung gilt, da ϕ_{a} Koeffizienten in L hat. Damit folgt die A-Linearität der Operation von σ.

Arithmetik von Drinfeld-Moduln

Dieses Kapitel enthält wichtige Aussagen zur Arithmetik von Drinfeld-Moduln. Homomorphismen von Drinfeld-Moduln, der Endomorphismenring sowie der Tate-Modul werden eingeführt. Insbesondere wird an vielen Stellen auf die wichtige Situation von Drinfeld-Moduln über endlichen Körpern eingegangen. Eine ausführlichere Darstellung dieser Themen findet sich zum Beispiel in [Gos96, Chapter 4], [Gek83] oder in [Hay92]. Die Ausführungen zur Theorie der endlichen Drinfeld-Moduln folgen im Wesentlichen [GS96].

Es gelten die Bezeichnungen aus dem 1. Kapitel.

K  Funktionenkörper in einer Variablen über 𝔽_{q},

A = ⋂\begin{matrix}𝔭∈S(K) \\ 𝔭≠∞ \end{matrix} O_{𝔭} Ring der Elemente aus K, die bzgl. aller 𝔭 ≠ ∞ ganz sind,

L  ein A-Körper vermöge γ.

2.1 Morphismen von Drinfeld-Moduln

2.1.1 Definition. Es seien ϕ und ψ zwei A-Drinfeld-Moduln über dem A-Körper L. Ein Morphismus von ϕ nach ψ über L ist ein Element u ∈ L{τ} mit der Eigenschaft

ψ_{a} ∘ u = u ∘ ϕ_{a} für alle a ∈ A.

Entsprechend sind Endomorphismen von ϕ Morphismen von ϕ nach ϕ, Isomorphismen von ϕ nach ψ sind Morphismen, die eine Inverse v besitzen, so dass gilt v ∘ u = id_{ϕ} und u ∘ v = id_{ψ}. Ein Automorphismus von ϕ ist ein Isomorphismus von ϕ nach ϕ.

KAPITEL 2. Arithmetik von Drinfeld-Moduln

Die Menge der Morphismen von ϕ nach ψ bildet bzgl. der Addition in L{τ} einen A-Modul, der mit Hom_{L}(ϕ, ψ) bezeichnet wird. Ist u ein Morphismus von ϕ nach ψ und v ein Morphismus von ψ nach θ, so ist die Komposition v ∘ u ein Morphismus von ϕ nach θ. Auf diese Weise wird Hom_{L}(ϕ, ϕ) zu einem Unterring von L{τ}, der als End_{L}(ϕ) bezeichnet wird.

2.1.2 Proposition. Sei u ∈ L{τ} ein Morphismus. Dann ist u genau dann ein Isomorphismus, wenn deg_{τ}(u) = 0 ist.

Beweis. Der Morphismus u ist genau dann ein Isomorphismus, wenn es ein v ∈ L{τ} gibt mit u ∘ v = τ^{0}. Damit folgt die Behauptung.

Ein nicht-verschwindender Morphismus zwischen zwei Drinfeld-Moduln ϕ und ψ hat einen endlichen Kern und wird als Isogenie bezeichnet. Es gilt die folgende

2.1.3 Proposition. Seien ϕ und ψ zwei A-Drinfeld-Moduln, rg(ϕ) und rg(ψ) jeweils der Rang, sowie ht(ϕ) und ht(ψ) die Höhe von ϕ bzw. ψ, dann gilt:

(i) Sind ϕ und ψ isogen, so folgt:

rg(ϕ) = rg(ψ) und ht(ϕ) = ht(ψ).

(ii) Zu jeder Isogenie u : ϕ → ψ existiert eine Isogenie v : ψ → ϕ, so dass gilt v ∘ u = ϕ_{a} und u ∘ v = ψ_{a} für ein geeignetes a ∈ A. Insbesondere wird durch „Isogenie“ eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Drinfeld-Moduln definiert.

(iii) Sei u ∈ L{τ} mit H = ker(u), dann ist u eine Isogenie genau dann, wenn gilt:

(a) H ist ein A-Untermodul von (\overline{L}, ϕ) und

(b)

ht(ϕ) \begin{cases}= 0 & falls char_{A}(L) = ∞, \\ ≡ 0 mod d & falls char_{A}(L) = 𝔭 ein Primideal vom Grad d ist. \end{cases}

Beweis. (i) Siehe [Gos96, Corollary 4.7.16]. (ii) Siehe [Gos96, Proposition 4.7.13, Corollary 4.7.14]. (iii)Siehe [GS96, Poposition 2.5].

2.2. Der Endomorphismenring

2.2 Der Endomorphismenring

Wie in Kapitel 1 wird aus der Menge der Stellen von K eine Stelle ν_{∞} ausgezeichnet. Mit K_{∞} sei die Vervollständigung von K bzgl. ν_{∞} bezeichnet.

Der folgende Satz fasst die wichtigsten Strukturaussagen über den Endomorphismenring eines Drinfeld-Moduls über einem beliebigen Körper zusammen.

2.2.1 Proposition. Sei ϕ ein Drinfeld-Modul vom Grad r über dem A-Körper L. Dann gilt:

(i) End(ϕ) ist ein projektiver A-Modul vom Rang ≤ r^{2}.

(ii) Hat L generische Charakteristik, so ist End(ϕ) kommutativ vom Rang ≤ r.

(iii) End(ϕ) ⊗_{A} K_{∞} ist eine endlichdimensionale Divisionsalgebra über K_{∞}.

Beweis. (i) und (ii) Siehe [Gek83, Proposition 2.3] bzw. [Gos96, Theorem 4.7.8, Proposition 4.7.6] ([DH87, Chapter 1 4.10] für die Aussage „< r“ in (ii)). (iii) Siehe [Gos96, Proposition 4.7.17] bzw. [Gek83, Korollar 2.5].

Es folgen nun einige weitere Aussagen über den Endomorphismenring, für den Fall, dass der A-Körper L endliche Charakteristik besitzt. Die Theorie der Endomorphismenringe von Drinfeld Moduln über endlichen Körpern steht in engem Zusammenhang mit der Theorie der zentralen einfachen Algebren. Einen Überblick der hierzu relevanten Aussagen gibt z.B. [Gos96, S. 93-102]. Der hier zitierte Satz zeigt, dass mit Hilfe von Drinfeld-Moduln über endlichen Körpern wichtige Beispiele für Vertreter dieser Klasse von Algebren angegeben werden können und bestätigt ein weiteres Mal die Analogie zu der Situation der elliptischen Kurven. Die Aussagen des Abschnitts 4.1 schließen sich direkt an die Ausführungen dieses Paragraphen an.

Der Begriff der zentral-einfachen Algebra soll in aller Kürze eingeführt werden.

2.2.2 Definition. (i) Sei M ein Ring mit Eins. M heißt einfach genau dann, wenn M kein nicht-triviales zweiseitiges Ideal besitzt.

(ii) Das Zentrum von M wird definiert als die Menge

Zentr(M) := {x ∈ M | xm = mx, ∀m ∈ M}.

2.2.3 Definition. Sei L ein Körper und M eine L-Algebra, d. h. es existiert ein Ring-Homomorphismus von L nach Zentr(M). M heißt zentral-einfach, falls gilt:

(i) M ist einfach.

(ii) Zentr(M) = L.

Es gelten die folgenden Aussagen:

(i) Es gibt einen Divisionsring D/L, so dass M isomorph ist zu M_{n}(D).

(ii) Sei E mit L ⊆ E ⊆ M ein maximaler Unterkörper von M, dann gibt es einen Isomorphismus ι : M ⊗ E →^{≃} M_{n}(E).

(iii) Die endlichdimensionale E-Algebra M_{n}(E) ist versehen mit der Norm- und Spurabbildung N_{E}^{M_{n}}: M_{n}(E) → E und Tr_{E}^{M_{n}}: M_{n}(E) → E, definiert als die Determinante und Spur des durch Linksmultiplikation definierten Endomorphismus von M_{n}(E). Für die zentral-einfache L-Algebra M lässt sich damit

N_{E}^{M_{n}} ∘ ι : M ⟶ E und
Tr_{E}^{M_{n}} ∘ ι : M ⟶ E

definieren. Diese Abbildungen werden als reduzierte Norm und reduzierte Spur bezeichnet, und es zeigt sich, dass sie unabhängig von der Wahl des maximalen Zwischenkörpers E sind und die Werte schon in L liegen. Man hat also die Abbildungen

redN_{E}^{M_{n}} : M ⟶ L und
redTr_{E}^{M_{n}} : M ⟶ L.

Nun zurück zur Ausgangssituation:

Es seien A, K wie bisher und L eine endlicher A-Körper der Charakteristik 𝔭. D. h. L ist ein endliche Erweiterung von 𝔽_{𝔭} := A/𝔭. Mit d sei der Grad von 𝔭 und mit m der Grad von L über 𝔽_{𝔭} bezeichnet, d. h. L ≅ 𝔽_{q^{n}} für n = d · m. Die zu 𝔭 gehörige Stelle aus S(K) sei ν_{𝔭}.

L 𝔽_{𝔭} 𝔽_{q} d { m {  } n

Mit τ sei das Frobenius-Element von 𝔽_{q} (also die Abbildung x ↦ x^{q}) und mit F := τ^{n} das Frobenius-Element von L bezeichnet.

Für einen Drinfeld-Modul ϕ des Ranges r über L gilt F ∘ ϕ(a) = ϕ(a) ∘ F, für alle a ∈ A, d. h. F ist ein Element aus End(ϕ). Man betrachtet die Einbettung ϕ : A ↪ L{τ} von A in L{τ} und erweitere diese zu einer Einbettung von K = Quot(A) in L(τ), den Quotientendivisionsring von L{τ}. Sei D := End(ϕ)⊗K und E bezeichne den Körper K(F) ⊆ D. Mit 𝔽_{q}(F) werde der Körper der rationalen Funktionen in F bezeichnet.

K  𝔽_{q} (F) E = K(F) D = End(ϕ) ⊗ K L(τ)

Mit diesen Bezeichnungen werden nun die wesentlichen Aussagen aus dem Beweis der nachfolgenden Proposition [Gek91, Theorem 2.9] bzw. [GS96, Theorem 3.8] zusammengefasst. Für eine ausführliche Darstellung wird auf diese Stellen oder auf [Yu95, Theorem 1] verwiesen.

(2.1) Der Divisionsring L(τ) ist eine zentral einfache Algebra vom Grad n^{2} über 𝔽_{q}(F).

(2.2) Zentr_{L(τ)}(K) = Zentr_{L(τ)}(E) = End(ϕ) ⊗_{A} K.

(2.3) Die Stellen F = 0 und F = ∞ haben für alle Zwischenkörper 𝔽_{q}(F) ⊆ H ⊆ L(τ) eine eindeutige Fortsetzung (insbesondere also auf den Körper E), die mit ω und ∞_{E} bezeichnet werden. Die Stelle ω liegt über ν_{𝔭} von K und ∞_{E} ist die eindeutige Fortsetzung der ∞-Stelle von K. Sei ν_{∞} : E → ℚ ∪ {∞} die dadurch eindeutig bestimmte Fortsetzung der normalisierten Bewertung ν_{∞} : K → ℤ ∪ {∞}. Aus deg_{τ}(ϕ_{a}) = r · deg(a) = −r · deg ∞ · ν_{∞}(a) folgt

ν_{∞}(F) = −\frac{n}{r · deg ∞} .  (2.4)

(2.5) E_{∞} = E ⊗_{K} K_{∞} ist ein Körper.

(2.6) L(τ) = L{τ} ⊗_{𝔽_{q}{F}} 𝔽_{q}(F).

Es gilt:

2.2.4 Proposition. Sei E der Unterkörper von D = End(ϕ) ⊗ K, der von F über K erzeugt wird und r_{1} = [E : K] sein Grad. Es gilt:

(i) D ist eine zentrale Divisionsalgebra über E mit dim_{E} D = (r_{2})^{2}, mit der ganzen Zahl r_{2} := r/r_{1}.

(ii) Es gibt eine eindeutig bestimmte Stelle ω von E, die F teilt und diese liegt über der Stelle ν_{𝔭} von K. Die Stelle ν_{∞} von K hat eine eindeutige Fortsetzung ω_{∞} nach E.

Beweis. Siehe [GS96, 3.8] bzw. [Yu95, Theorem 1].

2.3 Der Tate-Modul

In diesem Abschnitt der Tate-Modul eingeführt. Einem fest gewählten Drinfeld-Modul ϕ wird an jeder Primstelle 𝔮 ∈ S(K) ein freier A_{𝔮}-Modul zugeordnet. Dieser liefert die Möglichkeit einer 𝔮-adischen Darstellung sowohl des Endomorphismenrings End(ϕ) als auch der absoluten Galois-Gruppe Gal(L^{sep}/L).

Für eine Stelle ν = ν_{𝔮} aus S(K) sei mit K_{ν} die Vervollständigungen an dieser Stelle und mit _{𝔮^{k}}ϕ die Menge der 𝔮^{k}-Teilungspunkte bezeichnet. Man definiert

νϕ := \underrightarrow{lim} _{𝔮^{k}}ϕ,

d. h. als den induktiven Limes über die Teilungspunkte aller 𝔮-Potenzen.

2.3.1 Definition. Der 𝔮-adische Tate-Modul eines A-Drinfeld-Moduls ϕ über L wird definiert als

T_{ν}(ϕ) := Hom_{A_{ν}}(K_{ν}/A_{ν}, _{ν}ϕ).

2.3.2 Proposition. Sei ϕ ein A-Drinfeld-Modul vom Rang r, ν = ν_{𝔮} für 𝔮 ∈ S(K) und r′ = r − ht(ϕ). Dann gilt:

T_{ν}(ϕ) ≅ A_{ν}^{r′}.

Beweis. Siehe [GS96, Corollary 2.3].

2.3.3 Bemerkung: (i) Sei 𝔮 ⊂ A ein Primideal mit 𝔮 ≠ char_{A}(L) und ν = ν_{𝔮}. Nach Proposition 1.2.23 operiert Gal(L^{sep}/L) auf _{𝔮^{n}}ϕ für alle n ∈ ℕ, was zur 𝔮-adischen Darstellung

ρ_{𝔮} : Gal(L^{sep}/L) ⟶ Aut_{A_{ν}}(T_{ν}(ϕ)) ≅ GL(rg(ϕ), A_{ν})

2.3. Der Tate-Modul

führt. (ii) Im Fall, dass 𝔮 ein Hauptideal ist, insbesondere in der Standardsituation A = 𝔽_{q}[T], gilt

T_{ν}(ϕ) ≅ \underleftarrow{lim} _{𝔮^{k}}ϕ,

mit den Projektionen gegeben durch

𝔮^{k+1}ϕ → _{𝔮^{k}}ϕ
x ↦ ϕ_{𝔮}(x),

bzw. T_{ν}(ϕ) wird direkt auf diese Weise definiert.

2.3.4 Proposition. Sei ϕ ein A-Drinfeld-Modul vom Rang r und ν = ν_{𝔮} eine Stelle aus K für 𝔮 ∈ S(K), wobei 𝔮 ≠ char_{A}(L) ist. Dann ist die Darstellung

i_{𝔮} : End(ϕ) ⊗_{ν} A_{ν} ⟶ End_{A_{ν}}(T_{ν}(ϕ)) ≅ Mat(rg(ϕ), A_{ν})

injektiv.

Beweis. Siehe [GS96, Corollary 2.9].

2.4 Reduktion von Drinfeld-Moduln

Sei L ein A-Körper, der mit einer nicht-trivialen diskreten Bewertung ν versehen ist. Mit O_{(ν)} ⊂ L sei der Bewertungsring von ν, mit 𝔓 dessen maximales Ideal und mit L_{ν} der Restklassenkörper bezeichnet, d. h.

O_{(ν)} = {x ∈ L | ν(x) ≥ 0},
𝔓 = {x ∈ L | ν(x) > 0},
L_{ν} = O_{(ν)}/𝔓.

Der Bewertungsring O_{(ν)} heißt endlich, falls er A enthält, also falls ν(A) ≥ 0 ist. Es werden im Folgenden nur endliche O_{(ν)} betrachtet.

L{τ} enthält als Unterring O_{(ν)}{τ} den getwisteten Polynomring über O_{(ν)}, und dieser ist versehen mit der kanonischen Reduktionsabbildung

red_{𝔓} : O_{(ν)}{τ} ⟶ (O_{(ν)}/𝔓){τ} = L_{ν}{τ}.

2.4.1 Definition. Es sei ϕ : A → L{τ} ein A-Drinfeld-Modul vom Rang r > 0 über L, dann hat ϕ ganze Koeffizienten, falls ϕ_{a} ∈ O_{(ν)}{τ} für alle a ∈ A und die Verknüpfung

red_{𝔓} ∘ ϕ : ⟶ L_{ν}{τ}
a ⟼ red_{𝔓}(ϕ_{a})

einen A-Drinfeld-Modul über dem Körper L_{ν} vom Rang r′ mit 0 < r′ ≤ r definiert.

2.4.2 Definition. (i) Der Drinfeld-Modul ϕ hat stabile Reduktion bzgl. ν, falls es einen zu ϕ isomorphen Drinfeld-Modul ϕ′ gibt, der ganze Koeffizienten hat, d. h. falls ein ξ ∈ L^{∗} existiert, so dass ϕ′_{a} = ξϕ_{a}ξ^{−1} ∈ O_{(ν)}{τ} für alle a ∈ A und red_{𝔓} ∘ ϕ′ einen Drinfeld-Modul definiert.

(ii) Man sagt, ϕ hat gute Reduktion bzgl. ν, falls ϕ stabile Reduktion hat und zusätzlich rg(red_{𝔓} ∘ ϕ) = rg(ϕ) gilt.

(iii) Die Teilmenge von S(K), die die Stellen enthält, an denen ϕ gute Reduktion hat, sei mit S_{ϕ}(K) bezeichnet.

Falls ϕ keine stabile (bzw. gute) Reduktion über L besitzt, kann es eine endliche Erweiterung L′ von L geben, mit einer über ν liegenden Stelle ν′, so dass ϕ als Drinfeld-Modul über L′ stabile (bzw. gute) Reduktion an ν′ hat.

Diese Möglichkeit bezeichnet man auf folgende Weise:

2.4. Reduktion von Drinfeld-Moduln

2.4.3 Definition. Ein Drinfeld-Modul ϕ hat potenziell stabile (gute) Reduktion über L bzgl. ν, falls es eine endliche Erweiterung L′ gibt, so dass ϕ stabile (gute) Reduktion über L′ bzgl. ν′ hat, für eine Stelle ν′ mit ν | ν′.

2.4.4 Proposition. (i) Jeder Drinfeld-Modul ϕ über L hat potenziell stabile Reduktion über L bzgl. ν.

(ii) Jeder Rang 1 Drinfeld-Modul hat potenziell gute Reduktion über L bzgl. ν.

Beweis. Siehe [Gos96, Corollary 4.10.4].

KAPITEL 2. Arithmetik von Drinfeld-Moduln

42

Rang 2 Drinfeld-Moduln

Dieser Abschnitt befasst sich mit einigen speziellen Eigenschaften von Drinfeld-Moduln des Ranges 2 und enthält Aussagen, die später für explizite Berechnungen benötigt werden.

Drinfeld-Moduln vom Rang 1, wie der auf Seite 30 definierte Carlitz-Modul, spielen eine wichtige Rolle für die Arithmetik von algebraischen Funktionenkörpern endlicher Charakteristik, da er z.B.– genau wie die Einheitswurzeln über ℚ im klassischen Fall – die Konstruktion der maximalen abelschen Erweiterung ermöglichen. Über ℚ erhält man diese durch die Adjunktion der Einheitswurzeln, also den Lösungen der Gleichung X^{n} − 1 = 0. Analog dazu stellt die Adjunktion der 𝔞-Teilungspunkte eines Rang 1 Drinfeld-Moduls eine galois’sche Erweiterung mit den gleichen Eigenschaften bzgl. der Galois-Gruppe und des Verzweigungsverhaltens wie die Kreisteilungskörper ℚ(ξ_{n})/ℚ dar (vgl. [Hay74]).

Drinfeld-Moduln von höherem Rang, insbesondere die des Ranges 2, stellen in vieler Hinsicht ein Analogon zu elliptischen Kurven im klassischen Fall dar.

Im Folgenden sei K = 𝔽_{q}(T) der rationale Funktionenkörper und ν_{∞} sei die zu (\frac{1}{T}) korrespondierende Stelle aus S(K), so dass A der Polynomring 𝔽_{q}[T] ist. L sei vorläufig ein beliebiger A-Körper.

3.1 Isomorphien von Rang 2 Drinfeld-Moduln

Es seien zwei Drinfeld-Moduln vom Rang 2 gegeben durch

ϕ : A = 𝔽_{q}[T] ⟶ L{τ}
ϕ_{T} ⟼ γ(T) + gτ + Δτ^{2}

KAPITEL 3. Rang 2 Drinfeld-Moduln

und

ϕ′ : A = 𝔽_{q}[T] ⟶ L{τ}
ϕ_{T} ⟼ γ(T) + g′τ + Δ′τ^{2}.

Nach Proposition 2.1.2 sind ϕ und ϕ′ isomorph, wenn es ein u ∈ L{τ}^{∗} = L^{∗} gibt mit u ∘ ϕ_{a} = ϕ′_{a} ∘ u für alle a ∈ A. Im Fall des Polynomrings ist dies gleichbedeutend mit u ∘ ϕ_{T} = ϕ′_{T} ∘ u, was sich auch durch folgende Beziehungen für g, g′, Δ und Δ′ beschreiben lässt.

3.1.1 Lemma. Die Drinfeld-Moduln ϕ und ϕ′ sind isomorph über L genau dann, wenn es ein u ∈ L^{∗} gibt mit

\begin{aligned}g′ & = u^{q−1}g und \\ Δ′ & = u^{q^{2}−1}Δ. \end{aligned}  (3.1)

3.1.2 Definition. Die j-Invariantedes Drinfeld-Moduls ϕ_{T} = γ(T) + gτ + Δτ^{2} wird definiert als

j(ϕ) := \frac{g^{q+1}}{Δ} .

3.1.3 Proposition. (i) Sind zwei Drinfeld-Moduln ϕ und ϕ′ isomorph zuein-

ander, so gilt

j(ϕ) = j(ϕ′).

(ii) Ist L algebraisch abgeschlossen, so gilt auch die umgekehrte Richtung, d. h.

j(ϕ) = j(ϕ′) ⟹ ϕ ist isomorph zu ϕ′ über L.

Beweis. (i) Falls ϕ isomorph ist zu ϕ′, so gibt es ein u ∈ L^{∗} mit (3.1) und somit

j(ϕ′) = \frac{g^{′q+1}}{Δ′} = \frac{(u^{q−1}g)^{q+1}}{u^{q^{2}−1}Δ} = \frac{g^{q+1}}{Δ} = j(ϕ).

(ii) Es gelte j(ϕ′) = j(ϕ), d. h.:

\frac{g^{q+1}}{Δ} = \frac{g^{′q+1}}{Δ′} bzw.

(\frac{g′}{g} )^{q+1} = \frac{Δ′}{Δ} .

3.1. Isomorphien von Rang 2 Drinfeld-Moduln

Da L algebraisch abgeschlossen ist, existiert ein u ∈ L^{∗} mit u^{q−1} = \frac{g′}{g}. Man erhält

u^{q−1}g = \frac{g′}{g} · g = g′ und

u^{q^{2}−1}Δ = \frac{g′}{g}^{q+1} · Δ = (\frac{Δ′}{Δ} )Δ = Δ′.

Damit sind ϕ und ϕ′ wegen (3.1) isomorph über L.

3.1.4 Bemerkung: Über einem algebraisch abgeschlossenen Körper sind Drinfeld-Moduln bis auf Isomorphie durch ihre j-Invariante charakterisiert. Ist L nicht algebraisch abgeschlossen, so gibt es Drinfeld-Moduln, die isomorph sind über einer Erweiterung von L, ohne es über L zu sein.

Sei L nun ein endlicher Körper mit q^{n} Elementen.

L 𝔽_{𝔭} 𝔽_{q} d { m {  } n

Über L gibt es q^{n} (q^{n} − 1) verschiedene Drinfeld-Moduln. Sei ϕ gegeben durch (g, Δ), dann sind alle zu ϕ isomorphen Drinfeld-Moduln gegeben durch die Paare (a^{q−1}g, a^{q^{2}−1}Δ), wobei a durch L^{∗} läuft.

Die Isomorphieklassen entsprechen also eineindeutig den Bahnen der Gruppe L^{∗} auf L × L^{∗}, wobei die Gruppenaktion von L^{∗} gegeben ist durch

a(g, Δ) := (a^{q−1}g, a^{q^{2}−1}Δ).

Damit lässt sich ein Repräsentantensystem, sowie eine Formel für die Anzahl und die Mächtigkeiten der Isomorphieklassen, explizit angeben.

3.1.5 Proposition. (i) Die Anzahl der Isomorphieklassen von Rang 2 Drinfeld-Moduln über dem endlichen Körper L ist gegeben durch

(q − 1) (q^{n} − 1) + (q − 1) = q^{n} (q − 1)  falls n ungerade ist,
(q − 1) (q^{n} − 1) + (q^{2} − 1) = (q^{n} + q) (q − 1) falls n gerade ist.

(ii) Sei a ein Erzeuger der multiplikativen Gruppe L^{∗}. Ein Repräsentantensystem der Isomorphieklassen ist gegeben durch

n ungerade:

{ (a^{i}, a^{j}) | 1 ≤ i ≤ q − 1, 1 ≤ j ≤ q^{n} − 1} ∪ { (0, a^{j}) | 1 ≤ j ≤ q − 1},

n gerade:

{ (a^{i}, a^{j}) | 1 ≤ i ≤ q − 1, 1 ≤ j ≤ q^{n} − 1} ∪ { (0, a^{j}) | 1 ≤ j ≤ q^{2} − 1}.

(iii) Die Mächtigkeit der Isomorphieklassen ist gegeben durch

n ungerade:

\frac{q^{n} − 1}{q − 1} für alle Klassen.

n gerade:

\frac{q^{n} − 1}{q^{2} − 1} falls die Klasse aus Drinfeld-Moduln mit g = 0 besteht, bzw.
\frac{q^{n} − 1}{q − 1} falls die Klasse aus Drinfeld-Moduln mit g ≠ 0 besteht.

Beweis. (i) Folgt zum einen direkt aus der Formel für die Anzahl der Isomorphieklassen eines Drinfeld-Moduls des Ranges r für allgemeines r in Proposition 4.1.1 aus [Pot96], oder aus der Konstruktion des Repräsentantensystems im folgenden Beweis von (ii).

(ii) Mit

[(g, Δ)] := { a^{i} (g, Δ) | 1 ≤ i ≤ q^{n} − 1}

sei die Bahn von (g, Δ) unter der Aktion von L^{∗} bezeichnet, und für (g, Δ) und (g′, Δ′) definiert man

(g, Δ) ∼ (g′, Δ′) :⇔ (g, Δ) und (g′, Δ′) sind Vertreter der gleichen Bahn.

Sei g = 0:

Sei ϕ ein Drinfeld-Modul mit g = 0, dann muss aufgrund von (3.1) für einen isomorphen Drinfeld-Modul auch g′ = 0 gelten. D. h. eine Klasse enthält entweder nur Drinfeld-Moduln mit g = 0 oder nur solche mit g ≠ 0.

Sei

[(0, Δ)] := { a^{i} (0, Δ) | 1 ≤ i ≤ q^{n} − 1}

die Bahn eines Drinfeld-Moduls mit g = 0. Es gilt:

a^{i} (0, Δ) = a^{j} (0, Δ)
⟺ a^{i(q^{2}−1)}Δ = a^{j(q^{2}−1)}Δ
⟺ (q^{2} − 1)(i − j) ≡ 0 (q^{n} − 1)

⟺ i − j ≡ 0 \begin{cases}(\frac{q^{n}−1}{q−1}) & falls n ungerade, \\ (\frac{q^{n}−1}{q^{2}−1}) & falls n gerade. \end{cases}

Damit folgt

| [(0, Δ)] | = \begin{cases}(\frac{q^{n}−1}{q−1}) & falls n ungerade, \\ (\frac{q^{n}−1}{q^{2}−1}) & falls n gerade. \end{cases}

Da es q^{n} − 1 Drinfeld-Moduln mit g = 0 gibt, existieren also q − 1 Klassen, falls n ungerade ist, und q^{2} − 1 Klassen, falls n gerade ist.

Sei Δ = a^{k} und Δ′ = a^{l} mit Δ ≠ Δ′, dann gilt:

(0, Δ) ∼ (0, Δ′)
⟺ ∃ i ∈ \{0, …, q^{n} − 2\} mit \frac{Δ}{Δ′} = a^{i(q^{2}−1)}
⟺ ∃ i ∈ \{0, …, q^{n} − 2\} mit \frac{a^{k}}{a^{l}} = a^{i(q^{2}−1)}
⟺ ∃ i ∈ {0, …, q^{n} − 2} mit a^{(k−l)−i(q^{2}−1)} = 1
⟺^{a ist Erzeuger} ∃ i ∈ {0, …, q^{n} − 2} mit (k − l) − i(q^{2} − 1) ≡ 0 (q^{n} − 1)
⟺ ∃ i ∈ {0, …, q^{n} − 2} und j ∈ ℤ mit (k − l) = i(q^{2} − 1) + j(q^{n} − 1).

Damit folgt (k−l) ≥ ggT (q^{2} −1, q^{n} −1) für isomorphe Drinfeld-Moduln. Deshalb liegen die Elemente der Mengen

{ (0, a^{i}) | 1 ≤ i ≤ q − 1} falls n ungerade bzw.
{ (0, a^{i}) | 1 ≤ i ≤ q^{2} − 1} falls n gerade

in unterschiedlichen Bahnen und bilden damit ein Repräsentantensystem für die Isomorphieklassen von Drinfeld-Moduln mit g = 0.

Ganz analog zeigt man für

g ≠ 0: Sei

[(g, Δ)] = { a^{i} (g, Δ) | 1 ≤ i ≤ q^{n} − 1}

die Bahn des Drinfeld-Moduls (g, Δ). Für zwei Vertreter dieser Bahn gilt:

a^{i} (g, Δ) = a^{j} (g, Δ)

⟺ \begin{cases}a^{i(q−1)}g = a^{j(q−1)}g & und \\ a^{i(q^{2}−1)}Δ = a^{j(q^{2}−1)}Δ \end{cases}

⟺ \begin{cases}(q − 1) (i − j) ≡ 0 (q^{n} − 1) & und \\ (q^{2} − 1) (i − j) ≡ 0 (q^{n} − 1) \end{cases}

⟺ (i − j) ≡ 0 (\frac{q^{n} − 1}{q − 1}).

Damit folgt

| [(g, Δ)] | = \frac{q^{n} − 1}{q − 1}.

Es existieren (q^{n} − 1) (q^{n} − 1) verschiedene Drinfeld-Moduln mit g ≠ 0 und diese verteilen sich damit auf (q^{n} − 1) (q − 1) Klassen. Sei g = a^{u}, g′ = a^{v}, Δ = a^{k} und Δ′ = a^{l}, dann gilt

(g, Δ) ∼ (g′, Δ′)
⟺ ∃ i ∈ \{0, …, q^{n} − 2\} mit \begin{cases}\frac{g}{g′} = a^{i(q−1)} \\ \frac{Δ}{Δ′} = a^{i(q^{2}−1)} \end{cases}

⟺ ∃ i ∈ \{0, …, q^{n} − 2\} mit \begin{cases}\frac{a^{u}}{a^{v}} = a^{i(q−1)} \\ \frac{a^{k}}{a^{l}} = a^{i(q^{2}−1)} \end{cases}

⟺^{a ist Erzeuger} ∃ i ∈ \{0, …, q^{n} − 2\} mit \begin{cases}(u − v) − i(q − 1) ≡ 0 (q^{n} − 1) \\ (k − l) − i(q^{2} − 1) ≡ 0 (q^{n} − 1) \end{cases}

⟺ ∃ i ∈ \{0, …, q^{n} − 2\} und j ∈ ℤ mit \begin{cases}(u − v) = i(q − 1) + j(q^{n} − 1) &  \\ (k − l) = i(q^{2} − 1) + j(q^{n} − 1) &  \end{cases}

Aus folgt, dass zwei Elemente (a^{u}, ∗) und (a^{v}, ∗) mit 1 ≤ u, v ≤ q − 1 und u ≠ v nicht in der gleichen Bahn liegen können. Falls sie in der 1. Komponente übereinstimmen, folgt aus für Vertreter der gleichen Bahn (g, a^{k}) und (g, a^{l}), dass i=0 sein muss und zusammen mit , dass (k − l) ein Vielfaches von q^{n} − 1 ist. Dies bedeutet aber, dass a^{k} = a^{l} ist. Somit stimmen sie auch in der 2. Komponente überein.

Damit ist gezeigt, dass die (q^{n} − 1) (q − 1) Elemente von

{ (a^{i}, a^{j}) | 1 ≤ i ≤ q − 1, 1 ≤ j ≤ q^{n} − 1}

3.2. Berechnung der Koeffizienten von ϕ_{a}

in verschiedenen Bahnen liegen und damit ein Repräsentantensystem für die Isomorphieklassen der Drinfeld-Moduln mit g ≠ 0 bilden.

Damit hat man die Aussage (ii) bewiesen. Die Formeln aus (i) und (iii) folgen direkt aus dieser Konstruktion.

3.2 Berechnung der Koeffizienten von ϕ_{a}

Sei L wieder ein beliebiger A-Körper und ϕ ein Rang 2 Drinfeld-Modul über L, der gegeben ist durch die Angabe von g ∈ L und Δ ∈ L^{∗}, so dass

ϕ_{T} = γ(T) + g τ + Δ τ^{2}

ist.

3.2.1 Notation: An dieser Stelle soll eine Schreibweise eingeführt werden, die des öfteren Verwendung findet. Sei ϕ ein A-Drinfeld-Modul. Für ein a ∈ A wird mit k_{a,i}^{ϕ}, bzw. k_{a,i} wenn keine Verwechslung bzgl. des Drinfeld-Moduls entstehen kann, der Koeffizient von τ^{i} in ϕ_{a} ∈ L{τ} bezeichnet. Es gilt also

ϕ_{a} = ∑_{i=0}^{rg(ϕ)·deg a} k_{a,i}τ^{i}.

Die beiden folgenden Lemmata erweisen sich als nützlich für die explizite Berechnung der Werte ϕ_{a} = ∑_{i=0}^{2·deg a} k_{a,i}τ^{i}.

3.2.2 Lemma. Sei a ∈ A = 𝔽_{q}[T] und ϕ_{a} := ∑_{i=0}^{2·deg a} k_{a,i}τ^{i}. Dann genügen die Koeffizienten k_{a,i} der folgenden Rekursion:

k_{a,0} = γ(a),
k_{a,1} · γ(T^{q} − T) = k_{a,0}^{q} g − k_{a,0} g,
k_{a,i} · γ(T^{q^{i}} − T) = k_{a,i−1}^{q} g − k_{a,i−1} g^{q^{i−1}} + k_{a,i−2}^{q^{2}} Δ − k_{a,i−2} Δ^{q^{i−2}}
für i = 2, 3, …, 2 · deg a.

Beweis. Für a ∈ A gelten die Äquivalenzen

ϕ_{a·T} = ϕ_{T ·a}
⟺ ϕ_{a} ∘ ϕ_{T} = ϕ_{T} ∘ ϕ_{a}
⟺ ( ∑_{i=0}^{2·deg a} k_{i} τ^{i}) ∘ (γ(T) + gτ + Δτ^{2}) = (γ(T) + gτ + Δτ^{2}) ∘ ( ∑_{i=0}^{2·deg a} k_{i} τ^{i}).

Definiert man k_{a,i}:=0 für i < 0 und i > r · deg a, dann folgt (aus der Kommutatorregel τα = α^{q}τ für α ∈ L) die Gleichung

∑_{i=0}^{2·deg a+2}(k_{a,i} γ(T)^{q^{i}} + k_{a,i−1} g^{q^{i−1}} + k_{a,i−2} Δ^{q^{i−2}})τ^{i}

= ∑_{i=0}^{2·deg a+2}(k_{a,i} γ(T) + k_{a,i−1}^{q}g + k_{a,i−2}^{q^{2}} Δ)τ^{i}.

Für den Koeffizienten k_{a,0} gilt:

k_{a,0} = γ(a).

Der Koeffizientenvergleich von τ liefert dann

k_{a,1} · γ(T^{q} − T) = k_{a,0}^{q} g − k_{a,0} g.

Der Koeffizientenvergleich von τ^{i} für 2 ≤ i ≤ 2 · deg a führt zu

k_{a,i} · γ(T^{q^{i}} − T) = k_{a,i−1}^{q} g − k_{a,i−1} g^{q^{i−1}} + k_{a,i−2}^{q^{2}} Δ − k_{a,i−2} Δ^{q^{i−2}}.

Damit ist die Behauptung gezeigt.

Das nächste Lemma liefert eine geschlossene Formel für die beiden führenden Koeffizienten k_{a,2·deg a} und k_{a,2·deg a−1} von ϕ_{a} = ∑_{i=0}^{2·deg a} k_{a,i} τ^{i}. Für ein normiertes a sind sie nur abhängig von dessen Grad und ϕ, und es zeigt sich, dass der Leitkoeffizient sogar unabhängig von g berechnet werden kann.

3.2.3 Lemma. Sei a ∈ A = 𝔽_{q}[T] ein normiertes Polynom vom Grad d und ϕ : A → L{τ} ein Drinfeld-Modul vom Rang 2, gegeben durch ϕ_{T} := γ(T)+g τ +Δ τ^{2}. Weiter seien k_{a,1}, …, k_{a,2d} die Koeffizienten von

ϕ_{a} = γ(a) + k_{a,1} τ + ⋯ + k_{a,2d−1} τ^{2d−1} + k_{a,2d} τ^{2d}.

Dann gilt für die beiden führenden Koeffizienten:

(i)

k_{a,2d} = Δ^{\frac{q^{2d}−1}{q^{2}−1}} und

(ii)

k_{a,2d−1} = Δ^{\frac{q^{2d}−1}{q^{2}−1}} ∑_{i=o}^{d−1} g^{q^{2i}}Δ^{− \frac{q^{2d−1}+q^{2i}}{q+1}} .

Beweis. (i) Sei a = ∑_{j=0}^{d} a_{j}T^{j}, dann gilt

γ(a) + k_{a,1} τ + ⋯ + k_{a,2d} τ^{2d} = ϕ_{a} = ϕ_{∑_{j=0}^{d} a_{j}T^{j}} = ∑_{j=0}^{d}(a_{j} ϕ_{T^{j}}).

Zum Koeffizienten von τ^{2d} trägt nur der Summand a_{d}ϕ_{T^{d}} = ϕ_{T^{d}} etwas bei. Wegen ϕ_{T^{d}} = (ϕ_{T})^{d} und der Kommutatorregel τ^{2}a = a^{q^{2}}τ folgt demnach:

k_{a,2d} τ^{2d} = ∏_{j=1}^{d} Δτ^{2} da dies der einzige Term ist,

in dem τ den Grad 2d hat

= Δ^{∑_{j=0}^{d−1}(q^{2})^{j}} τ^{2d}
= Δ^{\frac{q^{2d}−1}{q^{2}−1}} τ^{2d}

und damit die Behauptung (i).

(ii) Wie in (i), kann auch zum Koeffizienten k_{2d−1} nur ϕ_{T^{d}} = (ϕ_{T})^{d} einen Betrag leisten. Multipliziert man diesen Term nach der Kommutatorregel aus und sortiert nach Potenzen von τ, so ist der Koeffizient von τ^{2d−1} eine Summe von Termen K_{i} mit

K_{i} τ^{2d−1} = \underbrace{Δ τ^{2}_{0} ⋯ Δ τ^{2} g τ_{i−1} Δ τ^{2} ⋯ Δ τ^{2}_{d−1}}_{d Faktoren, g τ steht an der i − 1-ten Stelle} für 1 ≤ i ≤ d

und somit ist

K_{i} = g^{q^{2i}} \underbrace{Δ^{∑_{j=1}^{i−1} q^{2j}}}_{Δ’s vor g} \underbrace{Δ^{∑_{j=i+1}^{d−1} q^{2j−1}}}_{Δ’s nach g}

= g^{q^{2i}}Δ^{∑_{j=0}^{d−1} q^{2j}+ \frac{1}{q} ∑_{j=i+1}^{d−1} q^{2j}−∑_{j=i+1}^{d−1} q^{2j}−q^{2i}}
= g^{q^{2i}}Δ^{\frac{q^{2d}−1}{q^{2}−1}} Δ^{\frac{1−q}{q} ( \frac{q^{2d}−1}{q^{2}−1} − \frac{q^{2(i+1)}−1}{q^{2}−1} )}Δ^{−q^{2i}}
= g^{q^{2i}}Δ^{\frac{q^{2d}−1}{q^{2}−1}} Δ^{− \frac{q^{2d−1}+q^{2i}}{q+1}} .

Insgesamt folgt damit (ii), da

k_{a,2d−1} = ∑_{i=0}^{d−1} K_{i}

= Δ^{\frac{q^{2d}−1}{q^{2}−1}} ∑_{i=0}^{d−1} g^{q^{2i}}Δ^{− \frac{q^{2d−1}+q^{2i}}{q+1}}

ist.

3.3 Die Hasse-Invariante

Sei L eine endliche Erweiterung von 𝔽_{𝔭} und P ein normierter Erzeuger von 𝔭 mit Grad d. Betrachtet man

ϕ_{P} = ∑_{i=0}^{2·d} k_{P,i}τ^{i},

so kann man mit Hilfe der Formeln aus dem vorangegangenen Abschnitt einige Aussagen über die Koeffizienten k_{P,i} machen.

Es gilt ([Gos96, Proposition 3.1.6]):

T^{q^{i}} − T = ∏_{h∈A h normiert und prim deg h|i} h.

Damit folgt die Äquivalenz

γ(T^{q^{i}} − T) = 0 ⟺ i ≡ 0 (d).

Da k_{P,0} = γ(f) = 0 ist und γ(T^{q^{i}} − T) ≠ 0 für 0 < i < d ist, folgt mit der Rekursion aus Lemma 3.2.2, dass alle Koeffizienten bis k_{P,d} verschwinden müssen, d. h. es folgt

ϕ_{P} = ∑_{i=d}^{2·d} k_{P,i}τ^{i}.  (3.2)

3.3.1 Definition. Der Koeffizient k_{P,d} von ϕ_{P} heißt die Hasse-Invariante von ϕ und wird mit H(ϕ) bezeichnet.

3.3.2 Proposition. Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

(i) H(ϕ) = 0.

(ii) ϕ_{P} ist rein inseparabel.

(iii) _{P}ϕ(\overline{L}) = \{0\}.

(iv) ht(ϕ) = rg(ϕ).

Beweis. Die Implikation (i) ⇒ (ii) folgt wieder aus Lemma 3.2.2. Ist H(ϕ) = k_{P,d} = 0, so müssen wegen

γ(T^{q^{i}} − T) ≠ 0 für d < i < 2d

3.3. Die Hasse-Invariante

die Koeffizienten k_{P,d+1}, … k_{P,2d−1} gleich Null sein und damit ist

ϕ_{P} = k_{P,2d}τ^{2d}.

Die restlichen Folgerungen sind offensichtlich.

3.3.3 Definition. Ein Drinfeld-Modul heißt supersingulär, wenn er die Bedingungen aus Proposition 3.3.2 erfüllt.

Ob Drinfeld-Moduln supersingulär sind hängt, nur von ihrer \overline{L}-Isomorphieklasse, d. h. von ihrer j-Invariante ab. Außerdem zeigt Proposition 2.1.3, dass Supersingularität eine Eigenschaft der Isogenieklasse ist.

3.3.4 Lemma. Sei ϕ ein Drinfeld-Modul über L mit j(ϕ) = 0, d. h. ϕ ist gegeben durch ϕ_{T} = γ(T) + Δ τ^{2}, dann ist

ϕ supersingulär, falls deg 𝔭 ungerade ist, und

ϕ ist nicht supersingulär, falls deg 𝔭 gerade ist.

Beweis. Siehe [Gek83, Lemma 5.8 und Satz 5.9] zusammen mit Proposition 3.3.2.

Sind ϕ und ϕ′ isomorph über L, d. h. falls ein ξ ∈ L^{∗} existiert mit ϕ_{T} = ξ^{−1}∘ϕ′_{T} ∘ξ, dann ergibt sich damit für die Koeffizienten von

ϕ_{P} = ∑_{i=d}^{2·d} k_{P,i} τ^{i} und

ϕ′_{P} = ∑_{i=d}^{2·d} k′_{P,i} τ^{i}

die folgende Beziehung:

k′_{P,i} = ξ^{q^{i}−1} k_{P,i} für d ≤ i ≤ 2 d.

Also gilt insbesondere H(ϕ′) = ξ^{q^{d}−1} H(ϕ), und damit ist

N_{𝔽_{𝔭}}^{L} (H(ϕ′)) = N_{𝔽_{𝔭}}^{L} (ξ^{q^{d}−1} H(ϕ)) = N_{𝔽_{𝔭}}^{L} (H(ϕ)).

Die Norm von L nach 𝔽_{𝔭} der Hasse-Invariante ist also nur von der L-Isomorphieklasse des Drinfeld-Moduls abhängig.

KAPITEL 3. Rang 2 Drinfeld-Moduln

54

Das charakteristische Polynom

4.1 Theoretische Grundlagen

Sei ϕ ein Drinfeld-Modul über dem endlichen A-Körper L. Der Frobenius F von L ist ein Element von L{τ} und kommutiert für alle a ∈ A mit ϕ_{a}. Damit liegt F in dem Endomorphismenring von ϕ und besitzt ein Bild unter der Darstellung

i_{𝔮} : End(ϕ) ⊗_{ν} A_{ν} ↪ End_{A_{ν}}(T_{ν}(ϕ)) ≅ Mat(rg(ϕ), A_{ν}).

Auf diese Weise wird dem Drinfeld-Modul ϕ das charakteristische Polynom P_{ϕ,𝔮} von i_{𝔮}(F) zugeordnet. Aus [Gek91] weiß man, dass die Koeffizienten von P_{ϕ,𝔮} schon in A liegen, d. h. P_{ϕ,𝔮} = P_{ϕ} ist unabhängig von der Wahl der Stelle 𝔮. Das Absolutglied ist bis auf einen Faktor aus 𝔽_{q}^{∗} festgelegt. Des Weiteren ist P_{ϕ} eine Invariante der Isomorphieklasse von ϕ. Der folgende Abschnitt enthält diese grundlegenden Aussagen aus [Gek91] bzw.

[GS96] und gibt im Wesentlichen die dort geführten Beweise wieder.

Die Ausführungen stehen in engem Zusammenhang mit denen über den Endomorphismenring von Drinfeld-Moduln über endlichen Körpern aus Paragraph 2.2, und es gelten die an dieser Stelle eingeführten Bezeichnungen. D. h.: L ist ein endlicher A-Körper der Charakteristik 𝔭 und ϕ ein Rang r Drinfeld-Modul.

L 𝔽_{𝔭} 𝔽_{q} d { m {  } n

K wird via ϕ in L(τ) eingebettet und F ist der Frobenius des endlichen Körpers L. Die folgende Situation ist also gegeben ([GS96, Seite 73]):

KAPITEL 4. Das charakteristische Polynom

K  𝔽_{q} (F) E = K(F) D = End(ϕ) ⊗ K L(τ) r_{1} { r_{2}^{2} { n^{2} {  } n/r_{2} ν_{𝔭} w(F = 0) ∞ ∞_{E} (F = ∞) .

Als Erzeuger der Erweiterung E/K besitzt F das Minimalpolynom M_{ϕ}(X) des Grades r_{1} über A. Des Weiteren hat man für jede Stelle ν ∈ S(K) mit ν ≠ ν_{𝔭} die Einbettung

i_{𝔮} : End(ϕ) ⊗_{ν} A_{ν} ↪ End_{A_{ν}}(T_{ν}(ϕ)) ≅ Mat(r, A_{ν}) (siehe 2.3.4).

Sei P_{ϕ}(X) das charakteristische Polynom von i_{𝔮}(F) ∈ End_{A_{ν}}(T_{ν}(ϕ)) vom Grad r über A_{ν}. Das folgende Lemma zeigt den Zusammenhang zwischen M_{ϕ}(X) und P_{ϕ}(X). Sei N : D → K die Hintereinanderausführung der reduzierten Norm _{red}N_{E}^{D} und der Norm N_{K}^{E} von E nach K.

[figure: K; E = K(F); D = End(ϕ) ⊗ K; End_{A_{ν}}(T_{ν}(ϕ)); i_{𝔮}; ^{NE K}; ^{^{red}ND E}; N; det]

4.1.1 Lemma. Sei u ∈ End(ϕ). Es gilt:

(i) N(u) = det(i_{ν}(u)).

(ii) P_{ϕ}(X) = M(X)_{ϕ}^{r_{2}}. Insbesondere hat P_{ϕ} also Koeffizienten in A unabhängig von der Wahl von ν ≠ ν_{𝔭}.

4.1. Theoretische Grundlagen

Beweis. (i) Die Abbildung N stimmt auf maximalen Unterkörpern H ⊆ D mit der Körpernorm N_{K}^{H} überein. Für alle 𝔮 ≠ 𝔭 ist i_{ν_{𝔮}}(H)⊗K_{𝔮} eine maximale K_{𝔮}-Unteralgebra von End_{K_{𝔮}}(T_{𝔮}(ϕ)⊗ K_{𝔮}), deren Norm nach K_{𝔮} durch die Determinantenabbildung gegeben ist. Somit gilt

N |_{H} = (det ∘ i_{ν})|_{H}

für alle maximalen Unterkörper H von End(ϕ) ⊗ K, so dass

N = det ∘ i_{ν}

ist.

(ii) Sei t ∈ E. Dann folgt die Behauptung, falls P_{ϕ}(t) = M_{ϕ}(t)^{r_{2}}gilt.

P_{ϕ}(t) = det(i_{ν}(t − F)) =^{(i)} N((t − F)
= N_{K}^{E} ∘_{red}N_{E}^{D}(t − F)  und mit t − F ∈ E
= N_{K}^{E}(t − F)^{r_{2}}
= (N_{K}^{E}(t − F))^{r_{2}}  und mit E = K(F)
= (M_{ϕ}(t))^{r_{2}}.

Damit stimmen die Polynome überein. Da M_{ϕ}(X) Koeffizienten in A hat und unabhängig von der Wahl der Stelle ν ist, gilt dies auch für P_{ϕ}(X).

Damit lässt sich nun zeigen, dass das charakteristische Polynom den Drinfeld-Modul bis auf Isogenie eindeutig bestimmt.

4.1.2 Proposition. Für zwei Drinfeld-Moduln ϕ und ψ des Ranges r über L sind die folgenden Aussagen äquivalent:

(i) ϕ und ψ sind isogen über L.

(ii) End(ϕ) ⊗ K und End(ψ) ⊗ K sind F-isomorphe K-Algebren, d. h. es existiert ein K-Isomorphismus, der mit den jeweiligen Aktionen der Frobenius-Elemente verträglich ist.

(iii) Die Unterkörper E_{ϕ} ↪End(ϕ)⊗K und E_{ψ} ↪End(ψ)⊗K sind F-isomorph.

(iv) P_{ϕ}(X) = P_{ψ}(X).

(v) M_{ϕ}(X) = M_{ψ}(X).

Beweis. Die Äquivalenz (iv) ⇔ (v) folgt sofort aus Lemma 4.1.1.

(ii) ⇔ (iii) ⇔ (v):

Die Folgerung (ii) ⇒ (iii) gilt trivialerweise, denn wenn End(ϕ)⊗K und End(ψ)⊗ K F-isomorph sind, dann erst recht die Unterkörper E_{ϕ} und E_{ψ}. Genauso folgt die Äquivalenz (iii) ⇔ (v) sofort. Aus Proposition 2.2.4 folgt, dass sich ein F-Isomorphismus von E_{ϕ} und E_{ψ} eindeutig zu einem F-Isomorphismus von End(ϕ) ⊗ K und End(ψ) ⊗ K fortsetzen lässt, und damit die Implikation (iii) ⇒ (ii) folgt.

(i) ⇒ (v):

Sei u : ϕ → ψ eine Isogenie von ϕ nach ψ, d. h. u ∈ L{τ} mit u ∘ ϕ_{a} = ψ_{a} ∘ u für alle a ∈ A. Sei M_{ϕ}(X) = ∑ a_{i}X^{i} das Minimalpolynom von F bzgl. der Einbettung ϕ : K ↪L{τ}. Es gilt:

0 = u ∘ M_{ϕ}(F) = u ∘ ∑ ϕ_{a_{i}} ∘ F^{i}
= u ∘ ∑ F^{i} ∘ ϕ_{a_{i}} = ∑ u ∘ F^{i} ∘ ϕ_{a_{i}}
= ∑ F^{i} ∘ u ∘ ϕ_{a_{i}} = ∑ F^{i} ∘ ψ_{a_{i}} ∘ u
= ∑ ψ_{a_{i}} ∘ F^{i} ∘ u.

Damit folgt ∑ ψ_{a_{i}}F^{i} = 0, so dass gilt M_{ϕ}|M_{ψ} und damit schon M_{ϕ} = M_{ψ}.

Schließlich noch (ii) ⇒ (i):

Sei α : End(ϕ) ⊗ K → End(ψ) ⊗ K ein F-Isomorphismus. Aus dem Theorem von Skolem-Noether ([Gos96, Theorem 4.11.12]) folgt, dass ein Isomorphismus einer zentral einfachen Algebra durch einen inneren Isomorphismus induziert wird. Hieraus folgt die Existenz eines invertierbaren u ∈ L(τ) mit der Eigenschaft α(f) = u ∘ f ∘ u^{−1} für f ∈ End(ϕ) ⊗ K. Da aber L(τ) = L{τ} ⊗_{𝔽_{q}{F}} 𝔽_{q}(F) und Zentr(End(ϕ) ⊗ K) = 𝔽_{q}(F) ist, lässt sich u aus L{τ} wählen. Da α ein K-Algebraisomorphismus ist, gilt für alle k ∈ K

u ∘ ϕ_{k} ∘ u^{−1} = α(ϕ_{k}) = α(ϕ(k)) = ψ(k) = ψ_{k}.

Insbesondere u ∘ ϕ_{a} = ψ_{a} ∘ u für alle a ∈ A, d. h. u ist eine Isogenie, womit die Proposition bewiesen ist.

Die folgende Proposition beschriebt das Absolutglied des charakteristischen Polynoms:

4.1.3 Proposition. Es gilt:

(P_{ϕ}(0)) = 𝔭^{m}.

Beweis. Nach Lemma 4.1.1 folgt

P_{ϕ}(0) = M_{ϕ}(0)^{r_{2}} = N_{K}^{E}(F)^{r_{2}}.  (4.1)

Nach Proposition 2.2.4 gibt es eine eindeutig bestimmte Stelle von E, die F teilt, und diese liegt über 𝔭. Somit ist 𝔭 die einzige Stelle, die (P_{ϕ}(0)) teilt. Mit Proposition 1.1.4 folgt:

ν_{𝔭}(N_{K}^{E}(F)) = −\frac{1}{deg 𝔭} ∑_{\begin{matrix}𝔮∈S(K) \\ 𝔮≠𝔭 \end{matrix}}deg 𝔮 · ν_{𝔮}(N_{K}^{E}(F))

= −\frac{deg ∞}{deg 𝔭} · ν_{∞}(N_{K}^{E}(F)).

(4.2)

Aus (1.4) erhält man

N_{K}^{E}(F) = N_{K_{∞}}^{E_{∞}}(F).  (4.3)

Damit lässt sich nun der Exponent berechnen:

ν_{𝔭}(P_{ϕ}(0)) = ν_{𝔭}(N_{K}^{E}(F))^{r_{2}})
= r_{2} · ν_{𝔭}(N_{K}^{E}(F))  mit (4.2)
= −r_{2} · \frac{deg ∞}{deg 𝔭} · ν_{∞}(N_{K}^{E}(F))  mit (4.3)
= −r_{2} · \frac{deg ∞}{deg 𝔭} · ν_{∞}(N_{K_{∞}}^{E_{∞}}(F))  mit Proposition 1.1.9

= −r_{2} · \frac{deg ∞}{deg 𝔭} · [E_{∞} : K_{∞}] · ν_{∞}(F).

Mit [E_{∞} : K_{∞}] = [E : K], deg 𝔭 = d, r_{2} = r/[E : K] und ν_{∞}(F) = −\frac{n}{r·deg ∞} (2.4) folgt

ν_{𝔭}(P_{ϕ}(0)) = \frac{n}{d}
= m.

Also gilt die Behauptung.

4.1.4 Korollar. Existiert ein Drinfeld-Modul beliebigen Ranges über dem Körper L des Grades m über A/𝔭, so folgt, dass 𝔭^{m} ein Hauptideal ist.

Umgekehrt werden durch Proposition 4.1.3 die Möglichkeiten für die Wahl des Körpers L, über dem sich Drinfeld-Moduln definieren lassen, durch die notwendige Bedingung, dass 𝔭^{m} ein Hauptideal sein muss, eingeschränkt.

4.1.5 Proposition. Sei x eine Nullstelle von P_{ϕ}(X) in einer Erweiterung von K_{∞}. Dann gilt:

ν_{∞}(x) = −\frac{n}{r · deg ∞}.

Beweis. Aufgrund von Proposition 4.1.1 genügt es wieder, die Aussage für M_{ϕ} zu zeigen. Das Polynom M_{ϕ} ist aber auch das Minimalpolynom der Erweiterung E_{∞}/K_{∞}. Das Newtonpolygon besitzt daher eine einzige Strecke. Aus Proposition 4.1.3 folgt

ν_{∞}(P_{ϕ}(0)) = −\frac{deg 𝔭}{deg ∞} · m

= −\frac{n}{deg ∞},

so dass diese Strecke die Steigung \frac{n}{deg ∞·r} hat. Damit gilt die Behauptung.

4.2. Berechnung des charakteristischen Polynoms

4.2 Berechnung des charakteristischen Polynoms

Von nun an sei K der rationale Funktionenkörper 𝔽_{q}(T) und A der Polynomring in T. Der A-Körper L sei wie im vorherigen Abschnitt eine endliche Erweiterung vom Grad m über A/𝔭. Die Stelle 𝔭 habe den Grad d und es sei n = m · d.

Im Folgenden soll das charakteristische Polynom P_{ϕ}(X) eines Rang 2 Drinfeld-Moduls ϕ über L berechnet werden. P_{ϕ}(X) ∈ L{τ}[X] ist von der Form

P_{ϕ}(X) = X^{2} + aX + b,

mit a, b ∈ A.

Aus dem vorherigen Abschnitt sind die folgenden Eigenschaften bekannt:

(i) Sei f = P^{m} ein normierter Erzeuger von 𝔭^{m} = (P)^{m}, dann folgt aus Proposition 4.1.3, dass b bis auf einen Faktor aus 𝔽_{q}^{∗} dem Erzeuger f entspricht, d. h. es gilt:

b = ε_{ϕ} · f  mit ε_{ϕ} ∈ 𝔽_{q}^{∗}.  (4.4)

(ii) Für a die Spur des Frobenius folgt aus Proposition 4.1.5 die Abschätzung ν_{∞}(a) ≥ −\frac{n}{r·deg ∞} = −\frac{n}{2} , so dass

deg(a) ≤ ⌊\frac{n}{2}⌋  (4.5)

sein muss.

Also ist a = ∑_{i=0}^{⌊ \frac{n}{2} ⌋} a_{i}T^{i} und b = ε_{ϕ} · f = ε_{ϕ} ∑_{j=0}^{n} f_{j}T^{j}, mit a_{i}, f_{j} ∈ 𝔽_{q}.

Für das Frobeniuselement F des Körpers L gilt:

P_{ϕ}(F) = F^{2} + ϕ_{a} · F + ϕ_{b} = 0.  (4.6)

Dies lässt sich schreiben als

τ^{2n} + ϕ_{(∑_{i=0}^{⌊ \frac{n}{2} ⌋} a_{i}T^{i})} τ^{n} + ϕ_{(ε_{ϕ} ∑_{j=0}^{n} f_{j}T^{j})} = 0,

was äquivalent ist zu

τ^{2n} + (∑_{i=0}^{⌊ \frac{n}{2} ⌋} a_{i}ϕ_{T}^{i}) τ^{n} + ε_{ϕ} ∑_{j=0}^{n} f_{i}ϕ_{T}^{j} = 0.  (4.7)

Die Werte von f_{0}, …, f_{n} sind bekannt und der Koeffizientenvergleich von τ^{0}, …, τ^{2n} liefert 2n + 1 Gleichungen für die Unbekannten a_{0}, …, a_{⌊ \frac{n}{2} ⌋} und ε_{ϕ}.

Wie das folgende Beispiel verdeutlicht, hat das hieraus resultierende Gleichungssystem eine besonders einfache Gestalt.

4.2.1 Beispiel: Sei n = 6, und mit k_{x,i} werde der Koeffizient von τ^{i} in ϕ_{x} bezeichnet, dann liefert (4.7) das folgende Gleichungssystem:

k_{T^{3},6} · a_{3}  + k_{f,12} · ε_{ϕ} = −1
k_{T^{3},5} · a_{3}  + k_{f,11} · ε_{ϕ} = 0
k_{T^{3},4} · a_{3} + k_{T^{2},4} · a_{2}  + k_{f,10} · ε_{ϕ} = 0
k_{T^{3},3} · a_{3} + k_{T^{2},3} · a_{2}  + k_{f,9} · ε_{ϕ} = 0
k_{T^{3},2} · a_{3} + k_{T^{2},2} · a_{2} + k_{T^{1},2} · a_{1}  + k_{f,8} · ε_{ϕ} = 0
k_{T^{3},1} · a_{3} + k_{T^{2},1} · a_{2} + k_{T^{1},1} · a_{1}  + k_{f,7} · ε_{ϕ} = 0
k_{T^{3},0} · a_{3} + k_{T^{2},0} · a_{2} + k_{T^{1},0} · a_{1} + k_{T^{0},0} · a_{0} + k_{f,6} · ε_{ϕ} = 0
0 · ε_{ϕ} = 0
0 · ε_{ϕ} = 0
0 · ε_{ϕ} = 0
0 · ε_{ϕ} = 0
0 · ε_{ϕ} = 0
0 · ε_{ϕ} = 0

Dass die Koeffizienten k_{f,0}, … k_{f,n−1} verschwinden müssen, folgt aus (3.2). Denn es gilt

ϕ_{f} = ϕ_{P^{m}} = (ϕ_{P})^{m} = (∑_{i=d}^{2d} k_{P,i} τ^{i})^{m},

mit dem normierten Erzeuger P von 𝔭. Deshalb ist der Koeffizient von τ^{md} der erste Koeffizient, der von Null verschieden sein kann.

Im Fall, dass n ungerade ist, verschieben sich die Koeffizienten von a_{0}, …, a_{⌊ \frac{n}{2} ⌋} um eine Position nach unten. Sei n = 7, dann erhält man diese Gleichungen:

+ k_{f,14} · ε_{ϕ} = −1
k_{T^{3},6} · a_{3}  + k_{f,13} · ε_{ϕ} = 0
k_{T^{3},5} · a_{3}  + k_{f,12} · ε_{ϕ} = 0
k_{T^{3},4} · a_{3} + k_{T^{2},4} · a_{2}  + k_{f,11} · ε_{ϕ} = 0
k_{T^{3},3} · a_{3} + k_{T^{2},3} · a_{2}  + k_{f,10} · ε_{ϕ} = 0
k_{T^{3},2} · a_{3} + k_{T^{2},2} · a_{2} + k_{T^{1},2} · a_{1}  + k_{f,9} · ε_{ϕ} = 0
k_{T^{3},1} · a_{3} + k_{T^{2},1} · a_{2} + k_{T^{1},1} · a_{1}  + k_{f,8} · ε_{ϕ} = 0
k_{T^{3},0} · a_{3} + k_{T^{2},0} · a_{2} + k_{T^{1},0} · a_{1} + k_{T^{0},0} · a_{0} + k_{f,7} · ε_{ϕ} = 0
0 · ε_{ϕ} = 0
0 · ε_{ϕ} = 0
0 · ε_{ϕ} = 0
0 · ε_{ϕ} = 0
0 · ε_{ϕ} = 0
0 · ε_{ϕ} = 0
0 · ε_{ϕ} = 0

Die Leitkoeffizienten k_{T^{i},2i} für i = 1, …, ⌊\frac{n}{2}⌋ und i = n sind Potenzen von Δ (vgl. Lemma 3.2.3) und somit von Null verschieden. Daraus folgt, dass mit der Kenntnis von ε_{ϕ} das Gleichungssystem und damit a eindeutig bestimmt ist. Im nächsten Abschnitt wird eine explizite Formel für ε_{ϕ} bewiesen, so dass man in der Lage ist, mit Hilfe des Gleichungssystems die Koeffizienten a und b des charakteristische Polynom zu berechnen.

4.2.1 Die Berechnung von ε_{ϕ}

Die Hauptaussage dieses Paragraphen ist die Formel für den Faktor ε_{ϕ} im Absolutglied des charakteristischen Polynoms, für den gilt:

P_{ϕ}(X) = X^{2} + a X + ε_{ϕ} · f.

Eine solche Formel findet man in [HY00] für Drinfeld-Moduln von beliebigem Rang r über dem A-Körper L, wobei A nicht der Polynomring über T sein muss. Der dortige Beweis wird mit einigen Veränderungen für die Situation eines Rang 2 Drinfeld-Moduls über dem 𝔽_{q}[T]-Körper L vereinfacht. Dafür müssen zunächst einige Begriffe eingeführt werden.

4.2.2 Definition. Eine Signum-Funktion auf K_{∞} ist ein Homomorphismus

sgn : K_{∞}^{∗} ⟶ 𝔽_{q}^{∗},

der eingeschränkt auf 𝔽_{q}^{∗} die Identität ist.

Eine solche Funktion lässt sich durch die Definition sgn(0) := 0 auf ganz K_{∞} erweitern. Im Folgenden sei sgn eine festgewählte Funktion mit der obigen Eigenschaft.

4.2.3 Definition. Für eine Stelle 𝔭 ∈ S(K) und ein Element b ∈ A/𝔭 wird das (q−1)-Potenzrestsymbol als jenes Element \{\frac{a}{𝔭}\} aus 𝔽_{q}^{∗} definiert, welches durch die Kongruenz

\{\frac{b}{𝔭}\} ≡ b^{\frac{q^{deg 𝔭}−1}{q−1}} (mod 𝔭)

eindeutig bestimmt ist.

Für ein beliebiges Ideal 𝔞 = (a) und ein Element b ∈ A, das prim zu 𝔞 ist, erweitert man die obige Definition auf die folgende Weise:

\{\frac{b}{a}\} := \{\frac{b}{𝔞}\} := \{\frac{b}{𝔭_{1}} \}^{e_{1}} ⋯ \{\frac{b}{𝔭_{n}} \}^{e_{n}} ,

wobei 𝔭_{1}^{e_{1}} ⋯ 𝔭_{n}^{e_{n}} die Zerlegung von 𝔞 in Primfaktoren ist. Für das Potenzrestsymbol gilt das folgende Reziprozitätsgesetz.

4.2.4 Proposition. Für zwei zueinander prime Elemente a und b aus 𝔽_{q}[T] gilt:

\{\frac{a}{b}\} \{\frac{b}{a}\}^{−1} = sgn ((−1)^{deg a·deg b} \frac{a^{deg b}}{b^{deg a}} ) .

Beweis. Folgt aus [Neu86, Chapter IV, Theorem 9.3 und Chapter III, Theorem 5.4] angewendet auf diese spezielle Situation.

Damit stehen alle Mittel zur Verfügung, um die folgende Aussage zu beweisen.

4.2.5 Proposition. Sei A = 𝔽_{q}[T], 𝔭 eine Stelle von A mit normiertem Erzeuger f vom Grad d. Der Körper L sei eine endliche Erweiterung von 𝔽_{𝔭} = A/𝔭 des Grades m und n = m · d. Der Rang 2 Drinfeld-Modul ϕ über L sei gegeben durch ϕ_{T} = γ(T) + g τ + Δ τ^{2} mit g ∈ L, Δ ∈ L^{∗}. Für das charakteristische Polynom in der Form P_{ϕ}(X) = X^{2} + a X + b, mit b = ε_{ϕ} f gilt:

ε_{ϕ} = (−1)^{n} (Δ^{\frac{q^{n}−1}{q−1}} )^{−1}.  (4.8)

Beweis. Man kann ohne Beschränkung der Allgemeinheit voraussetzen, dass (𝔭, T) = 1 gilt. Wäre dies nicht der Fall, würde man T durch T′ = T + 1 ersetzen. Der Modul der T -Torsionspunkte _{T} ϕ ist ein zwei-dimensionaler Vektorraum über 𝔽_{T} := 𝔽_{q}[T]/(T). Der Frobenius F des Körpers L, gegeben durch

F : x ↦ x^{q^{n}},

operiert als 𝔽_{q}-linearer Automorphismus auf _{T} ϕ. Die Determinante dieses Automorphismus ist

det_{𝔽_{T}} (F) = b (mod T) = \{\frac{b}{T} \} .  (4.9)

Um die Behauptung zu erhalten, wird diese Determinante mit einer anderen Methode ein zweites Mal berechnet. Dazu schreibt man ϕ_{T} ∈ L{τ} in der Form

ϕ_{T} = γ(T) + g τ + Δ τ^{2} = Δ(τ^{2} + \frac{g}{Δ} τ + \frac{γ(T)}{Δ}τ^{0}).

Das Polynom \frac{ϕ_{T}}{Δ} ist, wenn man es als Element von L[X] auffasst, ein normiertes, 𝔽_{q}-lineares Polynom, welches sich über \overline{L} zerlegen lässt in

X^{q^{2}} + \frac{g}{Δ} X^{q} + \frac{γ(T)}{Δ} X = ∏_{h∈_{T} ϕ}(X − h).

Auf den F-stabilen Vektorraum _{T} ϕ lässt sich mit den Bezeichnungen H = _{T} ϕ und a_{0} = \frac{γ(T)}{Δ} Proposition 1.2.12 anwenden, so dass folgt:

det_{𝔽_{T}} (F) = N_{𝔽_{q}}^{L} (\frac{γ(T)}{Δ})

= N_{𝔽_{q}}^{L} (γ(T)) · N_{𝔽_{q}}^{L} (\frac{1}{Δ}).

(4.10)

Da γ(T) in 𝔽_{𝔭} liegt, berechnet sich seine Norm als

N_{𝔽_{q}}^{L} (γ(T)) = N_{𝔽_{q}}^{𝔽_{𝔭}} (γ(T))^{m}

= γ(T^{\frac{q^{d}−1}{q−1}} )^{m}

= \{\frac{T}{𝔭} \}^{m} mit 𝔭^{m} = (b) (Proposition 4.1.3)

= \{\frac{T}{b} \} .

(4.11)

Der Vergleich der beiden Beschreibungen von det_{𝔽_{T}} (F) in (4.9) und (4.10) liefert zusammen mit (4.11)

\{\frac{b}{T} \} = det_{𝔽_{T}} (F)

= N_{𝔽_{q}}^{L} (γ(T)) N_{𝔽_{q}}^{L} (\frac{1}{Δ})

= \{\frac{T}{b} \} N_{𝔽_{q}}^{L} (\frac{1}{Δ}).

Hierauf lässt sich das Reziprozitätsgesetz aus Proposition 4.2.4 anwenden, und man erhält mit

N_{𝔽_{q}}^{L} (\frac{1}{Δ}) = \{\frac{b}{T} \} \{\frac{T}{b} \}^{−1}
= sgn ((−1)^{deg b·deg T} \frac{b^{deg T}}{T^{deg b}} )
= (−1)^{n} sgn(b)

die Behauptung

ε_{ϕ} = sgn(b) = (−1)^{n} (Δ^{\frac{q^{n}−1}{q−1}} )^{−1}.

4.2.6 Bemerkung: Im Fall, dass n ungerade ist, folgt die Aussage auch direkt aus der ersten Gleichung des Gleichungssystems. Auch falls n gerade ist, kann man, wenn k_{T^{n},2n−1} (der zweit-höchste Koeffizient von ϕ_{𝔭}) nicht verschwindet, die Werte von ε_{ϕ} und a\frac{n}{2} direkt anhand der beiden ersten Gleichungen ermitteln. Wenn dies jedoch der Fall ist, kann nicht ausgeschlossen werden, dass jede zweite Gleichung nur die Information 0 = 0 enthält, so dass das System ohne die Kenntnis von ε_{ϕ} unterbestimmt wäre.

4.2.2 Die Berechnung des maximalen Koeffizienten von a

In (4.5) wurde schon gezeigt, dass a höchstens den Grad ⌊\frac{n}{2}⌋ besitzt. Falls n gerade ist, lässt sich aus [HY00, Theorem 4.5] eine Formel für den „maximal möglichen“ Koeffizienten a\frac{n}{2} von a = ∑i=0^{\frac{n}{2}} a_{i}T^{i} ableiten. Es zeigt sich, dass a\frac{n}{2} nur von Δ abhängt.

Diese Formel wird hier mittels des Gleichungssystems und der Aussage über ε_{ϕ} bewiesen, und zusätzlich wird eine ähnliche Formel im Fall „n ungerade“ für den Koeffizienten a_{\frac{n−1}{2}} gezeigt. In diesem Fall ist der maximal mögliche Koeffizient nicht mehr allein von Δ abhängig, er kann jedoch durch eine geschlossene Formel in g und j(ϕ) beschrieben werden.

4.2.7 Proposition. Für den maximal möglichen Koeffizienten der Spur des Frobenius gelten die folgenden Formeln:

(i) n gerade:

a\frac{n}{2} = − Tr_{𝔽_{q}}^{𝔽_{q^{2}}} ((Δ^{\frac{q^{n}−1}{q^{2}−1}} )^{−1}).

(ii) n ungerade: Falls g ≠ 0 ist, gilt:

a_{\frac{n−1}{2}} = (g^{\frac{q^{n}−1}{q−1}} )^{−1} Tr_{𝔽_{q}}^{L} (j(ϕ)^{\frac{q^{n}−q}{q^{2}−1} +1}).

Beweis. (i) Durch Vergleich der Koeffizienten von τ^{n} in (4.7) erhält man die Gleichheit

a\frac{n}{2} · k_{T ^{\frac{n}{2}} ,n} + ε_{ϕ} · k_{T^{n},2n} = −1.  (4.12)

Dabei treten die Leitkoeffizienten von ϕ_{T ^{\frac{n}{2}}} und ϕ_{T^{n}} auf, die sich mittels Lemma 3.2.3 berechnen lassen. Es gilt:

k_{T ^{\frac{n}{2}} ,n} = Δ^{\frac{q^{n}−1}{q^{2}−1}} , sowie
k_{T^{n},2n} = Δ^{\frac{q^{2n}−1}{q^{2}−1}} .

Für ε_{ϕ} gilt aufgrund von Proposition 4.2.5, dass

ε_{ϕ} = (Δ^{\frac{q^{n}−1}{q−1}} )^{−1}

ist, so dass sich a\frac{n}{2} bestimmen lässt, indem man diese Werte in (4.12) einsetzt:

a\frac{n}{2} · Δ^{\frac{q^{n}−1}{q^{2}−1}} + (Δ^{\frac{q^{n}−1}{q−1}} )^{−1} · Δ^{\frac{q^{2n}−1}{q^{2}−1}} = −1
⟺ a\frac{n}{2} · Δ^{\frac{q^{n}−1}{q^{2}−1}} + (Δ^{\frac{q^{n}−1}{q^{2}−1}} )^{−(q+1)} · (Δ^{\frac{q^{n}−1}{q^{2}−1}} )^{2} = −1
⟺  a\frac{n}{2} = −((Δ^{\frac{q^{n}−1}{q^{2}−1}} )^{−1} + (Δ^{\frac{q^{n}−1}{q^{2}−1}} )^{−q})
⟺  a\frac{n}{2} = − Tr_{𝔽_{q}}^{𝔽_{q^{2}}} ((Δ^{\frac{q^{n}−1}{q^{2}−1}} )^{−1}).

Damit ist Teil (i) bewiesen. (ii) Aufgrund der nachfolgenden Proposition 4.2.11 kann hier angenommen werden, dass g = 1 ist, da jeder Drinfeld-Modul (falls g ≠ 0) isomorph zu einem solchen ist. Der Koeffizientenvergleich von τ^{2n−1} in (4.7) liefert die Gleichung

a_{\frac{n−1}{2}} · k_{T ^{\frac{n−1}{2}} ,n−1} + ε_{ϕ} · k_{T^{n},2n−1} = 0.  (4.13)

Lemma 3.2.3 ergibt:

k_{T ^{\frac{n−1}{2}} ,n−1} = Δ^{\frac{q^{n−1}−1}{q^{2}−1}} ,
k_{T^{n},2n−1} = Δ^{\frac{q^{2n}−1}{q^{2}−1}} ∑_{i=0}^{n−1} g^{q^{2i}}Δ^{− \frac{q^{2n−1}+q^{2i}}{q+1}} = Δ^{\frac{q^{2n}−1}{q^{2}−1}} ∑_{i=0}^{n−1} Δ^{− \frac{q^{2n−1}+q^{2i}}{q+1}} .

Nach Proposition 4.2.5 folgt

ε_{ϕ} = −(Δ^{\frac{q^{n}−1}{q−1}} )^{−1}.

Behauptung: Für x ∈ L und ungerades n gilt:

x^{\frac{q^{2n}−1}{q^{2}−1}} = x^{\frac{q^{n}−1}{q−1}} .  (4.14)

Beweis.

x^{\frac{q^{2n}−1}{q^{2}−1}} = x^{\frac{q^{n}−1}{q−1} \frac{q^{n}+1}{q+1}}

= x^{( \frac{q^{n}−1}{q−1} ) (1+(q−1) \frac{(q^{n−1}−1)q}{q^{2}−1} )}

= x^{\frac{q^{n}−1}{q−1}} \underbrace{x^{(q^{n}−1) \frac{(q^{n−1}−1)q}{q^{2}−1}}}_{=1, da n ungerade und x∈L}

= x^{\frac{q^{n}−1}{q−1}} .

KAPITEL 4. Das charakteristische Polynom

Insgesamt folgt damit aus Gleichung (4.13)

a_{\frac{n−1}{2}} = (Δ^{\frac{q^{n−1}−1}{q^{2}−1}} )^{−1} ∑_{i=0}^{n−1} Δ^{− \frac{q^{2n−1}+q^{2i}}{q+1}}

= ∑_{i=0}^{n−1} Δ^{− \frac{q^{2n−1}+q^{2i}}{q+1} − \frac{q^{n−1}−1}{q^{2}−1}}

=: ∑_{i=0}^{n−1} h_{i}.

Für die rechte Seite von (ii) gilt:

Tr_{𝔽_{q}}^{L} (j(ϕ)^{\frac{q^{n}−q}{q^{2}−1} +1}) = ∑_{i=0}^{n−1}((\frac{1}{Δ})^{\frac{q^{n}−q}{q^{2}−1} +1})^{q^{i}}  (4.15)

= ∑_{i=0}^{n−1} Δ^{−( \frac{q^{n}−q}{q^{2}−1} +1)q^{i}}

= ∑_{i=0}^{n−1} k_{i},

mit

k_{i} := Δ^{−( \frac{q^{n}−q}{q^{2}−1} +1)q^{i}} für i ≥ 0.

Die rechte Seite von Gleichung (4.15) zeigt, dass k_{i+n} = k_{i} gilt. Behauptung: Es gilt:

h_{i} = k_{2i+n−1} für 0 ≤ i ≤ n − 1,

und damit ist

∑_{i=0}^{n−1} h_{i} = ∑_{i=0}^{n−1} k_{2i+n−1} = ∑_{i=0}^{n−1} k_{i}.

Beweis. Betrachtet man den Exponenten von Δ in

h_{i} = Δ^{− \frac{q^{2n−1}+q^{2i}}{q+1} − \frac{q^{n−1}−1}{q^{2}−1}}
= Δ^{e_{Δ,h_{i}}}

und

k_{2i+n−1} = Δ^{−( \frac{q^{n}−q}{q^{2}−1} +1)q^{2i+n−1}}
= Δ^{e_{Δ,k_{2i+n−1}}},

4.2. Berechnung des charakteristischen Polynoms

so ergibt sich

e_{Δ,h_{i}} − e_{Δ,k_{2i+n−1}}

= −\frac{q^{2n−1} + q^{2i}}{q + 1} − \frac{q^{n−1} − 1}{q^{2} − 1} + (\frac{q^{n} − q}{q^{2} − 1} + 1)q^{2i+n−1}

= \frac{−q^{2n} + q^{2n−1} − q^{2i+1} + q^{2i} − q^{n−1} + 1 + q^{2i+2n−1} − q^{2i+n} − q^{2i+n−1} + q^{2i+n+1}}{q^{2} − 1}

= \frac{−(q^{n} + 1)(q^{n} − 1) + q^{n−1}(q^{n} − 1) + q^{2i+n−1}(q^{n} − 1) + q^{2i+1}(q^{n} − 1) − q^{2i}(q^{n} − 1)}{q^{2} − 1}

= \frac{−(q^{n} + 1) + q^{n−1} + q^{2i+n−1} + q^{2i+1} − q^{2i}}{q^{2} − 1} (q^{n} − 1)

= (\frac{q^{n−1} − 1}{q^{2} − 1} + \frac{q^{2i+1} − q^{n}}{q^{2} − 1} + \frac{q^{2i+n−1} − q^{2i}}{q^{2} − 1} )(q^{n} − 1)

≡ 0 (q^{n} − 1). Damit gilt die Behauptung und insgesamt folgt (ii). Mit Hilfe dieser Proposition ist es in einigen Fällen möglich, einem Drinfeld-Modul anzusehen, ob der Koeffizient a des charakteristischen Polynom maximalen Grad besitzt. 4.2.8 Korollar. Sei ϕ ein Drinfeld-Modul mit g ≠ 0. Wenn gilt

(i) n ist gerade, char(L) ≠ 2 und

j(ϕ)^{\frac{q^{n}−1}{q^{2}−1}} ∈ 𝔽_{q},

bzw. (ii) n ist ungerade, char(L) ∤ n und

j(ϕ)^{\frac{q^{n}−q}{q^{2}−1} +1} ∈ 𝔽_{q},

dann nimmt a den maximal möglichen Grad an, ist also insbesondere nicht supersingulär. Beweis. (i) Wenn g ungleich Null ist, dann lässt sich Proposition 4.2.7 umformen zu

a\frac{n}{2} = − Tr_{𝔽_{q}}^{𝔽_{q^{2}}} ((Δ^{\frac{q^{n}−1}{q^{2}−1}} )^{−1})

= −(g^{\frac{q^{n}−1}{q−1}} )^{−1} Tr_{𝔽_{q}}^{𝔽_{q^{2}}} ((\frac{g^{q+1}}{Δ} )^{\frac{q^{n}−1}{q^{2}−1}} )

= −(g^{\frac{q^{n}−1}{q−1}} )^{−1} Tr_{𝔽_{q}}^{𝔽_{q^{2}}} (j(ϕ)^{\frac{q^{n}−1}{q^{2}−1}} ).

Liegt j(ϕ)^{\frac{q^{n}−1}{q^{2}−1}} schon in 𝔽_{q}, dann ist unter den gemachten Voraussetzungen

Tr_{𝔽_{q}}^{𝔽_{q^{2}}} (j(ϕ)^{\frac{q^{n}−1}{q^{2}−1}} ) = 2 · j(ϕ)^{\frac{q^{n}−1}{q^{2}−1}} ≠ 0,

und damit verschwindet der maximale Koeffizient a\frac{n}{2} nicht.

(ii) Wieder gilt: Liegt j(ϕ)^{\frac{q^{n}−q}{q^{2}−1} +1} schon in 𝔽_{q}, so ist nach Voraussetzung

Tr_{𝔽_{q}}^{L} (j(ϕ)^{\frac{q^{n}−q}{q^{2}−1} +1}) = n · j(ϕ)^{\frac{q^{n}−q}{q^{2}−1} +1} ≠ 0,

und der maximale Koeffizient

a_{\frac{n−1}{2}} = (g^{\frac{q^{n}−1}{q−1}} )^{−1} Tr_{𝔽_{q}}^{L} (j(ϕ)^{\frac{q^{n}−q}{q^{2}−1} +1})

muss von Null verschieden sein.

4.2.3 Die Berechnung von a mit Hilfe der Hasse-Invarianten

Eine andere Möglichkeit, das charakteristische Polynom zu bestimmen, ist mittels der in Abschnitt 3.3 eingeführten Hasse-Invariante. Die Gleichung (4.6) liefert durch Vergleich der Koeffizienten von τ^{n} die folgende Aussage:

k_{a,0} = −k_{b,n}.

Daraus ergibt sich:

4.2.9 Proposition. Sei P_{ϕ}(X) = X^{2} + aX + b das charakteristische Polynom von F und ε_{ϕ} der Leitkoeffizient von b, dann gilt:

γ(a) = −ε_{ϕ} N_{𝔽_{𝔭}}^{L} (H(ϕ)).

Beweis.

γ(a) = k_{a,0} = −k_{b,n}  mit b = ε_{ϕ} · f

= −ε_{ϕ} k_{f,n}

= −ε_{ϕ} k_{P^{m},n}  mit (3.2)

= −ε_{ϕ} ∏_{i=0}^{m−1} k_{P,d}^{q^{d i}}

= −ε_{ϕ} N_{𝔽_{𝔭}}^{L} (k_{P,d})

= −ε_{ϕ} N_{𝔽_{𝔭}}^{L} (H(ϕ)).

4.2.10 Korollar. Ist L = 𝔽_{𝔭}, dann gilt:

a = −ε_{ϕ} H(ϕ),  (4.16)

mit der Darstellung von H(ϕ) als Element von 𝔽_{q}[T]/𝔭.

Beweis. Die Strukturabbildung γ ist durch die Reduktion modulo 𝔭 vom Grad d gegeben. Der Koeffizient a hat nach (4.5) höchstens den Grad ⌊\frac{d}{2}⌋, so dass er durch die Kongruenz

a ≡ −ε_{ϕ} H(ϕ) (𝔭)

eindeutig charakterisiert ist.

Damit kennt man das charakteristische Polynom im Fall L = 𝔽_{𝔭} schon, wenn man die Werte ε_{ϕ} und H(ϕ) berechnet hat. Ist L eine echte Erweiterung von 𝔽_{𝔭} ist, so trifft dies nicht mehr zu, denn a kann dann auch vom Grad d oder größer sein, so dass es durch Lemma 4.2.9 nicht eindeutig festgelegt wird.

4.2.4 Das Verhalten des charakteristischen Polynoms unter \overline{L}-Isomorphie

Zwei Drinfeld-Moduln, die über L isogen sind, besitzen nach Proposition 4.1.2 das gleiche charakteristische Polynom. Insbesondere gilt diese Aussage für zwei Lisomorphe Drinfeld-Moduln. Es gibt aber Drinfeld-Moduln, die nicht zueinander isomorph sind über L, es jedoch werden, wenn man sie über \overline{L} betrachtet (vgl. Bemerkung 3.1.4). Die nächste Proposition zeigt, wie sich die charakteristischen Polynome solcher Drinfeld-Moduln zueinander verhalten.

4.2.11 Proposition. Sei ϕ ein Drinfeld-Modul über L, gegeben durch

ϕ_{T} = γ(T) + g τ + Δ τ^{2}.

Für ein Element ξ ∈ \overline{L}^{∗} gelte c := ξ^{q−1} ∈ L, und man definiert

ϕ_{T}^{(c)} := ξ^{−1} ∘ ϕ ∘ ξ,

so dass

ϕ_{T}^{(c)} = γ(T) + c · g τ + c^{q+1} · Δ τ^{2}

ist. Es gelten die folgenden Aussagen:

(i) Die Drinfeld-Moduln ϕ und ϕ^{(c)} haben die gleiche j-Invariante.

(ii) Sei P_{ϕ}(X) = X^{2} + a X + b das charakteristische Polynom bzgl. ϕ, dann hat ϕ^{(c)} das charakteristische Polynom

P_{ϕ^{(c)}}(X) = X^{2} + (_{\frac{1}{N_{𝔽q}^{L} (c)}}) · a X + (_{\frac{1}{N_{𝔽q}^{L} (c)}})^{2} · b.

Beweis. (i) Für die j-Invariante von ϕ^{(c)} gilt:

j(ϕ^{(c)}) = \frac{(c · g)^{q+1}}{c^{q+1} · Δ} = \frac{g^{q+1}}{Δ} = j(ϕ).

(ii) Der konstante Term von P_{ϕ^{(c)}}(X) ist ε_{ϕ^{(c)}} ·f und ε_{ϕ^{(c)}} wird mit Hilfe von (4.8) berechnet. Man erhält:

\begin{aligned}ε_{ϕ^{(c)}} & = (−1)^{n} ((c^{q+1} Δ)^{\frac{q^{n}−1}{q−1}} )^{−1} \\ & = (c^{\frac{q^{n}−1}{q−1}} )^{q+1} · (−1)^{n} (Δ^{\frac{q^{n}−1}{q−1}} )^{−1} \\ & = (_{\frac{1}{N_{𝔽q}^{L} (c)}})^{2} · ε_{ϕ}. \end{aligned}  (4.17)

Also ist ε_{ϕ^{(c)}} · f = (_{\frac{1}{N_{𝔽q}^{L} (c)}})^{2} · ε_{ϕ} · f, so dass die die Behauptung aus (ii) bzgl. des Absolutgliedes gezeigt ist.

Im Fall L = 𝔽_{𝔭} ließe sich die Aussage über den linearen Term direkt aus der Formel (4.16) herleiten. Für ein allgemeineres L betrachtet man die Gleichung (4.6) in der Form

P_{ϕ}(F) = F^{2} + (∑_{i=0}^{n} k_{a,i}^{ϕ}) · F + (∑_{i=0}^{2·n} k_{b,i}^{ϕ}) = 0.

Der Koeffizientenvergleich von τ^{n}, …, τ^{2n} liefert die Beziehungen

k_{a,i}^{ϕ} = −k_{b,n+i}^{ϕ} für i = 0, …, (n − 1) und
k_{a,n}^{ϕ} = −k_{b,2n}^{ϕ} − 1.

(4.18)

Auf die gleiche Weise erhält man für das charakteristische Polynom von F bzgl. ϕ^{(c)} mit den Koeffizienten a′ und b′

P_{ϕ^{(c)}}(F) = F^{2} + (∑_{i=0}^{n} k_{a′,i}^{ϕ^{(c)}}) · F + (∑_{i=0}^{2·n} k_{b′,i}^{ϕ^{(c)}}) = 0

die Gleichungen

k_{a′,i}^{ϕ^{(c)}} = −k_{b′,n+i}^{ϕ^{(c)}} für i = 0, …, (n − 1) und
k_{a′,n}^{ϕ^{(c)}} = −k_{b′,2n}^{ϕ^{(c)}} − 1.

(4.19)

4.2. Berechnung des charakteristischen Polynoms

Wegen (4.17) gilt b′ = (_{\frac{1}{N_{𝔽q}^{L} (c)}})^{2} · b, und für ein beliebiges x ∈ 𝔽_{q}[T] folgt aus der Definition von ϕ^{(c)}:

ϕ_{x}^{(c)} = ξ^{−1} ∘ ϕ_{x} ∘ ξ und deshalb
k_{x,i}^{ϕ^{(c)}} = ξ^{q^{i}−1}k_{x,i}^{ϕ} = c^{\frac{q^{i}−1}{q−1}} k_{x,i}^{ϕ} für i = 0, …, 2 · deg x.  (4.20)

Insgesamt erhält man mit (4.17) - (4.20), dass für i = 0, …, (n − 1) gilt

k_{a′,i}^{ϕ^{(c)}} = −k_{b′,n+i}^{ϕ^{(c)}}

⟺  k_{a′,i}^{ϕ^{(c)}} = −(_{\frac{1}{N_{𝔽q}^{L} (c)}})^{2} · k_{b,n+i}^{ϕ^{(c)}}
⟺ c^{\frac{q^{i}−1}{q−1}} · k_{a′,i}^{ϕ} = −(_{\frac{1}{N_{𝔽q}^{L} (c)}})^{2} · c^{\frac{q^{n+i}−1}{q−1}} · k_{b,n+i}^{ϕ}
⟺  k_{a′,i}^{ϕ} = −(_{\frac{1}{N_{𝔽q}^{L} (c)}})^{2} · c^{\frac{q^{i} (q^{n}−1)}{q−1}} · k_{b,n+i}^{ϕ}
⟺  k_{a′,i}^{ϕ} = −(_{\frac{1}{N_{𝔽q}^{L} (c)}})^{2} · (N_{𝔽_{q}}^{L} (c))^{q^{i}} · k_{b,n+i}^{ϕ}
⟺  k_{a′,i}^{ϕ} = −(_{\frac{1}{N_{𝔽q}^{L} (c)}}) · k_{b,n+i}^{ϕ}
⟺  k_{a′,i}^{ϕ} = (_{\frac{1}{N_{𝔽q}^{L} (c)}}) · k_{a,i}^{ϕ}.

Ganz analog folgert man

k_{a′,n}^{ϕ^{(c)}} = −k_{b′,2n}^{ϕ^{(c)}} − 1
⟺ c^{\frac{q^{n}−1}{q−1}} · k_{a′,n}^{ϕ} = −(_{\frac{1}{N_{𝔽q}^{L} (c)}})^{2} · c^{\frac{q^{2n}−1}{q−1}} · k_{b,2n}^{ϕ} − 1
⟺  (_{\frac{1}{N_{𝔽q}^{L} (c)}}) · k_{a′,n}^{ϕ} = −k_{b,2n}^{ϕ} − 1
⟺  k_{a′,n}^{ϕ} = (_{\frac{1}{N_{𝔽q}^{L} (c)}}) · k_{a,n}^{ϕ}.

Es gilt also für alle i = 0, …, n

k_{a′,i}^{ϕ} = (_{\frac{1}{N_{𝔽q}^{L} (c)}}) · k_{a,i}^{ϕ},

und damit

ϕ_{a′} = ϕ(_{\frac{1}{N_{𝔽q}^{L} (c)}}) · a ,

so dass aus der Injektivität von ϕ die Gleichheit

a′ = (_{\frac{1}{N_{𝔽q}^{L} (c)}}) · a

folgt. Zusammen mit (4.17) liefert dies die Behauptung P_{ϕ^{(c)}}(X) = X^{2} + (_{\frac{1}{N_{𝔽q}^{L} (c)}}) · a X + (_{\frac{1}{N_{𝔽q}^{L} (c)}})^{2} · b.

KAPITEL 4. Das charakteristische Polynom

74

Verteilungen von charakteristischen Polynomen

Nachdem wir in der Lage sind, das charakteristische Polynom zu berechnen, soll jetzt die Verteilung von charakteristischen Polynomen in den folgenden drei Situationen untersucht werden.

Fall (a)

A = 𝔽_{q}[T], K = 𝔽_{q}(T), L = 𝔽_{𝔭} = A/𝔭 mit 𝔭 ∈ S(K)

Berechnet werden die charakteristischen Polynome aller Drinfeld-Moduln vom Rang 2 über dem endlichen Körper L. Dies wird für alle 𝔭 bis zu einem gewissen Grad durchgeführt.

Fall (b)

A = 𝔽_{q}[T], K = 𝔽_{q}(T), L = 𝔽_{𝔭^{m}} für ein festes 𝔭 ∈ S(K)

Berechnet werden die charakteristischen Polynome aller Drinfeld-Moduln vom Rang 2 über dem endlichen Körper L. Die Stelle 𝔭 wird fest gewählt, während m wächst.

Fall (c)

A = 𝔽_{q}[T], K = 𝔽_{q}(T), L = K

Der Rang 2 Drinfeld-Modul ϕ über K wird an den Stellen 𝔭 ∈ S_{ϕ}(K) reduziert und das charakteristische Polynom für red_{𝔭} ∘ ϕ bestimmt. Dies geschieht für alle 𝔭 bis zu einem gewissen Grad.

KAPITEL 5. Verteilungen von charakteristischen Polynomen

Im analogen Fall von elliptischen Kurven wurden entsprechende Untersuchungen durchgeführt in [Tat65](Fall (c)), [Bir68](Fall (a)) und [Yos73](Fall (b)). Ähnlich der dortigen Situation interessieren wir uns für das statistische Verhalten der auftretenden Frobeniuselemente bzw. ihrer charakteristischen Polynome.

5.1 Umfang und Durchführung der Berechnungen im Fall (a)

5.1.1 Übersicht

Berechnet werden die charakteristischen Polynome für alle Rang 2 Drinfeld-Moduln über dem endlichen Körper 𝔽_{𝔭} = 𝔽_{q}[T]/𝔭 für alle 𝔭 bis zu einem gewissen Grad. Für diese Situation fanden die umfangreichsten Untersuchungen statt und die nachfolgende Tabelle zeigt, welche Fälle ausgewertet wurden.

Tabelle 5.1: Übersicht der Berechnungen im Fall (a)

q Grad Anzahl der primen 𝔭 vom Grad d Anzahl der Drinfeld-Moduln über 𝔽_{𝔭} Anzahl der Isomorphieklassen von Drinfeld-Moduln über 𝔽_{𝔭}

2  1  2  2  2
2  1  12  6
3  2  56  8
4  3  240  18
5  6  992  32
6  9  4032  66
7  18  16256  128
8  30  65280  258
9  56  261632  512
10  99  1047552  1026
11  186  4192256  2048
12  335  16773120  4098
13  630  67100672  8192
14  1161  268419072  16386
15  2182  1073709056  32768
4  1  4  12  12
2  6  240  60
3  20  4032  192
4  60  65280  780
5  204  1047552  3072
6  670  16773120  12300

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5.1. Umfang und Durchführung der Berechnungen im Fall (a)

Fortsetzung

7  2340  268419072  49152
3  1  3  6  6
2  3  72  24
3  8  702  54
4  18  6480  168
5  48  58806  486
6  116  530712  1464
7  312  4780782  4374
8  810  43040160  13128
9  2184  387400806  39366
9  1  9  72  72
2  36  6480  720
3  240  530712  5832
4  1620  43040160  52560
5  1  5  20  20
2  10  600  120
3  40  15500  500
4  150  390000  2520
5  624  9762500  12500
6  2580  244125000  62520
7  1  7  42  42
2  21  2352  336
3  112  117306  2058
4  588  5762400  14448
5  3360  282458442  100842

5.1.2 Der Algorithmus

Der Algorithmus, mit dem Fall (a) berechnet wird, wird kurz erläutert. Zu konkreteren Fragen der Implementierung und des Laufzeitverhaltens sei auf Abschnitt 5.6 verwiesen.

Obwohl L im Fall (a) der Körper 𝔽_{𝔭} selbst ist, wird der Algorithmus hier mit den Bezeichnungen des allgemeinen Falles einer endlichen Erweiterung vom Grad m über 𝔽_{𝔭} beschrieben. Auf diese Weise lässt er sich direkt auf den Fall (b)

übertragen. L 𝔽_{𝔭} 𝔽_{q} d { m {  } n

Proposition 4.1.2, aus der folgt, dass isogene Drinfeld-Moduln das gleiche charakteristische Polynom besitzen, erlaubt es, die Berechnungen in einem ersten Schritt zu vereinfachen. Dies gilt insbesondere für isomorphe Drinfeld-Moduln. In Proposition 3.1.5 wird gezeigt, wie ein Repräsentantensystem der Isomorphieklassen endlicher Drinfeld-Moduln vom Rang 2 aussieht, und welche Mächtigkeiten die einzelnen Klassen besitzen.

Durch Ausprobieren wird ein Erzeuger a der multiplikativen Gruppe L^{∗} bestimmt. Anschliesend wird ein Repräsentantensystem der Isomorphieklassen von Rang 2 Drinfeld-Moduln über L durchlaufen, und für diese das charakteristische Polynom berechnet. Der nachstehende Algorithmus illustriert dieses Verfahren.

5.1.1 Algorithmus.

begin bestimme Erzeuger a von L if n gerade then for i := 0 to q − 2 do

g := a^{i}

for j := 0 to q^{n} − 2 do Δ := a^{j}; berechne das charakteristische Polynom von ϕ_{g,Δ};

od od g := 0; for j := 0 to q^{2} − 2 do

Δ := a^{j};

berechne das charakteristische Polynom von ϕ_{g,Δ}; od

else

for i := 0 to q − 2 do

g := a^{i}

for j := 0 to q^{n} − 2 do Δ := a^{j}; berechne das charakteristische Polynom von ϕ_{g,Δ};

od od g := 0; for j := 0 to q − 2 do

Δ := a^{j};

berechne das charakteristische Polynom von ϕ_{g,Δ}; od

fi end

Aufgrund dieser Vorgehensweise muss das charakteristische Polynom nur für (q − 1) q^{n} Drinfeld-Moduln, falls n gerade ist, und für (q − 1) (q^{n} + q) Drinfeld-Moduln, falls n ungerade ist, berechnet werden. Im Gegensatz dazu stehen q^{n} (q^{n} − 1) Fälle, würde man es für jeden Drinfeld-Modul einzeln berechnen.

Da der Grad von a_{ϕ_{g,Δ}} kleiner oder gleich ⌊\frac{n}{2}⌋ ist und ε_{ϕ_{g,Δ}} in 𝔽_{q}^{∗} liegt, gibt es für das charakteristische Polynom

P_{ϕ_{g,Δ}} = X^{2} + a_{ϕ_{g,Δ}} X + ε_{ϕ_{g,Δ}} · f

nur endlich viele Möglichkeiten. Die Häufigkeiten der einzelnen charakteristischen Polynome beim Durchlaufen des Repräsentantensystems lassen sich in einem q^{⌊ \frac{n}{2} ⌋+2} Zellen großen Feld abspeichern. Um die absolute Anzahl von Drinfeld-Moduln zu ermitteln, muss jede Isomorphieklasse mit ihrer Mächtigkeit (siehe Proposition 3.1.5 (iii)) gewichtet werden. Im Fall „n ungerade“ sind alle Klassen gleichmächtig mit \frac{q^{n}−1}{q−1} Elementen pro Klasse. Für „n gerade“ haben die q^{2} − 1 Klassen der Drinfeld-Moduln mit g = 0 die Mächtigkeit \frac{q^{n}−1}{q^{2}−1} im Gegensatz zu der Größe \frac{q^{n}−1}{q−1} der anderen Klassen, so dass diese etwas stärker gewichtet werden. Die Berechnung des charakteristischen Polynoms für einen einzelnen Vertreter ϕ einer Isomorphieklasse geschieht auf die folgende Weise:

• Berechne den Leitkoeffizienten ε_{ϕ} von b mittels der Formel aus Proposition

4.2.5

ε_{ϕ} = (−1)^{n} (Δ^{\frac{q^{n}−1}{q−1}} )^{−1}.

• Löse für die Koeffizienten a_{0}, …, a_{⌊ \frac{n}{2} ⌋} von a = ∑_{i=0}^{⌊ \frac{n}{2} ⌋} a_{i}T^{i} das Gleichungssystem, welches der Koeffizientenvergleich von τ^{n}, …, τ^{2n} aus der Gleichung (4.7)

τ^{2n} + (∑_{i=0}^{⌊ \frac{n}{2} ⌋} a_{i}ϕ_{T}^{i}) τ^{n} + ε_{ϕ}ϕ_{f} = 0

liefert.

Wie Beispiel 4.2.1 illustriert, hat dieses Gleichungssystem eine besonders einfache Gestalt. Aus Lemma 3.2.3 folgt, dass für die Leitkoeffizienten k_{T^{j},2j} von ϕ_{T^{j}} gilt

k_{T^{j},2j} = Δ^{\frac{q^{2j} −1}{q^{2}−1}} für j = 0, …, ⌊\frac{n}{2}⌋.

Diese Koeffizienten sind insbesondere von Null verschieden. Damit lassen sich a_{0}, …, a_{⌊ \frac{n}{2} ⌋} durch die folgende Vorschrift berechnen.

5.1.2 Algorithmus.

begin berechne ϕ_{f} = ∑_{l=0}^{2n} k_{f,l} τ^{l};

for i := 0 to ⌊\frac{n}{2}⌋ do

berechne ϕ_{T^{i}} = ∑_{l=0}^{2l} k_{T^{i},l} τ^{l}; od if n gerade then

a_{⌊ \frac{n}{2} ⌋} := −ε_{ϕ} · k_{f,2n} − 1;

else

a_{⌊ \frac{n}{2} ⌋} := −ε_{ϕ} · k_{f,2n−1};

fi

for i := ⌊\frac{n}{2}⌋ − 1 to 0 do

a_{i} := −^{\frac{ε_{ϕ}·k_{f,2i+n}+∑_{l=i+1}^{⌊ \frac{n}{2} ⌋} a_{l}k_{T^{l},2i}}{k_{T^{i},2i}}}; od

end

Um die Koeffizienten zu bestimmen, genügt es also, die ⌊\frac{n}{2}⌋ Gleichungen, die durch den Vergleich von τ^{n}, τ^{n+2}, …, τ^{n+2⌊ \frac{n}{2} ⌋} gegeben sind, zu berücksichtigen.

5.2 Ergebnisse und Beobachtungen im Fall (a)

5.2.1 Verteilungen für festes 𝔭

In diesem Abschnitt wird die Verteilung aller (q^{d}−1) q^{d} charakteristischen Polynome über dem Körper 𝔽_{𝔭} für ein festes 𝔭 des Grades d untersucht. Die Tabellen A.1 und A.2 zeigen zwei solche Verteilungen ausschnittsweise.

Eine erste Auffälligkeit sind die großen Unterschiede in den Verteilungen abhängig von der Parität von deg 𝔭. Ist der Grad der Stelle ungerade und größer als Eins, so ist unter den berechneten Fällen kein einziger, in dem ein mögliches charakteristisches Polynom nicht auch auftritt. Ein ganz anderes Verhalten zeigen die Fälle mit geradem d. Hier gibt es viele Fälle, in denen ein charakteristisches Polynom, gegeben durch die Werte a und ε_{ϕ}, nicht als charakteristisches Polynom eines Drinfeld-Moduls über 𝔽_{𝔭} vorkommt. Dies lässt sich für bestimmte Situationen mit der folgenden Aussage erklären:

5.2.1 Proposition. Ist char(𝔽_{𝔭}) ≠ 2, deg 𝔭 gerade und P_{ϕ}(X) = X^{2} + aX + ε_{ϕ}𝔭 das charakteristische Polynom von F bzgl. ϕ, dann gilt:

Hat a nicht den maximal möglichen Grad \frac{d}{2}, so folgt, dass

ε_{ϕ} ein Quadrat ist, falls q ≡ 3 (4) gilt, bzw.

5.2. Ergebnisse und Beobachtungen im Fall (a)

ε_{ϕ} kein Quadrat ist, falls q ≡ 1 (4) gilt.

Beweis. Für x ∈ \overline{𝔽}_{q} gilt das Kriterium: x ∈ 𝔽_{q} ^{2} ⇔ x^{\frac{q−1}{2}} = 1.

Es sei ϕ_{T} = γ(T) + g τ + Δ τ^{2} und δ := Δ^{\frac{q^{n}−1}{q^{2}−1}} . Der maximale Koeffizient von a verschwindet nach Voraussetzung. Zusammen mit Proposition 4.2.7 (i) folgt dann

0 = a\frac{n}{2} = − Tr_{𝔽_{q}}^{𝔽_{q^{2}}} ((δ)^{−1})
= −δ^{−1} − δ^{−q}.

Man erhält:

δ^{2} = −δ^{q+1}.  (5.1)

Der Faktor ε_{ϕ} berechnet sich nach Formel (4.8), und es gilt

ε_{ϕ} = (Δ^{\frac{q^{n}−1}{q−1}} )^{−1}
= (δ^{q+1})^{−1}
= ((δ^{2})^{\frac{q+1}{2}} )^{−1} mit (5.1)
= ((−δ^{q+1})^{\frac{q+1}{2}} )^{−1}
= (−1)^{\frac{q+1}{2}} ((δ^{q+1})^{−1})^{\frac{q+1}{2}}
= (−1)^{\frac{q+1}{2}} (ε_{ϕ})^{\frac{q+1}{2}} .

Somit folgt

εϕ^{\frac{q−1}{2}} = (−1)^{\frac{q+1}{2}} = \begin{cases}1 & falls q ≡ 3 (4) \\ −1 & falls q ≡ 1 (4). \end{cases}

D. h. ε_{ϕ} ist \{ \begin{matrix}ein Quadrat, falls q ≡ 3 (4) \\ kein Quadrat, falls q ≡ 1 (4) \end{matrix} ist.

Die vorangegangene Proposition schließt es, im Fall ungerader Charakteristik und d gerade, für \frac{(q−1)}{2} q^{\frac{d}{2}} Polynome von vornherein aus, als charakteristische Polynome in Frage zu kommen. Dies sind aber nicht die einzigen Polynome, deren Häufigkeit gleich Null ist. Auch Frobeniusspuren von maximalem Grad treten zusammen mit bestimmten Faktoren ε_{ϕ} nicht auf (vgl. Tabelle A.1 und A.2). Welche a/ε_{ϕ}-Kombinationen nicht vorkommen, ist hierbei abhängig von 𝔭, so dass kein Kriterium ähnlich zu Proposition 5.2.1 angegeben werden kann.

5.2.2 Verteilungen des Faktors ε_{ϕ}

Zählt man, wie oft ε_{ϕ} einen bestimmten Wert aus 𝔽_{q}^{∗} annimmt, so stellt man fest, dass alle Elemente mit der gleichen Häufigkeit auftreten.

5.2.2 Notation: Mit D(L) sei die Menge aller Rang 2 Drinfeld-Moduln über dem endlichen KörperL bezeichnet.

5.2.3 Proposition. Es gilt:

| \{ϕ ∈ D(L) | ε_{ϕ} = a\} | = \frac{q^{n} (q^{n} − 1)}{q − 1} für alle a ∈ 𝔽_{q}^{∗}.

Beweis. Nach Formel (4.8) ist ε_{ϕ} = (−1)^{n} (Δ^{\frac{q^{n}−1}{q−1}} )^{−1} = (−1)^{n} (Tr_{𝔽_{q}}^{𝔽_{q^{n}}} (Δ))^{−1}. Berechnet man alle Drinfeld-Moduln über L, so nimmt Δ und damit auch ε_{ϕ} jeden Wert aus L^{∗} genau q^{n}-mal an, so dass mit (1.3) die Behauptung folgt.

5.2.3 Verteilungen des Koeffizienten a

Fasst man die Fälle mit gleichem a zusammen, d. h. man zählt das Auftreten einer bestimmten Frobeniusspur, so zeigt sich für Stellen 𝔭 vom Grad kleiner als vier die folgende Verteilung:

5.2.4 Vermutung. Für d=deg 𝔭 kleiner als vier verteilen sich die Häufigkeiten der Frobeniusspuren der q^{d} (q^{d}−1) Drinfeld-Moduln über 𝔽_{𝔭} nach der folgenden Tabelle:

a  deg 𝔭 = 1 deg 𝔭 = 2  deg 𝔭 = 3
a = 0  q − 1  q^{2} − 1 (q^{3} − 1)(q + 1)
a ∈ 𝔽_{q}^{∗}  q − 1 q^{2} − q − 1 q^{4} − (q + 1)^{2}
a ∈ 𝔽_{q}[T]\𝔽_{q}  ¬  q^{2}  q^{4} − q

Im Fall deg 𝔭 = 1 ist a aus 𝔽_{q} gegeben durch a = \frac{g}{Δ}, so dass die angegebene Verteilung direkt folgt.

Ist der Grad von 𝔭 größer, so verteilen sich die a nicht mehr in einer solchen Regelmäßigkeit. Dazu kommt, dass die Verteilung auch nicht mehr unabhängig von 𝔭 ist, wie durch folgendes Beispiel verdeutlicht wird.

5.2.5 Beispiel: Für q =3 ergeben sich die folgenden Häufigkeiten von Elementen a ∈ A mit deg a ≤ ⌊\frac{d}{2}⌋ für die angegebenen 𝔭.

a  𝔭 = T^{4} + 2T^{2} + 2 𝔭 = T^{4} + T^{3} + 2 𝔭 = T^{4} + T^{3} + 2T + 1
0  480  320  320
1  90  80  80
2  90  80  80
T  160  240  90
T + 1  160  240  240
T + 2  160  90  240
2T  160  240  90
2T + 1  160  90  240
2T + 2  160  240  240
T^{2}  250  240  360
T^{2} + 1  250  330  240
T^{2} + 2  250  360  330
T^{2} + T  280  330  360
T^{2} + T + 1  280  360  240
T^{2} + T + 2  280  240  330
T^{2} + 2T  280  240  240
T^{2} + 2T + 1  280  120  120
T^{2} + 2T + 2  280  210  210
2T^{2}  250  240  360
2T^{2} + 1  250  360  330
2T^{2} + 2  250  330  240
2T^{2} + T  280  240  240
2T^{2} + T + 1  280  210  210
2T^{2} + T + 2  280  120  120
2T^{2} + 2T  280  330  360
2T^{2} + 2T + 1  280  240  330
2T^{2} + 2T + 2  280  360  240

Dennoch zeigt auch dieses Beispiel einige Regelmäßigkeiten:

5.2.6 Beobachtung: (i) Das Verhältnis der a mit maximalem Grad zu denen mit kleinerem Grad ist q zu 1, wie schon im Fall, dass deg 𝔭=2 ist.

(ii) Die a’s, die sich nur um einen Faktor aus 𝔽_{q}^{∗} unterscheiden, treten mit derselben Häufigkeit auf.

(iii) Für 𝔭’s, die sich nur in T -Potenzen kleiner als \frac{d}{2} unterscheiden, erhält man die gleichen Häufigkeiten in der gleichen Anzahl auf, nur werden diese auf andere a permutiert.

Dies sind keine Zufälligkeiten, sondern Aussagen, die im Folgenden verallgemeinert werden.

Für einen Erweiterungskörper L von 𝔽_{𝔭} definiert man die folgenden Mengen:

M(L) := \{ϕ_{g,Δ} ∈ D(L) | a_{ϕ_{g,Δ}} ist vom Grad ⌊\frac{n}{2}⌋\} und
N (L) := \{ϕ_{g,Δ} ∈ D(L) | a_{ϕ_{g,Δ}} ist vom Grad kleiner als ⌊\frac{n}{2}⌋\}.

D(L) ist die disjunkte Vereinigung von M(L) und N (L) und es gilt |D| = |M(L)| + |N (L)| = q^{n} (q^{n} − 1).

5.2.7 Vermutung. Es wird vermutet, dass für den Körper L mit q^{n} Elementen und n ungerade gilt:

|\{x ∈ L | Tr_{𝔽_{q}}^{L} (x^{\frac{q^{n}−q}{q2−1} +1}) = 0\}| = q^{n−1}.

Erklärung: Die ist offensichtlich, falls ggT(q^{n} − 1, \frac{q^{n}−q}{q^{2}−1} + 1) = ggT(\frac{n+1}{2}, q − 1) den Wert Eins hat. In den anderen Fällen gilt:

Tr_{𝔽_{q}}^{L} (x^{\frac{q^{n}−q}{q^{2}−1} +1}) = x^{(1+q+q^{3}+···+q^{n−1})} + ⋯ + x^{(1+q+q^{3}+···+q^{n−1})·q^{n−1}}

= x^{1+q+q^{3}+···+q^{n−1}} + x^{q+q^{2}+q^{4}+···+q^{n−1}} + ⋯ + x^{1+q^{2}+···+q^{n−3}+q^{n−2}}.

Dies ist ein Polynom vom Grad q^{n−1} + \frac{q^{n}−q}{q^{2}−1} (vorletzter Summand) mit der minimalen x-Potenz \frac{q^{n}−q}{q^{2}−1} + 1 (erster Summand). Damit folgt, dass es höchstens

(q^{n−1} + \frac{q^{n} − q}{q^{2} − 1} − \frac{q^{n} − q}{q^{2} − 1} + 1) + 1 = q^{n−1}

Nullstellen besitzt. Damit gilt:

|\{x ∈ L | Tr_{𝔽_{q}}^{L} (x^{\frac{q^{n}−q}{q2−1} +1}) = 0\}| ≤ q^{n−1}.  (5.2)

Leider ist es mir nicht mehr gelungen, auch die umgekehrte Richtung zu zeigen. Jedoch wird sie durch alle durchgeführten Berechnungen (|L| < 50000) bestätigt.

5.2.8 Proposition. Die Mengen M(L) und N (L) haben die folgenden Mächtigkeiten: n gerade:

|M(L)| = q · \frac{q^{n} (q^{n} − 1)}{q + 1},
|N (L)| = \frac{q^{n} (q^{n} − 1)}{q + 1}.

n ungerade:

|M(L)| ≥ (q − 1) · q^{n−1} (q^{n} − 1),
|N (L)| ≤ q^{n−1} (q^{n} − 1),

bzw. wenn man 5.2.7 als richtig voraussetzt, oder ggT(\frac{n+1}{2}, q − 1) = 1 ist

|M(L)| = (q − 1) · q^{n−1} (q^{n} − 1),
|N (L)| = q^{n−1} (q^{n} − 1).

Beweis. Ob ϕ_{g,Δ} in M(L) oder N (L) liegt, hängt vom Verhalten des maximalen Koeffizienten ab. Ist er Null liegt ϕ_{g,Δ} in N (L), sonst in M(L). Mittels Proposition 4.2.7 kann man ihn für n gerade und n ungerade unterschiedlich berechnen. n gerade: Für den maximalen Koeffizienten gilt die Gleichung:

a\frac{n}{2} = − Tr_{𝔽_{q}}^{𝔽_{q^{2}}} ((Δ^{\frac{q^{n}−1}{q^{2}−1}} )^{−1}).

Es gilt:

− Tr_{𝔽_{q}}^{𝔽_{q^{2}}} (α) = 0
⟺  α^{q} + α = 0
⟺ α = 0 oder α^{q−1} = −1.

Da Δ ungleich Null ist, folgen die Äquivalenzen

a\frac{n}{2} = 0
⟺ − Tr_{𝔽_{q}}^{𝔽_{q^{2}}} ((Δ^{\frac{q^{n}−1}{q^{2}−1}} )^{−1}) = 0
⟺  ((Δ^{\frac{q^{n}−1}{q^{2}−1}} )^{−1})^{q−1} = −1
⟺  Δ^{\frac{q^{n}−1}{q+1}} = −1.

Sei e ein Erzeuger der multiplikativen Gruppe L^{∗} und Δ = e^{i}, dann gilt

e^{i· \frac{q^{n}−1}{q+1}} = −1 ⟺ \begin{cases}i = \frac{q+1}{2} + z (q + 1), mit z ∈ ℤ & falls 2 ∤ q, \\ i = z (q + 1), mit z ∈ ℤ & falls 2 | q. \end{cases}

Durchläuft Δ alle Elemente von L, dann verschwindet a\frac{n}{2} in beiden Fällen für \frac{q^{n}−1}{q+1} Werte von Δ und ist ungleich Null in den restlichen q · \frac{q^{n}−1}{q+1} Fällen. Multipliziert man dies mit q^{n} für die möglichen Werte von g, so ist die Behauptung für n gerade gezeigt. n ungerade: Für g = 0 folgt aus Lemma 3.3.4, dass a gleich Null ist, so dass diese ϕ in N (L) liegen. Ist g ≠ 0, dann gilt für den Koeffizienten a_{\frac{n−1}{2}} die Gleichung:

a_{\frac{n−1}{2}} = (g^{\frac{q^{n}−1}{q−1}} )^{−1} Tr_{𝔽_{q}}^{L} (j(ϕ)^{\frac{q^{n}−q}{q^{2}−1} +1}).

Wenn Δ alle Elemente von L durchläuft, dann auch j(ϕ), so dass die Behauptung aus Vermutung 5.2.7 folgt, da a_{\frac{n−1}{2}} für alle Drinfeld-Moduln über L in höchstens (genau)

(q^{n} − 1) · (q^{n−1} − 1) + (q^{n} − 1) = q^{n−1}(q^{n} − 1)

Fällen, wie behauptet, verschwindet.

5.2.9 Bemerkung: Für n ungerade ist das Verhältnis der Häufigkeiten von Koeffizienten a mit maximalen Grad zu denjenigen mit kleinerem Grad q−1 zu 1. Dies entspricht genau dem Verhältnis der jeweiligen Anzahl solcher Polynome über L.

Im Fall n gerade, ist das Verhältnis der Häufigkeiten q zu 1, so dass hier die Polynome mit maximal möglichem Grad verglichen mit ihrer Anzahl überrepräsentiert sind.

Es folgt die Verallgemeinerung von Beobachtung 5.2.6 (ii).

5.2.10 Proposition. Sei H_{L}(a) die Häufigkeit, mit der a als Frobeniusspur auftritt, wenn man P_{ϕ}(X) für alle ϕ über L berechnet, dann gilt:

(a′) = (a) ⟹ H_{L}(a′) = H_{L}(a).

D. h. Elemente aus 𝔽_{q}[T], die sich nur um einen Faktor aus 𝔽_{q}^{∗} unterscheiden, kommen mit der gleichen Häufigkeit vor.

Beweis. Man definiert die Menge der Drinfeld-Modul mit gleicher j-Invariante

J_{k}(L) := { ϕ ∈ D(L) | j(ϕ) = k }.

Ein Drinfeld-Modul werde durch ein Paar (g, Δ) dargestellt, dann gilt:

J_{k}(L) = \begin{cases}\{ (x, x^{q+1} k^{−1}) | x ∈ L^{∗} \} & falls k ≠ 0 \\ \{ (0, x) | x ∈ L^{∗} \} & falls k = 0 \end{cases}

Die Menge aller Drinfeld-Moduln über L ist die disjunkte Vereinigung der Mengen J_{k}(L), und für alle k ∈ L gilt |J_{k}(L)| = q^{n} − 1.

Nach Proposition 4.2.11 gilt für jede der Mengen J_{k}(L) mit k ≠ 0, dass sich die Frobeniusspuren der Elemente einer solchen Menge nur um einen Faktor aus 𝔽_{q}^{∗} unterscheiden. Sei a^{(0)} := a_{ϕ_{1, \frac{1}{k}}}, dann ist

a_{ϕ_{x, \frac{x^{q+1}}{k}}} = (N_{𝔽_{q}}^{L} (x))^{−1} · a^{(0)} für alle x ∈ L^{∗}.

Da x alle Werte aus L^{∗} durchläuft, folgt aus den Eigenschaften der Norm (vgl. (1.3)), dass (N_{𝔽_{q}}^{L} (x))^{−1} jeden Wert aus 𝔽_{q}^{∗} gleich oft, d. h. (\frac{q^{n}−1}{q−1})-mal, annimmt.

Die Behauptung gilt demnach für jede Menge J_{k}(L) mit k ≠ 0 einzeln, d. h. wenn man sich auf Drinfeld-Moduln dieser Menge beschränkt, dann verteilen sich deren Frobeniusspuren gleichmäßig auf Elemente, die sich nur um einen Faktor aus 𝔽_{q}^{∗} unterscheiden. Man muss dies also nur noch für J_{0}(L) zeigen.

Falls n ungerade ist, folgt aus Lemma 3.3.4, dass a immer gleich Null ist und damit gilt die Proposition.

Ist n gerade, so zerlegt man J_{0}(L) disjunkt in die folgenden Mengen:

J_{0,l}(L) := \{ (0, x) | x = e^{l+i (q+1)}, i = 1, …, \frac{q^{n} − 1}{q + 1} \}, für l = 0, …, q,

wobei e ein Erzeuger der multiplikativen Gruppe L^{∗} ist. Es gilt:

J_{0}(L) = ⋃_{l=0}^{q} J_{0,l}(L).

Ganz analog zu den Mengen J_{k}(L) mit k ≠ 0 folgt für jede der Mengen J_{0,l}(L) aus Proposition 4.2.11, dass deren Elemente jeweils bis auf einen Faktor aus 𝔽_{q}^{∗} die gleiche Frobeniusspur besitzen. Die Faktoren, die hier auftreten sind:

(N_{𝔽_{q}}^{L} (e^{i}))^{−1} = (N_{𝔽_{q}}^{L} (e^{−1}))^{i} für i = 1, …, \frac{q^{n} − 1}{q + 1}.

Die Norm bildet den Erzeuger e^{−1} auf einen Erzeuger von 𝔽_{q}^{∗} ab, so dass auch hier gilt: jeder der q−1 Faktoren aus 𝔽_{q}^{∗} tritt gleich oft auf, d. h. (\frac{q^{n}−1}{q^{2}−1})-mal.

Somit verteilen sich auch die a_{ϕ} für ϕ aus J_{0}(L) gleichmäßig, so dass die Behauptung gezeigt ist.

Auch Beobachtung 5.2.6 (iii) hat zeigt einen allgemeingültigen Charakter, was an dieser Stelle jedoch nicht bewiesen wird.

5.2.4 Verteilungen für alle 𝔭 eines festen Grades

Im nächsten Schritt werden die Häufigkeiten der Frobeniusspuren aller Drinfeld-Moduln über 𝔽_{𝔭} berechnet und dies für alle Primstellen 𝔭 eines bestimmten Grades aufsummiert. Es werden sowohl die absolute Anzahl, als auch die der Isogenieklassen von Drinfeld-Moduln mit dieser Frobeniusspur gezählt. Dies ist äquivalent, falls der untersuchte Grad ungerade ist. Falls er gerade ist, haben die Klassen, die aus Drinfeld-Moduln mit g = 0 bestehen, eine geringere Gewichtung, so dass zusätzlich auch die Verteilung dieser Klassen gesondert untersucht wird. Die Spalten zwei, drei und vier in den Tabellen A.3 bis A.6 zeigen Beispiele dieser Verteilungen.

Das Verhältnis von Werten a mit maximal möglichem Grad ⌊\frac{d}{2}⌋ zu solchen mit kleinerem Grad, wird in Proposition 5.2.8 für ein einzelnes 𝔭 beschrieben und ist unter Annahme von Vermutung 5.2.7:

q : 1  falls d gerade ist, und
(q − 1) : 1  falls d ungerade ist.

Diese Eigenschaft bleibt beim Aufsummieren über alle 𝔭 des gleichen Grades erhalten. Die Anzahl der Polynome über 𝔽_{q} eines bestimmten Grades zu denen mit kleinerem Grad ist immer (q − 1) : 1. Wenn im Folgenden also von „Gleichverteilung“ gesprochen wird, ist dies im Fall d gerade bzgl. der Gewichtung mit dem Faktor \frac{q}{q−1} zu verstehen ist. D. h.: Hat ein a vom Grad kleiner als ⌊\frac{d}{2}⌋ die Häufigkeit H(a), dann sollte bei „gleicher“ Verteilung ein a′ vom Grad gleich ⌊\frac{d}{2}⌋ die Häufigkeit H(a′) = \frac{q}{q−1} H(a) besitzen, um diese prinzipielle Asymmetrie auszugleichen. Ist d ungerade, so ist dies nicht nötig, da dann Anzahl und Auftreten der Fälle „a hat Grad kleiner als ⌊\frac{d}{2}⌋“ und „a hat Grad gleich ⌊\frac{d}{2}⌋“ übereinstimmen, und damit eine echte Gleichverteilung möglich ist.

Sei π_{q}(d) die Anzahl der Primstellen vom Grad d in A und

H(a, q, d) := | ⋃_{\begin{matrix}𝔭∈S(K) \\ deg 𝔭=d \end{matrix}}\{ ϕ ∈ D(L) | a_{ϕ} = a\} |,

die Häufigkeit von a, dann läge eine Gleichverteilung in dem obigen Sinne vor, wenn folgende Gleichheit

H(a, q, d) = _{gl}H(a, q, d) := \begin{cases}π_{q}(d) · \frac{q^{n−1}(q^{n}−1)}{q^{⌊ \frac{d}{2} ⌋}} & falls d ungerade \\ \begin{cases}π_{q}(d) · \frac{q^{n+1}(q^{n}−1)}{q^{⌊ \frac{d}{2} ⌋}(q^{2}−1)} & deg a < ⌊\frac{d}{2}⌋ \\ π_{q}(d) · \frac{q^{n}(q^{n}−1)}{q^{⌊ \frac{d}{2} ⌋}(q+1)} & deg a = ⌊\frac{d}{2}⌋ \end{cases} & falls d gerade, \end{cases}

für alle a ∈ A mit deg a ≤ ⌊\frac{d}{2}⌋ erfüllt wäre.

Die Terme in q von_{gl}H erhält man durch Teilen der Häufigkeiten, wie sie aufgrund von Proposition 5.2.8 gegeben sind, durch die jeweilige Anzahl der Polynome aus A.

Anhand der berechneten Fälle kann man die folgende Beobachtung machen:

5.2.11 Beobachtung: Die a sind nicht gleichverteilt. Stattdessen gibt es eine begrenzte Anzahl von Häufungspunkten. Dieses Verhalten hängt nicht von d ab, d. h. für wachsendes d ändert sich die Qualität der Verteilung nicht. Lässt man dagegen q größer werden, dann liegen die Häufungswerte immer näher beieinander, so dass sich die Verteilung für wachsendes q an _{gl}H annähert.

Für q = 2 zum Beispiel tritt anstelle der Gleichverteilung _{gl}H(a, 2, d) eine Verteilung mit Häufungswerten \frac{4}{9} ·_{gl}H(a, 2, d), \frac{8}{9} ·_{gl}H(a, 2, d) und \frac{16}{9} ·_{gl}H(a, 2, d) auf. Die folgende Tabelle zeigt anhand verschiedener Werte von q für ungerades d die durchschnittliche, minimale und maximale Häufigkeit. Der Quotient von minimalem und maximalem Wert liegt immer näher bei Eins, so dass sich vermuten lässt, dass sich für größere q eine annähernde Gleichverteilung einstellt.

q = 2  q = 3  q = 4  q = 5  q = 7
Grad  13  9  5  5  5
Durchschnitt 330261160 348124528 3339072 48734400 2766939840
Minimum  142719984 2838931680 3040356 46200836 2699883900
Maximum  652609734 5198409840 4382532 60430656 3218685120
Min/Max  0,218  0,546  0,693  0,765  0,839

Ein weiteres Phänomen wird in der nächsten Tabelle gezeigt.

q = 2 alle 𝔭 vom Grad 10 bis Grad 14

a d = 10 d = 11 d = 12 d = 13 d = 14
T^{3}  962302 10456076 25342590 286652236 697140338
T^{3} + 1  1040732 11520516 27966120 312077100 767620004
T^{3} + T  1893232 21141416 50936340 569962544 1420209504
T^{3} + T + 1  478082 5371328 13033020 144964318 361125008
T^{3} + T^{2}  1893232 21141416 50936340 569962544 1420209504
T^{3} + T^{2} + 1  478082 5371328 13033020 144964318 361125008
T^{3} + T^{2} + T  1040732 11520516 27966120 312077100 767620004
T^{3} + T^{2} + T + 1 962302 10456076 25342590 286652236 697140338

Die Werte der Tabelle legen die Existenz eines Proportionalitätsfaktors C(a) für a nahe, d. h. eines Faktors für den gilt H(a, q, d) = C(a)·_{gl}H(a, q, d), der unabhängig ist vom Grad d. Darüber hinaus scheint in diesen Faktor C(a) einzig und allein das Nullstellenverhalten des Polynoms a einzufließen.

5.2.12 Vermutung. Für a ∈ A gibt es eine Konstante C(a), so dass gilt:

H(a, q, d) ≈ C(a) ·_{gl}H(a, q, d) für alle d ≥ ⌊\frac{deg a}{2}⌋.

Diese Konstante hängt nur von der Anzahl der Nullstellen von a über 𝔽_{q} ab.

Sei mit

N_{𝔽_{q}} (a) := |{x ∈ 𝔽_{q} | a(x) = 0}|

die Anzahl der Nullstellen des Polynoms a über 𝔽_{q} bezeichnet. Der Wert von C(a) verhält sich dann annähernd linear in N_{𝔽_{q}(a)} , falls q ≠ 2 ist. Für q = 2 zeigen die Daten ein Verhältnis von 4 : 2 : 1 der Häufigkeiten, je nachdem, ob das betreffende a zwei, eine oder keine Nullstelle in 𝔽_{2} besitzt.

Durch die folgende Definition von C̃(a) erhält man einen Wert, der die berechneten Werte mit einer bemerkenswerten Genauigkeit annähert (siehe Tabelle A.7).

5.2.13 Definition. Eine Konstante C(a), wie sie in Vermutung 5.2.12 auftritt, wird in den untersuchten Fällen durch

C̃(a) := \begin{cases}\frac{(q−1)^{2}+q+ \frac{q}{q−1} N_{𝔽q} (a)}{(q−1)^{2}+q+ \frac{q}{q−1}} & falls q ≠ 2 \\ \frac{q^{2}q^{N_{𝔽q} (a)}}{(q+1)^{2}} & falls q = 2 \end{cases}

approximiert.

Während kleine Veränderungen an den Parametern der Konstanten C̃(a) diese noch etwas verbessern könnten, sprechen viele Argumente dafür, dass die prinzipielle Struktur von C(a) in C̃(a) erfasst wird. Denn die besondere Art, in der das Nullstellenverhalten von a Einfluss auf C̃(a) hat, erklärt alle der auftretenden Phänomene des Datenmaterials. Besonders augenfällig ist die folgende Beobachtung:

5.2.14 Beobachtung: Sei q ≠ 2. Bildet man die Mengen

[a]_{abs} := {x ∈ A | deg(a − x) < 1}

der Elemente, die sich nur im Absolutglied unterscheiden, und summiert innerhalb dieser Gruppen die Häufigkeiten auf, so erhält man für jene Summen eine Gleichverteilung (siehe Spalten fünf und sechs in den Tabellen A.3 bis A.5).

Erklärung: Innerhalb dieser Gruppen addiert sich die Anzahl der Nullstellen über 𝔽_{q} auf genau q, so dass unter der Annahme der Vermutung 5.2.12 und Defintion 5.2.13 gilt:

H([a]_{abs}, q, d) := ∑_{a∈[A]_{abs}} H(a, q, d)

= ∑_{a∈[A]_{abs}} C̃(a) ·_{gl}H(a, q, d)

= ( ∑_{a∈[A]_{abs}} \frac{(q − 1)^{2} + q + \frac{q}{q−1}N_{𝔽_{q}} (a)}{(q − 1)^{2} + q + \frac{q}{q−1}} ) ·_{gl}H(a, q, d)

= q ·_{gl}H(a, q, d).

Da die Gruppen q Elemente enthalten, ergibt sich hieraus die auftretende Gleichverteilung.

5.2.15 Beobachtung: Für den Ausnahmefall „q = 2“ erhält man eine solche Gleichverteilung erst nach Gruppierung in Polynome, die sich bis zum linearen Term unterscheiden. Erklärung: Auch dieses Verhalten lässt sich aus der Struktur von C̃(a) ableiten. Jede dieser Gruppen enthält ein Element mit zwei Nullstellen, zwei Elemente mit einer und ein Element mit keiner Nullstelle, so dass sich die unterschiedlichen Verteilungen innerhalb jeder Gruppe herausmitteln.

Weitere Anhaltspunkte über die Natur einer solchen Konstanten sind die folgenden Auffälligkeiten.

5.2.16 Beobachtung: Alle linearen Polynome haben die gleiche Häufigkeit. Polynome aus A, die keine Nullstelle in 𝔽_{q} besitzen, wie z. B. die Konstanten ungleich Null, kommen mit der minimalen Häufigkeit vor, während für a = 0 das Maximum angenommen wird.

Verteilung der Drinfeld-Moduln mit g = 0

Ist d ungerade, so ist es interessant, die Verteilung der Drinfeld-Moduln mit g = 0 zu kennen, da deren Isomorphieklassen kleiner sind, und deshalb einen geringeren Beitrag zu der absoluten Anzahl von Drinfeld-Moduln leisten. Somit ist das Zählen, wie häufig ein a als die Frobeniusspur einer Isomorphieklasse auftritt, nicht äquivalent zum Zählen, wie oft dieses a als Spur der einzelnen Drinfeld-Moduln selbst auftritt. Diesbezüglich lässt sich Folgendes beobachten:

5.2.17 Beobachtung: Die Klassen, bestehend aus Drinfeld-Modul mit g = 0, verteilen sich auf alle der möglichen a, und zeigen eine umgekehrt proportionale Häufigkeit zu der Gesammtzahl der Klassen mit der jeweiligen Frobeniusspur, falls a ≠ 2. Auch für q = 2 zeigt sich eine ähnlich ausgeglichene Verteilung auf alle a, allerdings lässt sich das antiproportionale Verhältnis zur Zahl aller Klassen nicht durchgängig beobachten.

Es machen sich also keine Häufungen in speziellen a bemerkbar, so dass eine Unterscheidung der Zählweisen unnötig scheint, da beide fast identische Verteilungen liefern.

Alle der aufgeführten Beobachtungen wurden anhand des kompletten Datenmaterials aller berechneten Fälle (siehe Tabelle 5.1) gemacht und verifiziert. Diese Daten, sowie die Berechnungen in den anderen Fällen, werden unter der Internetadresse

http://www.math.uni-sb.de/∼ag-gekeler/fjung/index.html

zur vollständigen Einsicht zur Verfügung gestellt.

5.3. Der Fall (b)

5.3 Der Fall (b)

Berechnet werden die charakteristischen Polynome aller Drinfeld-Moduln vom Rang 2 über dem endlichen Körper L = 𝔽_{𝔭^{m}}. Die Stelle 𝔭 wird fest gewählt, während m wächst. Es zeigt sich jedoch, dass die Komplexität schon für ein 𝔭 vom Grad kleiner gleich zwei mit größer werdendem m zu stark ansteigt, so dass eine umfangreichere Untersuchung nicht möglich ist (vgl. auch Abschnitt 5.6). Die durchgeführten Berechnungen haben also einen eher zufälligen Charakter.

Um die charakteristischen Polynome im Fall (b) zu berechnen, wird derselbe Algorithmus wie in (a) verwendet, d. h. es wird ein Repräsentantensystem der Isomorphieklassen von Drinfeld-Moduln über L durchlaufen, und für jeden Vertreter das charakteristische Polynom mittels Formel (4.8) und Lösen des Gleichungssystems (4.7) ermittelt.

Die wesentlichen Aussagen wurden auch für diese Situation schon im vorherigen Abschnitt gezeigt. So gilt Proposition 5.2.1 genauso, wenn man 𝔽_{𝔭} durch L und d durch n ersetzt und Proposition 5.2.8 und Proposition 5.2.10 wurden direkt in dieser Allgemeinheit formuliert.

Tabelle B.1 zeigt ein Beispiel für eine Verteilung der Frobeniusspuren für q = 3 𝔭 = T + 2 für gerades und ungerades m. Es werden nur normierte a angeführt, da sich die Häufigkeiten der anderen mit Proposition 5.2.10 ergeben. Es zeigen sich Muster, die sehr stark von denen abweichen, die man in Fall (a) beobachten kann. Aufgrund der geringen Aussagekraft, der wenigen berechneten Fälle, wird auf diesen Fall von Verteilung nicht weiter eingegangen.

5.4 Umfang und Durchführung der Berechnungen im Fall (c)

5.4.1 Übersicht

Wir betrachten einen fest gewählten globalen Drinfeld-Modul ϕ über 𝔽_{q}(T). Dieser wird an den Stellen 𝔭 ∈ S_{ϕ}(K) reduziert und das charakteristische Polynom des Frobenius von L = 𝔽_{q}[T]/𝔭 berechnet. Dies wird für alle 𝔭 bis zu einem bestimmten Grad durchgeführt. Die folgende Tabelle zeigt eine Auflistung der willkürlich gewählten Fälle und gibt an, bis zu welchem Grad gerechnet wurde.

Tabelle 5.6: Übersicht der Berechnungen im Fall (c)

q Bezeichnung ϕ ϕ ϕ  Bis zum Grad
2  ϕ^{(21)}  ϕ_{T} = T + τ + T τ^{2}  24
ϕ^{(22)}  ϕ_{T} = T + τ + T^{2} τ^{2}  24
ϕ^{(23)}  ϕ_{T} = T + τ + T^{3} τ^{2}  25
ϕ^{(24)}  ϕ_{T} = T + (T^{2} + T + 1) τ + τ^{2} 25
ϕ^{(25)}  ϕ_{T} = T + τ + (T + 1) τ^{2}  25
ϕ^{(26)}  ϕ_{T} = T + τ + (T^{2} + 1) τ^{2}  25
ϕ^{(27)}  ϕ_{T} = T + τ + (T^{3} + 1) τ^{2}  25
ϕ^{(28)}  ϕ_{T} = T + τ + (T^{2} + T) τ^{2}  24
ϕ^{(29)}  ϕ_{T} = T + τ + (T^{3} + T + 1) τ^{2} 25
3  ϕ^{(31)}  ϕ_{T} = T + τ + T τ^{2}  16
ϕ^{(32)}  ϕ_{T} = T + τ + T^{2} τ^{2}  16
ϕ^{(33)}  ϕ_{T} = T + τ + (T^{2} + 1) τ^{2}  16
ϕ^{(34)}  ϕ_{T} = T + τ + (T^{2} + 2) τ^{2}  16
5  ϕ^{(51)}  ϕ_{T} = T + τ + T τ^{2}  9
ϕ^{(52)}  ϕ_{T} = T + τ + (T^{2} + 2) τ^{2}  9

5.4.2 Der Algorithmus

Um das charakteristische Polynom zu bestimmen, wird (wie in den vorangegangenen Fällen) der Faktor ε_{ϕ} ∈ 𝔽_{q}^{∗} nach der Formel aus Proposition 4.2.5 berechnet. Der Koeffizient a wird aber nicht über das Gleichungssystem wie in (a) oder (b), sondern nach Lemma 4.2.9 mittels der Hasse-Invarianten bestimmt. Die Abbildung γ ist in dieser Situation die Reduktion modulo 𝔭, und Korollar 4.2.10 liefert, wenn man die Elemente aus L in Form von Polynomen über 𝔽_{q}[T] modulo 𝔭 darstellt, die Gleichheit

a = −ε_{ϕ} H(ϕ).

5.4. Umfang und Durchführung der Berechnungen im Fall (c)

Es genügt demnach, zusätzlich zu ε_{ϕ} noch

H(red_{𝔭} ∘ ϕ) = red_{𝔭}(H(ϕ)) = red_{𝔭}(k_{𝔭,d}^{ϕ}),

d. h. den d-ten Koeffizienten von (red_{𝔭} ∘ ϕ)(𝔭) bzw. von red_{𝔭}(ϕ_{𝔭}) zu berechnen, um das charakteristische Polynom zu bestimmen. Anstatt ϕ_{𝔭} auszuwerten, und anschließend den mittleren Koeffizienten modulo 𝔭 zu reduzieren, ist es effizienter, mittels der Rekursionsformel aus Lemma 3.2.2 den d-ten Koeffizienten zu bestimmen. Diese lässt sich außerden so zu modifizieren, dass in jedem Schritt modulo 𝔭 reduziert werden kann. Die neue Rekursionsformel hat die folgende Gestalt:

5.4.1 Algorithmus.

begin h_{𝔭,0} := red_{𝔭}( 1 ); h_{𝔭,1} := red_{𝔭}( −\frac{g}{T^{q}−T} ); for i := 2 to d − 1 do

h_{𝔭,i} := red_{𝔭}( −\frac{h_{𝔭,i−1}g^{q^{i−1}}+h_{𝔭,i−2}Δ^{q^{i−2}}}{T^{q^{i}}−T} ); od

h_{𝔭,d} := red_{𝔭}( −\frac{h_{𝔭,d−1}g^{q^{d−1}}+h_{𝔭,d−2}Δ^{q^{d−2}}}{(T^{q^{d}}−T)/𝔭} ); end

5.4.1 Lemma. Es gilt:

red_{𝔭}(k_{𝔭,d}^{ϕ}) = h_{𝔭,d}.

Beweis. Für die Koeffizienten h_{𝔭,i} mit 0 ≤ i ≤ d − 1 gilt:

h_{𝔭,i} ≡ \frac{k_{𝔭,i}^{ϕ}}{𝔭} (𝔭^{2}).

Dies folgt, da aus der ursprünglichen Rekursion der Faktor 𝔭 und alle Terme, von denen man weiß, dass sie kongruent Null modulo 𝔭^{2} sind, weggelassen wurden. Das Teilen durch 𝔭 wird für h_{𝔭,d} wieder rückgängig gemacht, indem der Faktor 𝔭 aus dem Nenner entfernt wird. Damit folgt die Behauptung.

Dies ist eine sehr effizient berechenbare Rekursionsformel für die Hasse-Invariante des reduzierten Drinfeld-Moduls und damit der wesentliche Teil für einen Algorithmus, um die Spur des Frobeniuselements von L zu bestimmen.

5.5 Ergebnisse und Beobachtungen im Fall (c)

In diesen Abschnitt wird untersucht, wie sich ein globaler Drinfeld-Modul

ϕ : 𝔽_{q}[T] ⟶ 𝔽_{q}(T){τ}

lokal, d. h. nach Reduktion an den Stellen 𝔭 mit guter Reduktion verhält. Das Interesse dabei gilt dem charakteristischen Polynom des Frobenius F von 𝔽_{𝔭} bzgl. des endlichen Drinfeld-Moduls

red_{𝔭} ∘ ϕ : 𝔽_{q}[T] ⟶ 𝔽_{𝔭}{τ}.

Dieses wird für alle 𝔭 ∈ S_{ϕ}(K) eines bestimmten Grades berechnet und die Verteilung der auftretenden Frobeniusspuren a_{red_{𝔭} ∘ ϕ} mit den Ergebnissen aus Abschnitt 5.2 verglichen. Tabelle 5.6 zeigt die zufällig gewählten Beispiele, für die dieses Verfahren durchgeführt wurde.

Im Fall (a) tragen sehr viele Drinfeld-Moduln zur Verteilung bei, so dass spezielle Eigenschaften einzelner beim Betrachten der Gesamtheit aller Drinfeld-Moduln geringen Einfluss auf das Ergebnis haben. In Fall (c) dagegen ist die Wahl des Drinfeld-Moduls ϕ von entscheidender Bedeutung, so dass in Abhängigkeit von ϕ ein sehr unterschiedliches Verhalten zu erwarten ist. Aus diesem Grund sind anhand der wenigen Fälle keine allgemeingültigen Schlüsse geraten, vielmehr geben sie stichprobenartige Eindrücke der Situation wieder. Theoretische Aussagen zu dieser Problemstellung gibt es über die Häufigkeiten von Primstellen mit supersingulärer Reduktion in [Dav95] und [Dav96], wo das asymptotische Verhalten der Funktion

π_{ϕ}(x) := |{𝔭 ∈ S_{ϕ}(K) | a_{red_{𝔭} ∘ ϕ} = 0}|

untersucht wird. Fragestellungen bzgl. des charakteristischen Polynoms in Fall (c) und damit allgemeinerer Frobeniusspuren als nur Null werden in Abschnitt fünf und sechs von [HY00] behandelt. So beschreibt Theorem 5.2 und Example 2 die Verteilung der Faktoren ε_{red_{𝔭} ∘ ϕ} in Abhängigkeit von Δ. Mit Theorem 6.1 werden Aussagen über die Menge der Stellen 𝔭, für die a_{red_{𝔭} ∘ ϕ} den Grad \frac{deg 𝔭}{2} hat, gemacht. Darauf die im Folgenden näher eingegangen.

5.5.1 Verteilung der Grade für alle 𝔭 eines festen Grades

Es werden nun die Beobachtungen erläutert, die beim Auswerten der Daten gemacht wurden. Dazu definiert man zunächst

M_{ϕ}(d) := \{𝔭 ∈ S_{ϕ}(K) | deg 𝔭 = d, deg a_{red_{𝔭} ∘ ϕ} = ⌊\frac{d}{2}⌋\} und
N_{ϕ}(d) := \{𝔭 ∈ S_{ϕ}(K) | deg 𝔭 = d, deg a_{red_{𝔭} ∘ ϕ} < ⌊\frac{d}{2}⌋\}.

5.5. Ergebnisse und Beobachtungen im Fall (c)

Als erstes wird das Verhältnis von |M_{ϕ}(d)| und |N_{ϕ}(d)| untersucht. Das oben erwähnte Theorem 6.1 aus [HY00] lässt sich hierfür im Fall „d gerade“ anwenden. Demnach ist die Dirichlet-Dichte der Menge der Stellen, für die a_{red_{𝔭} ∘ ϕ} den maximal möglichen Grad besitzt, abhängig von der unter L-Isomorphie invarianten natürlichen Zahl s, die definiert ist, als die kleinste Zahl, für die gilt:

Δ^{s} ∈ (L^{∗})^{q^{2}−1}.

Für q = 2 folgt z. B.:

Liegt Δ in (L^{∗})^{3}, dann ist a_{red_{𝔭} ∘ ϕ} < \frac{deg 𝔭}{2} für alle 𝔭 mit d ≡ 0 (2). (5.3)

In diesem Fall gibt es keine Stellen 𝔭, für die a_{red_{𝔭} ∘ ϕ} den maximalen Grad annimmt. Ist s = q^{2} − 1, dann folgt:

Der Anteil der Stellen 𝔭 eines festen, geraden Grades mit 𝔭 ∈ M_{ϕ}(d)

ist \frac{q}{q+1} (siehe auch [HY00, Example 4]).

(5.4)

Die folgende Tabelle zeigt die Werte von |M_{ϕ}(d)| und |N_{ϕ}(d)| für alle berechneten ϕ jeweils für ein gerades und ein ungerades d.

Tabelle 5.7:

d gerade  d ungerade
q ϕ ϕ ϕ  d |M_{ϕ}(d)| |N_{ϕ}(d)| d |M_{ϕ}(d)| |N_{ϕ}(d)|
2 ϕ^{(21)} 22 127100 63457 23 182361 182361
ϕ^{(22)} 22 127100 63457 23 182361 182361
ϕ^{(23)} 22 0  190557 23 182361 182361
ϕ^{(24)} 22 0  190557 23 364722 0
ϕ^{(25)} 22 127100 63457 23 182361 182361
ϕ^{(26)} 22 127100 63457 23 182361 182361
ϕ^{(27)} 22 127038 63519 23 182361 182361
ϕ^{(28)} 22 127038 63519 23 182364 182358
ϕ^{(29)} 22 127038 63519 23 182584 182138
3 ϕ^{(31)} 14 256074 85410 15 637728 318848
ϕ^{(32)} 14 170664 170820 15 637728 318848
ϕ^{(33)} 14 256152 85332 15 637536 319040
ϕ^{(34)} 14 256152 85332 15 637920 318656
5 ϕ^{(51)} 8 40612  8138  9 173600 43400
ϕ^{(52)} 8 40612  8138  9 173770 43230

5.5.1 Beobachtung: (i) Das Verhalten im geraden Fall wird vollständig durch [HY00, Theorem 6.1] erklärt. Auf ϕ^{(23)} und ϕ^{(24)} lässt sich (5.3) anwenden, woraus die Werte Null in der vierten Spalte folgen.

Für alle anderen ϕ bis auf ϕ^{(32)} ist die Zahl s gleich q^{2} − 1, d. h. Δ liegt erst durch Potenzieren mit q^{2} − 1 in (L^{∗})^{q^{2}−1}, so dass (5.4) zum Tragen kommt. In diesen Fällen folgt für |M_{ϕ}(d)| und |N_{ϕ}(d)| stets ein Verhältnis von q: 1 für gerades d.

Für ϕ^{(32)} gilt s = \frac{q^{2}−1}{2}, so dass auch hier das abweichende Verhalten durch Theorem 6.1 begründet wird.

(ii) Ist d ungerade, dann gilt für alle ϕ bis auf ϕ^{(23)}, dass |M_{ϕ}(d)| und |N_{ϕ}(d)| im Verhältnis (q−1) : 1 zueinander auftreten.

(iii) Die beobachteten Beziehungen sind unabhängig von d.

5.5.2 Vermutung. Ist q^{2} − 1 die kleinste natürliche Zahl, so dass gilt Δ^{q^{2}−1} ∈ (L^{∗})^{q^{2}−1}, dann ist das Verhältnis |M_{ϕ}(d)| zu |N_{ϕ}(d)|

q: 1  wenn d gerade ist, und
(q−1) : 1  wenn d ungerade ist.

Dies würde bedeuten, dass Drinfeld-Moduln mit solchem Δ in ihrem lokalen Verhalten eine analoge Verteilung, bzgl. Unterscheidung nach Frobeniusspur mit maximalem Grad und solche mit kleinerem Grad, besäßen, wie sie schon für Fall (a) ausgeführt wurde.

5.5.2 Verteilungen der a für alle 𝔭 eines festen Grades

Es folgt die Untersuchung der Vorkommen einzelner Werte von a als Koeffizient a_{red_{𝔭} ∘ ϕ}, wieder für alle 𝔭 ∈ S_{ϕ}(K) eines festen Grades d. Die Tabellen C.1 und C.2 zeigen für den Drinfeld-Modul ϕ^{(29)} und ϕ^{(33)}, wie sich alle Stellen des Grades 24 und 25 bzw. 14 und 15 auf die möglichen Polynome vom Grad kleiner gleich ⌊\frac{d}{2}⌋ verteilen. Da die Anzahl dieser Polynome sehr groß ist, werden sie in Gruppen solcher Polynome zusammengefasst, die sich nur bis T^{7} bzw. T^{4} unterscheiden. An einigen Stellen werden diese Tabellen „auseinandergezogen“, um einen Blick auf die Häufigkeiten einzelner bzw. feiner gruppierter a zu ermöglichen.

5.5.3 Beobachtung: Erfüllt ϕ die Bedingungen wie in Vermutung 5.5.2, dann zeigt sich ein zu Fall (a) analoges Verhalten, d. h.:

(i) Nach Zusammenfassen in Gruppen, die sich nur im Absolutglied (bis zum linearen Term für q = 2) unterscheiden, erhält man eine annähernde Gleichverteilung (mit der üblichen Gewichtung der a mit deg a = ⌊\frac{d}{2}⌋, mit dem Faktor \frac{q}{q+1}, falls d gerade ist, siehe Seite 88), mit einer stetig kleiner werdenden Standardabweichung. Während diese für ϕ^{(29)} und d = 22 (23) bei etwa 8 (5) Prozent liegt, beträgt sie für d = 24 (25) nur noch 5 (4) Prozent.

(ii) Die Häufigkeit eines bestimmten a scheint auch in diesem Fall durch einen Proportionalitätsfaktor, der das Verhältnis zur Gleichverteilung beschreibt und unabhängig von d ist, gegeben zu sein.

(iii) Darüber hinaus unterliegt dieser Proportionalitätsfaktor ähnlichen Gesetzmäßigkeiten wie die in 5.2.12 für den Fall (a) vermutete Konstante C(a), d. h. der Faktor ist abhängig vom Nullstellenverhalten von a.

Die Stringenz dieser Beobachtungen ist bei weitem nicht so hoch wie in Fall (a), wo das Verhältnis der Ereignisse zu den möglichen Werten, d. h. die Anzahl der betrachteten endlichen Drinfeld-Moduln zu den möglichen Spuren mit dem ungefähren Wert \frac{q^{3d}}{d q^{⌊ \frac{d}{2} ⌋+1}} sehr groß ist. Damit sind die Verteilungen sehr stabil. Im

Fall (c) beträgt dieses Verhältnis der Anzahl der Stellen vom Grad d zu den möglichen Frobeniusspuren ca. \frac{q^{d}}{d q^{⌊ \frac{d}{2} ⌋+1}} , so dass man noch größere Grade, als die hier berechneten, betrachten müsste, um ausagekräftigere Ergebnisse zu erhalten. Jedoch zeigen alle untersuchten Fälle mit s = q^{2} − 1 die Tendenz zu einem analogen Verhalten wie es in Fall (a) sehr eindeutig festgestellt werden kann. Dies hätte dann auch in diesem Fall die Existenz einer Konstanten D(a) zur Folge, für die gilt:

H′(a, ϕ, q, d) = D(a) ·_{gl}H′(a, ϕ, q, d),

mit

H′(a, ϕ, q, d) := |{𝔭 ∈ S_{ϕ}(K) | deg 𝔭 = d, a_{red_{𝔭} ∘ ϕ} = a}|,

sowie der „Gleichverteilung“

glH′(a, ϕ, q, d) := \begin{cases}\frac{π_{q}(d)}{q^{⌊ \frac{d}{2} ⌋+1}} & falls d ungerade \\ \begin{cases}\frac{q·π_{q}(d)}{(q^{2}−1) q^{⌊ \frac{d}{2} ⌋}} & falls deg a = ⌊\frac{d}{2}⌋ \\ \frac{π_{q}(d)}{(q+1) q^{⌊ \frac{d}{2} ⌋}} & falls deg a < ⌊\frac{d}{2}⌋ \end{cases} & falls d gerade, \end{cases}

und D(a) hängt nur von der Anzahl der Nullstellen von a ab.

Auch die Drinfeld-Moduln ϕ^{(23)}, ϕ^{(24)} und ϕ^{(32)}, die bzgl. des Verhältnises von |M_{ϕ}(d)| und |N_{ϕ}(d)| ein abweichendes Verhalten besitzen, zeigen für die a, die als Werte vorkommen, ein sehr regelmäßiges Verhalten. Interessant ist hier das Verhalten von ϕ^{(23)} (siehe Tabelle C.3 und C.4), da hier zum ersten Mal die Abhängigkeit von d über die Parität hinaus geht, wie man für d = 22 und d = 24 sieht. So treten einmal nur a mit 0 ≤ deg a ≤ ⌊\frac{d}{2}⌋ − 1 auf, während für d = 24 nur solche mit ⌊\frac{d}{2}⌋ − 1 ≤ deg a ≤ ⌊\frac{d}{2}⌋ vorkommen. Auch für ungerade d zeigen sich an diesen Fall Besonderheiten, die man nur an diesem Beispiel findet. Weder für ϕ^{(24)} noch für ϕ^{(32)} lässt sich ein solches Verhalten beobachten.

Wie schon in Fall (a) gilt, dass alle der angeführten Beobachtungen anhand des kompletten Datenmaterials verifiziert wurden. Auch diese Daten stehen unter der Internetadresse

http://www.math.uni-sb.de/∼ag-gekeler/fjung/index.html

zur Verfügung.

5.6. Implementierung

5.6 Implementierung

Alle Berechnungen wurden mit Hilfe des Computeralgebrasystems Simath durchgeführt. Simath erweitert die Programmiersprache C um Datentypen und Funktionen für den Umgang mit Objekten der algebraischen Zahlentheorie. So werden Hilfsmittel zum Rechnen in endlichen Körpern, zur Konstruktion von Körpererweiterungen, Datentypen für Polynome usw. zur Verfügung gestellt. Für genauere Informationen über Simath und dessen Anwendungsgebiete sei auf die Homepage des Simath-Projekts verwiesen:

http://diana.math.uni-sb.de/∼simath/index.html

Die Programme liefen auf verschiedenen Rechnern des Fachbereichs Mathematik an der Universität des Saarlandes. Dies sind zum größten Teil 4 × 550 MHz Pentium III Maschinen mit einem Linux Betriebssystem. Dem jeweiligen Prozessen standen zumeist 99 Prozent der Rechenleistung einer CPU zu Verfügung. Die Berechnungen wurden über das letzte Jahr verteilt durchgeführt. Die Quelldateien umfassen ca. 3000 Zeilen Code, und werden nach Rücksprache gerne zur Einsicht überlassen.

Grundlegend für alle Algorithmen ist das Rechnen in endlichen Körpern. Die Simath-Darstellung von Elementen eines endlichen Körpers 𝔽_{q}, mit q = p^{l}, geschieht in Form von Polynomen über dem Primkörper 𝔽_{p} des Grades kleiner als l. Betrachtet man eine endliche Erweiterung von 𝔽_{q} (in unserem Fall zum Beispiel den Körper 𝔽_{𝔭}), so gibt es für Elemente dieser Erweiterung zwei mögliche Darstellungen.

(i) Man benutzt die in Simath eingebaute Funktion, die einen Erweiterungskörper konstruiert und die Einbettung von 𝔽_{q} in diesen beschreibt. Die Elemente von 𝔽_{𝔭} sind wieder Polynome über 𝔽_{p}, diesmal vom Grad kleiner als d · l. Hierbei ist die Darstellung eines Elements von 𝔽_{q} nicht identisch mit der Darstellung des gleichen Elements eingebettet in 𝔽_{𝔭}.

(ii) Die zweite Möglichkeit besteht darin, mit Polynomen über 𝔽_{q} modulo dem Primideal 𝔭 zu rechnen. Auf diese Weise haben die Elemente von 𝔽_{𝔭} die Darstellung als Polynome vom Grad kleiner d, deren Koeffizienten Polynome vom Grad kleiner als l über 𝔽_{p} sind. Die Einbettung von 𝔽_{q} in 𝔽_{𝔭} geschieht in Form der konstanten Polynome.

Beide Darstellungen haben jeweils Vor- und Nachteile. Die Berechnung der Erweiterung wie in (i) benötigt je nach Grad erhöhte Rechenzeit. Hat man den Körper aber erst konstruiert, so kann man mit seinen Elementen sehr effizient rechnen und hat alle Simath-Funktionen für deren Manipulation zur Verfügung.

Bei der Methode in (ii) ist das Rechnen mit den Elementen von 𝔽_{𝔭} etwas langsamer, dafür wird aber keine Rechenzeit zur Beschreibung der Erweiterung –speziell der Einbettung von 𝔽_{q} nach 𝔽_{𝔭}– benötigt.

Darin ist begründet, warum in den Fällen (a) und (b) das charakteristische Polynom mittels des Gleichungssystems und in Fall (c) über die Hasse-Invariante bestimmt wird. In (a) und (b) berechnet man P_{ϕ_{g,Δ}}(X) für alle endlichen Drinfeld-Moduln über einem festen Körper 𝔽_{𝔭} bzw. L. Dadurch wird die aufwendige Konstruktion dieses Körpers, wie es (i) beschreibt, durch das effizientere Rechnen mit seinen Elementen kompensiert. Des Weiteren sind die Grade der Erweiterung in beiden Fällen sehr klein.

Im Fall (c) wird für den Körper 𝔽_{𝔭} lediglich ein charakteristisches Polynom berechnet und anschließend zum nächsten 𝔭 übergegangen. Zusätzlich haben die Erweiterungen einen höheren Grad, so dass es effizienter ist, nicht jeden Körper einzeln zu erzeugen, sondern mittels der in (ii) beschriebenen Methode, d. h. modulo dem Primideal 𝔭 über 𝔽_{q} zu rechnen. Allgemein lässt sich festhalten, dass die Berechnung eines einzelnen charakteristischen Polynoms, nur Sekundenbruchteile an Rechenzeit benötigt. Die Komplexität der Aufgabenstellungen besteht in der rasant wachsenden Zahl der Fälle, die ausgewertet werden müssen.

In Fall (a) und Fall (c) läuft man über alle Primpolynome aus 𝔽_{q}[T] bis zu einem bestimmten Grad. Deren Anzahl nimmt, wie die dritte Spalte von Tabelle 5.1 verdeutlicht, exponentiell zu und kann mit \frac{q^{d}}{d} abgeschätzt werden. In (a) werden jeweils ca. q^{d+1} charakteristische Polynome berechnet. Beispielsweise dauert die Auswertung für ein 𝔭 im Fall q = 2 und deg 𝔭 = 15 ungefähr eine Stunde, so dass die Berechnung aller 2182 Stellen des Grades 15 drei Monate Rechenzeit in Anspruch nimmt. Es ist problemlos möglich, für ein ausgewähltes 𝔭 eines höheren Grades die charakteristischen Polynome aller Drinfeld-Moduln über 𝔽_{𝔭} zu berechnen, doch es ist nicht möglich, dies für alle 𝔭 in einer annehmbaren Zeit zu bewältigen. Solche Einzelfälle sind jedoch für die in dieser Arbeit untersuchten Verteilungen uninteressant. Somit stellen die in Tabelle 5.1 aufgeführten Grade, bis zu denen Fall (a) berechnet wurde, die Grenze der Fälle dar, die in angemessener Zeit vollständig ausgewertet werden können.

Im Fall (c) wächst die Komplexität der Berechnungen für ein einzelnes 𝔭 nur unwesentlich mit dem Grad von 𝔭 an. Aus diesem Grund liegt die Grenze des Grades, bis zu dem alle Primstellen von 𝔽_{q}[T] betrachtet werden können, höher.

Fall (b) erfordert die Berechnung einer zweiten Erweiterung L vom Grad m über 𝔽_{𝔭}. Der Körper L besitzt q^{d m} Elemente. Man muss d = deg 𝔭 sehr klein wählen, um die charakteristischen Polynome aller Drinfeld-Moduln über L in vernünftiger Zeit berechnen zu können. Mit m wächst die Mächtigkeit von L sehr stark an, so dass auf umfangreiche Berechnungen in diesem Fall zu Gunsten von (a) und (c) verzichtet wurde.

KAPITEL 5. Verteilungen von charakteristischen Polynomen

104

Anhang A

Tabellen Fall (a)

A.1 Verteilungen für eine feste Stelle 𝔭

Die Tabellen A.1 und A.2 zeigen Beispiele von Verteilungen der charakteristischen Polynome des Frobenius F von L = 𝔽_{𝔭} = 𝔽_{q}[T]/𝔭, für alle Drinfeld-Moduln über L. In der dritten Spalte stehen die Häufigkeiten für ein zufällig gewähltes 𝔭 vom Grad 4, in der vierten Spalte die einer Stelle 𝔭 vom Grad 5. Ein charakteristisches Polynom P_{ϕ}(X) = X^{2}+a X+ε_{ϕ} 𝔭 wird durch a ∈ 𝔽_{q}[T] und ε_{ϕ} ∈ 𝔽_{q}^{∗} repräsentiert.

Tabelle A.1:

q = 3, 𝔭 vom Grad 4 und 5

a  ε_{ϕ} 𝔭 = T^{4} + 2T^{3} + 2 𝔭 = T^{5} + T^{4} + T^{2} + 2T + 2
0  1  320  1331
2  0  2299
1  1  80  968
2  0  484
2  1  80  968
2  0  484
T  1  240  2178
2  0  484
T + 1  1  90  605
2  0  968
T + 2  1  240  484
2  0  1815
2T  1  240  2178
2  0  484
2T + 1  1  240  484

Fortsetzung auf der nächsten Seite ANHANG A. 1

Fortsetzung q = 3, 𝔭 vom Grad 4 und 5

a  ε_{ϕ} 𝔭 = T^{4} + 2T^{3} + 2 𝔭 = T^{5} + T^{4} + T^{2} + 2T + 2
2  0  1815
2T + 2  1  90  605
2  0  968
T^{2}  1  160  2178
2  80  484
T^{2} + 1  1  80  1210
2  250  726
T^{2} + 2  1  120  605
2  240  2420
T^{2} + T  1  0  1331
2  240  968
T^{2} + T + 1  1  40  968
2  80  1331
T^{2} + T + 2  1  50  968
2  160  968
T^{2} + 2T  1  240  968
2  90  605
T^{2} + 2T + 1 1  40  484
2  320  1815
T^{2} + 2T + 2 1  80  1089
2  160  484
2T^{2}  1  160  2178
2  80  484
2T^{2} + 1  1  120  605
2  240  2420
2T^{2} + 2  1  80  1210
2  250  726
2T^{2} + T  1  240  968
2  90  605
2T^{2} + T + 1 1  80  1089
2  160  484
2T^{2} + T + 2 1  40  484
2  320  1815
2T^{2} + 2T  1  0  1331
2  240  968
2T^{2} + 2T + 1 1  50  968
2  160  968
2T^{2} + 2T + 2 1  40  968

Fortsetzung auf der nächsten Seite

A.1. Verteilungen für eine feste Stelle 𝔭

Fortsetzung q = 3, 𝔭 vom Grad 4 und 5

a  ε_{ϕ} 𝔭 = T^{4} + 2T^{3} + 2 𝔭 = T^{5} + T^{4} + T^{2} + 2T + 2
2 80 1331

Tabelle A.2: q = 5, 𝔭 vom Grad 4 und 5

a  ε_{ϕ} T^{4} + 4T 2 + 3T + 1 T^{5} + T^{4} + 2
0  1  0  8591
2  1248  55451
3  1248  55451
4  0  8591
1  1  0  8591
2  1560  12496
3  936  8591
4  0  55451
2  1  0  55451
2  936  8591
3  1560  12496
4  0  8591

...

T  1  0  15620
2  624  23430
3  1248  15620
4  0  19525
T + 1  1  0  15620
2  936  23430
3  2496  15620
4  0  19525
T + 2  1  0  15620
2  1872  23430
3  1560  15620
4  0  19525

...

T^{2}  1  1872  7810
2  1560  31240
3  0  11715
4  0  39050
T^{2} + 1  1  624  17963
2  936  21087
3  0  32802
4  312  10153

Fortsetzung auf der nächsten Seite ANHANG A. 1

Fortsetzung q = 5, 𝔭 vom Grad 4 und 5

a  ε_{ϕ} T^{4} + 4T^{2} + 3T + 1 T^{5} + T^{4} + 2
T^{2} + 2  1  624  24211
2  1872  10934
3  0  18744
4  156  16401

...

T^{2} + 2T + 1 1  624  7810
2  2184  31240
3  0  11715
4  624  39050
T^{2} + 2T + 2 1  2808  17963
2  624  21087
3  0  32802
4  780  10153
T^{2} + 2T + 3 1  1560  24211
2  2184  10934
3  0  18744
4  468  16401

...

4T^{2} + 4T + 2 1  1248  21087
2  2184  21868
3  0  21868
4  780  9372
4T^{2} + 4T + 3 1  624  26554
2  1872  12496
3  0  12496
4  936  22649
4T^{2} + 4T + 4 1  1248  24211
2  650  10934
3  0  18744
4  624  16401

A.2. Verteilungen für alle Stellen eines festen Grades

A.2 Verteilungen für alle Stellen eines festen Grades

Die folgenden Tabellen zeigen die Häufigkeiten der Frobeniusspuren, d. h. des Koeffizienten a von P_{ϕ}(X) = X^{2} + a X + ε_{ϕ} 𝔭, ohne nach ε_{ϕ} zu unterscheiden. Es werden alle Drinfeld-Moduln über 𝔽_{𝔭} gezählt, und dies wird für alle Stellen 𝔭 eines festen Grades aufsummiert. Die zweite Spalte gibt die Anzahl aller Drinfeld-Moduln an, während die vierte Spalte die Anzahl der Isomorphieklassen von Drinfeld-Moduln mit dieser Frobeniusspur enthält. Zusätzlich gibt die dritte Spalte die Häufigkeit der Klassen wieder, die aus Drinfeld-Moduln mit g = 0 (d. h. mit j(ϕ) = 0) bestehen. Die möglichen Werte von a werden so gruppiert, dass die Elemente, die sich nur im Absolutglied (für q = 2) bis zum linearen Term) unterscheiden, zusammengehören. In den Spalten fünf und sechs sind die Werte der Spalten zwei und vier für diese Gruppen aufsummiert. Über diese Summen wird getrennt für die a mit maximalem Grad und jene mit kleinerem Grad der Durchschnitt gebildet und am Ende der Tabellen zusammen mit der Standardabweichung aufgeführt.

Tabelle A.3:

q = 2, alle 𝔭 vom Grad 8

a  Anzahl Kl_{g=0} Klassen ∑ Anzahl ∑ Klassen
0  79050  0  310
1  19550  2  78
T  35360  2  140
T + 1  35360  2  140  169320  668
T^{2}  37060  1  146
T^{2} + 1  37060  1  146
T^{2} + T  74800  1  294
T^{2} + T + 1  19040  5  78  167960  664
T^{3}  34340  2  136
T^{3} + 1  38420  2  152
T^{3} + T  67660  1  266
T^{3} + T + 1  17340  3  70  157760  624
T^{3} + T^{2}  67660  1  266
T^{3} + T^{2} + 1  17340  3  70
T^{3} + T^{2} + T  38420  2  152
T^{3} + T^{2} + T + 1  34340  2  136  157760  624
T^{4}  66980  2  264
T^{4} + 1  66980  2  264

Fortsetzung auf der nächsten Seite ANHANG A. 1

Fortsetzung q = 2, alle 𝔭 vom Grad 8

a  Anzahl Kl_{g=0} Klassen ∑ Anzahl ∑ Klassen
T^{4} + T  157760  2  620
T^{4} + T + 1  36720  6  148  328440  1296
T^{4} + T^{2}  138040  1  542
T^{4} + T^{2} + 1  36720  9  150
T^{4} + T^{2} + T  73440  3  290
T^{4} + T^{2} + T + 1  73440  3  290  321640  1272
T^{4} + T^{3}  141440  2  556
T^{4} + T^{3} + 1  36720  6  148
T^{4} + T^{3} + T  73440  3  290
T^{4} + T^{3} + T + 1  76160  5  302  327760  1296
T^{4} + T^{3} + T^{2}  76160  5  302
T^{4} + T^{3} + T^{2} + 1  73440  3  290
T^{4} + T^{3} + T^{2} + T  141440  2  556
T^{4} + T^{3} + T^{2} + T + 1  36720  6  148  327760  1296
Durchschnitt der a mit Grad kleiner als 4 163200.0  645.0
Standardabweichung 5461.2 21.0
Durchschnitt der a mit Grad gleich 4 326400.0  1290.0
Standardabweichung 2762.2 10.4

Tabelle A.4: q = 2, alle 𝔭 vom Grad 9

a  Anzahl Kl_{g=0} Klassen ∑ Anzahl ∑ Klassen
0  891184  56  1744
1  196224  0  384
T  406756  0  796
T + 1  406756  0  796  1900920  3720
T^{2}  393470  0  770
T^{2} + 1  393470  0  770
T^{2} + T  776720  0  1520
T^{2} + T + 1  214620  0  420  1778280  3480
T^{3}  397558  0  778
T^{3} + 1  425152  0  832
T^{3} + T  797160  0  1560
T^{3} + T + 1  203378  0  398  1823248  3568
T^{3} + T^{2}  797160  0  1560
T^{3} + T^{2} + 1  203378  0  398
T^{3} + T^{2} + T  425152  0  832
T^{3} + T^{2} + T + 1  397558  0  778  1823248  3568

Fortsetzung auf der nächsten Seite

A.2. Verteilungen für alle Stellen eines festen Grades

Fortsetzung q = 2, alle 𝔭 vom Grad 9

a  Anzahl Kl_{g=0} Klassen ∑ Anzahl ∑ Klassen
T^{4}  398580  0  780
T^{4} + 1  398580  0  780
T^{4} + T  874832  0  1712
T^{4} + T + 1  188048  0  368  1860040  3640
T^{4} + T^{2}  793072  0  1552
T^{4} + T^{2} + 1  220752  0  432
T^{4} + T^{2} + T  402668  0  788
T^{4} + T^{2} + T + 1  402668  0  788  1819160  3560
T^{4} + T^{3}  782852  0  1532
T^{4} + T^{3} + 1  202356  0  396
T^{4} + T^{3} + T  402668  0  788
T^{4} + T^{3} + T + 1  435372  0  852  1823248  3568
T^{4} + T^{3} + T^{2}  435372  0  852
T^{4} + T^{3} + T^{2} + 1  402668  0  788
T^{4} + T^{3} + T^{2} + T  782852  0  1532
T^{4} + T^{3} + T^{2} + T + 1  202356  0  396  1823248  3568
Durchschnitt der a mit Grad kleiner als 4 1831424.0  3584.0
Standardabweichung 44123.9 86.3
Durchschnitt der a mit Grad gleich 4 1831424.0  3584.0
Standardabweichung 16605.5 32.5

Tabelle A.5: q = 3, alle 𝔭 vom Grad 6

a  Anzahl Kl_{g=0} Klassen ∑ Anzahl ∑ Klassen
0  853216  0  2344
1  454909  11  1258
2  454909  11  1258  1763034  4860
T  564200  8  1556
T + 1  564200  8  1556
T + 2  564200  8  1556  1692600  4668
2T  564200  8  1556
2T + 1  564200  8  1556
2T + 2  564200  8  1556  1692600  4668
T^{2}  564200  8  1556
T^{2} + 1  459186  14  1272
T^{2} + 2  683683  5  1882  1707069  4710
T^{2} + T  683683  5  1882
T^{2} + T + 1  564200  8  1556

Fortsetzung auf der nächsten Seite ANHANG A. 1

Fortsetzung q = 3, alle 𝔭 vom Grad 6

a  Anzahl Kl_{g=0} Klassen ∑ Anzahl ∑ Klassen
T^{2} + T + 2  459186  14  1272  1707069  4710
T^{2} + 2T  683683  5  1882
T^{2} + 2T + 1  564200  8  1556
T^{2} + 2T + 2  459186  14  1272  1707069  4710
2T^{2}  564200  8  1556
2T^{2} + 1  683683  5  1882
2T^{2} + 2  459186  14  1272  1707069  4710
2T^{2} + T  683683  5  1882
2T^{2} + T + 1  459186  14  1272
2T^{2} + T + 2  564200  8  1556  1707069  4710
2T^{2} + 2T  683683  5  1882
2T^{2} + 2T + 1  459186  14  1272
2T^{2} + 2T + 2  564200  8  1556  1707069  4710
T^{3}  841841  11  2321
T^{3} + 1  841841  11  2321
T^{3} + 2  841841  11  2321  2525523  6963
T^{3} + T  866138  14  2390
T^{3} + T + 1  866138  14  2390
T^{3} + T + 2  866138  14  2390  2598414  7170
T^{3} + 2T  1185639  5  3261
T^{3} + 2T + 1  701883  17  1941
T^{3} + 2T + 2  701883  17  1941  2589405  7143
T^{3} + T^{2}  1006096  8  2770
T^{3} + T^{2} + 1  848666  14  2342
T^{3} + T^{2} + 2  707343  17  1956  2562105  7068
T^{3} + T^{2} + T  1006096  8  2770
T^{3} + T^{2} + T + 1  848666  14  2342
T^{3} + T^{2} + T + 2  707343  17  1956  2562105  7068
T^{3} + T^{2} + 2T  848666  14  2342
T^{3} + T^{2} + 2T + 1  707343  17  1956
T^{3} + T^{2} + 2T + 2  1006096  8  2770  2562105  7068
T^{3} + 2T^{2}  1006096  8  2770
T^{3} + 2T^{2} + 1  707343  17  1956
T^{3} + 2T^{2} + 2  848666  14  2342  2562105  7068
T^{3} + 2T^{2} + T  1006096  8  2770
T^{3} + 2T^{2} + T + 1  707343  17  1956
T^{3} + 2T^{2} + T + 2  848666  14  2342  2562105  7068
T^{3} + 2T^{2} + 2T  848666  14  2342
T^{3} + 2T^{2} + 2T + 1  1006096  8  2770

Fortsetzung auf der nächsten Seite

A.2. Verteilungen für alle Stellen eines festen Grades

Fortsetzung q = 3, alle 𝔭 vom Grad 6

a  Anzahl Kl_{g=0} Klassen ∑ Anzahl ∑ Klassen
T^{3} + 2T^{2} + 2T + 2  707343  17  1956  2562105  7068
2T^{3}  841841  11  2321
2T^{3} + 1  841841  11  2321
2T^{3} + 2  841841  11  2321  2525523  6963
2T^{3} + T  1185639  5  3261
2T^{3} + T + 1  701883  17  1941
2T^{3} + T + 2  701883  17  1941  2589405  7143
2T^{3} + 2T  866138  14  2390
2T^{3} + 2T + 1  866138  14  2390
2T^{3} + 2T + 2  866138  14  2390  2598414  7170
2T^{3} + T^{2}  1006096  8  2770
2T^{3} + T^{2} + 1  848666  14  2342
2T^{3} + T^{2} + 2  707343  17  1956  2562105  7068
2T^{3} + T^{2} + T  848666  14  2342
2T^{3} + T^{2} + T + 1  707343  17  1956
2T^{3} + T^{2} + T + 2  1006096  8  2770  2562105  7068
2T^{3} + T^{2} + 2T  1006096  8  2770
2T^{3} + T^{2} + 2T + 1  848666  14  2342
2T^{3} + T^{2} + 2T + 2  707343  17  1956  2562105  7068
2T^{3} + 2T^{2}  1006096  8  2770
2T^{3} + 2T^{2} + 1  707343  17  1956
2T^{3} + 2T^{2} + 2  848666  14  2342  2562105  7068
2T^{3} + 2T^{2} + T  848666  14  2342
2T^{3} + 2T^{2} + T + 1  1006096  8  2770
2T^{3} + 2T^{2} + T + 2  707343  17  1956  2562105  7068
2T^{3} + 2T^{2} + 2T  1006096  8  2770
2T^{3} + 2T^{2} + 2T + 1  707343  17  1956
2T^{3} + 2T^{2} + 2T + 2  848666  14  2342  2562105  7068
Durchschnitt der a mit Grad kleiner als 3 1710072.0  4717.3
Standardabweichung 19634.5 53.3
Durchschnitt der a mit Grad gleich 3 2565108.0  7076.0
Standardabweichung  19208.5  54.2

ANHANG A. 1

A.2.1 Zusammenfassung nach dem maximalen Koeffizienten

Die Tabelle A.6 ist analog aufgebaut zu den vorherigen beiden, lediglich die Zusammenfassung in Gruppen erfolgt hier für solche a, die sich nur im maximalen Term a_{⌊ \frac{d}{2} ⌋} T^{⌊ \frac{d}{2} ⌋} unterscheiden. Der Durchschnitt über die Werte aus den Spalten fünf und sechs, wird getrennt für die a mit Absolutglied Null und die mit Absolutglied ungleich Null berechnet und am Ende zusammen mit der Standardabweichung angegeben.

Tabelle A.6:

q = 3, alle 𝔭 vom Grad 7

a  Anzahl Kl_{g=0} Klassen ∑ Anzahl ∑ Klassen
0 27281280 624 24960
T^{3} 18113196  0 16572
2T^{3} 18113196 0 16572 63507672 58104
T^{2} 18113196  0 16572
T^{3} + T^{2} 21743049  0 19893
2T^{3} + T^{2} 21743049 0 19893 61599294 56358
2T^{2} 18113196  0 16572
T^{3} + 2T^{2} 21743049  0 19893
2T^{3} + 2T^{2} 21743049 0 19893 61599294 56358
T 18106638  0 16566
T^{3} + T 18355842  0 16794
2T^{3} + T 26028702 0 23814 62491182 57174
T^{2} + T 21746328  0 19896
T^{3} + T^{2} + T 21743049  0 19893
2T^{3} + T^{2} + T 18405027 0 16839 61894404 56628
2T^{2} + T 21746328  0 19896
T^{3} + 2T^{2} + T 21743049  0 19893
2T^{3} + 2T^{2} + T 18405027 0 16839 61894404 56628
2T 18106638  0 16566
T^{3} + 2T 26028702  0 23814
2T^{3} + 2T 18355842 0 16794 62491182 57174
T^{2} + 2T 21746328  0 19896
T^{3} + T^{2} + 2T 18405027  0 16839
2T^{3} + T^{2} + 2T 21743049 0 19893 61894404 56628
2T^{2} + 2T 21746328  0 19896
T^{3} + 2T^{2} + 2T 18405027  0 16839
2T^{3} + 2T^{2} + 2T 21743049 0 19893 61894404 56628
1 15122748  0 13836

Fortsetzung auf der nächsten Seite

A.2. Verteilungen für alle Stellen eines festen Grades

Fortsetzung q = 3, alle 𝔭 vom Grad 7

a  Anzahl Kl_{g=0} Klassen ∑ Anzahl ∑ Klassen
T^{3} + 1 18113196  0 16572
2T^{3} + 1 18113196 0 16572 51349140 46980
T^{2} + 1 15312930  0 14010
T^{3} + T^{2} + 1 18405027  0 16839
2T^{3} + T^{2} + 1 18405027 0 16839 52122984 47688
2T^{2} + 1 21746328  0 19896
T^{3} + 2T^{2} + 1 15132585  0 13845
2T^{3} + 2T^{2} + 1 15132585 0 13845 52011498 47586
T + 1 18106638  0 16566
T^{3} + T + 1 18355842  0 16794
2T^{3} + T + 1 15040773 0 13761 51503253 47121
T^{2} + T + 1 18113196  0 16572
T^{3} + T^{2} + T + 1 18405027  0 16839
2T^{3} + T^{2} + T + 1 15132585 0 13845 51650808 47256
2T^{2} + T + 1 15312930  0 14010
T^{3} + 2T^{2} + T + 1 15132585  0 13845
2T^{3} + 2T^{2} + T + 1 21743049 0 19893 52188564 47748
2T + 1 18106638  0 16566
T^{3} + 2T + 1 15040773  0 13761
2T^{3} + 2T + 1 18355842 0 16794 51503253 47121
T^{2} + 2T + 1 18113196  0 16572
T^{3} + T^{2} + 2T + 1 15132585  0 13845
2T^{3} + T^{2} + 2T + 1 18405027 0 16839 51650808 47256
2T^{2} + 2T + 1 15312930  0 14010
T^{3} + 2T^{2} + 2T + 1 21743049  0 19893
2T^{3} + 2T^{2} + 2T + 1 15132585 0 13845 52188564 47748
2 15122748  0 13836
T^{3} + 2 18113196  0 16572
2T^{3} + 2 18113196 0 16572 51349140 46980
T^{2} + 2 21746328  0 19896
T^{3} + T^{2} + 2 15132585  0 13845
2T^{3} + T^{2} + 2 15132585 0 13845 52011498 47586
2T^{2} + 2 15312930  0 14010
T^{3} + 2T^{2} + 2 18405027  0 16839
2T^{3} + 2T^{2} + 2 18405027 0 16839 52122984 47688
T + 2 18106638  0 16566
T^{3} + T + 2 18355842  0 16794
2T^{3} + T + 2 15040773 0 13761 51503253 47121
T^{2} + T + 2 15312930  0 14010

Fortsetzung auf der nächsten Seite ANHANG A. 1

Fortsetzung q = 3, alle 𝔭 vom Grad 7

a  Anzahl Kl_{g=0} Klassen ∑ Anzahl ∑ Klassen
T^{3} + T^{2} + T + 2 15132585  0 13845
2T^{3} + T^{2} + T + 2 21743049 0 19893 52188564 47748
2T^{2} + T + 2 18113196  0 16572
T^{3} + 2T^{2} + T + 2 18405027  0 16839
2T^{3} + 2T^{2} + T + 2 15132585 0 13845 51650808 47256
2T + 2 18106638  0 16566
T^{3} + 2T + 2 15040773  0 13761
2T^{3} + 2T + 2 18355842 0 16794 51503253 47121
T^{2} + 2T + 2 15312930  0 14010
T^{3} + T^{2} + 2T + 2 21743049  0 19893
2T^{3} + T^{2} + 2T + 2 15132585 0 13845 52188564 47748
2T^{2} + 2T + 2 18113196  0 16572
T^{3} + 2T^{2} + 2T + 2 15132585  0 13845
2T^{3} + 2T^{2} + 2T + 2 18405027 0 16839 51650808 47256
Durchschnitt der a mit Absolutglied Null 62140693.3  56853.3
Standardabweichung 571856.2 523.2
Durchschnitt der a mit Grad gleich 3 51796541.3  47389.3
Standardabweichung 311771.9 285.2

Tabelle A.7: Vergleich von H(a, q, d) und C̃(a) ·_{gl}H(a, q, d)

a  H(a, q, d) C̃(a) ·_{gl}H(a, q, d)
q = 3, d = 7
0  27281280  24914228
1  15122748  15165182
2  15122748  15165182
T  18106638  18414864
T + 1  18106638  18414864
T + 2  18106638  18414864
2T  18106638  18414864
2T + 1  18106638  18414864
2T + 2  18106638  18414864
T^{2}  18113196  18414864
T^{2} + 1  15312930  15165182
T^{2} + 2  21746328  21664546
T^{2} + T  21746328  21664546
T^{2} + T + 1  18113196  18414864
T^{2} + T + 2  15312930  15165182
T^{2} + 2T  21746328  21664546

Fortsetzung auf der nächsten Seite

A.2. Verteilungen für alle Stellen eines festen Grades

Fortsetzung

a  H(a, q, d) C̃(a) ·_{gl}H(a, q, d)
T^{2} + 2T + 1  18113196  18414864
T^{2} + 2T + 2  15312930  15165182
T^{3}  18113196  18414864
T^{3} + 1  18113196  18414864
T^{3} + 2  18113196  18414864
T^{3} + T  18355842  18414864
T^{3} + T + 1  18355842  18414864
T^{3} + T + 2  18355842  18414864
T^{3} + 2T  26028702  24914228
T^{3} + 2T + 1  15040773  15165182
T^{3} + 2T + 2  15040773  15165182
T^{3} + T^{2}  21743049  21664546
T^{3} + T^{2} + 1  18405027  18414864
T^{3} + T^{2} + 2  15132585  15165182
T^{3} + T^{2} + T  21743049  21664546
T^{3} + T^{2} + T + 1  18405027  18414864
T^{3} + T^{2} + T + 2  15132585  15165182
T^{3} + T^{2} + 2T  18405027  18414864
T^{3} + T^{2} + 2T + 1  15132585  15165182
T^{3} + T^{2} + 2T + 2  21743049  21664546

q = 7, d = 5

0 3218685120  3205473701
1 2699883900  2693850863
2 2699883900  2693850863
3 2699883900  2693850863
4 2699883900  2693850863
5 2699883900  2693850863
6 2699883900  2693850863
T 2765763420  2766939840
T + 1 2765763420  2766939840
T + 2 2765763420  2766939840
T + 3 2765763420  2766939840
T + 4 2765763420  2766939840
T + 5 2765763420  2766939840
T + 6 2765763420  2766939840
T^{2} 2765763420  2766939840
T^{2} + 1 2701060320  2693850863
T^{2} + 2 2701060320  2693850863
T^{2} + 3 2833211500  2840028817
T^{2} + 4 2701060320  2693850863
T^{2} + 5 2833211500  2840028817

Fortsetzung auf der nächsten Seite ANHANG A. 1

Fortsetzung

a  H(a, q, d) C̃(a) ·_{gl}H(a, q, d)
T^{2} + 6 2833211500  2840028817
T^{2} + T 2833211500  2840028817
T^{2} + T + 1 2833211500  2840028817
T^{2} + T + 2 2765763420  2766939840
T^{2} + T + 3 2701060320  2693850863
T^{2} + T + 4 2701060320  2693850863
T^{2} + T + 5 2833211500  2840028817
T^{2} + T + 6 2701060320  2693850863
T^{2} + 2T 2833211500  2840028817

Anhang B Tabellen Fall (b)

Tabelle B.1: q = 3, 𝔭 = T + 2

a Anzahl über 𝔽_{𝔭^{6}} Anzahl über 𝔽_{𝔭^{7}}
0  182  2186
1  11648  61208
2  11648  61208
T  4368  114765
T + 1  4368  114765
T + 2  0  0
T^{2}  4368  91812
T^{2} + 1  10920  68859
T^{2} + 2  0  0
T^{2} + T  6552  91812
T^{2} + T + 1  0  0
T^{2} + T + 2  8736  91812
T^{2} + 2T  0  0
T^{2} + 2T + 1  4368  91812
T^{2} + 2T + 2  10920  68859
T^{3}  8736  91812
T^{3} + 1  8736  91812
T^{3} + 2  273  0
T^{3} + T  10920  68859
T^{3} + T + 1  0  0
T^{3} + T + 2  10920  68859
T^{3} + 2T  0  0
T^{3} + 2T + 1  4368  91812

Fortsetzung auf der nächsten Seite

ANHANG B. 1

Fortsetzung q = 3, 𝔭 = T + 2

a Anzahl über 𝔽_{𝔭^{6}} Anzahl über 𝔽_{𝔭^{7}}
T^{3} + 2T + 2  4368  91812
T^{3} + T^{2}  17472  114765
T^{3} + T^{2} + 1  0  0
T^{3} + T^{2} + 2  10920  68859
T^{3} + T^{2} + T  0  0
T^{3} + T^{2} + T + 1  15288  91812
T^{3} + T^{2} + T + 2  6552  91812
T^{3} + T^{2} + 2T  14196  114765
T^{3} + T^{2} + 2T + 1  10920  62301
T^{3} + T^{2} + 2T + 2  0  0
T^{3} + 2T^{2}  0  0
T^{3} + 2T^{2} + 1  10920  62301
T^{3} + 2T^{2} + 2  14196  114765
T^{3} + 2T^{2} + T  17472  114765
T^{3} + 2T^{2} + T + 1  10920  68859
T^{3} + 2T^{2} + T + 2  0  0
T^{3} + 2T^{2} + 2T  15288  91812
T^{3} + 2T^{2} + 2T + 1  0  0
T^{3} + 2T^{2} + 2T + 2  6552  91812

Anhang C

Tabellen Fall (c)

C.1 Verteilungen für alle Stellen eines festen Grades

Die folgenden Tabellen zeigen das Auftreten der Frobeniusspuren beim Reduzieren eines Drinfeld-Moduls ϕ : 𝔽_{q}[T] → 𝔽_{q}(T){τ} für alle Stellen 𝔭 ∈ S_{ϕ}(𝔽_{q}(T)) eines festen Grades d. Es wird sowohl ein Fall mit d gerade als auch ein Fall mit d ungerade betrachtet. Es erfolgt eine Zusammenfassung der a in Gleichheit bis auf Terme eines gewissen Grades.

Tabelle C.1: Verteilung für ϕ^{(29)}

q = 2, alle 𝔭 vom Grad 24 und vom Grad 25 für ϕ^{(29)}

a Anzahl Grad 24 Anzahl Grad 25
O(7)  14506  41909
T^{8} + O(7)  14331  42023
T^{9} + O(7)  14433  42068
T^{9} + T^{8} + O(7)  14654  42619
T^{10} + O(7)  14581  42034
T^{10} + T^{8} + O(7)  14466  41962
T^{10} + T^{9} + O(7)  14690  41826
T^{10} + T^{9} + T^{8} + O(7)  14609  41736

...

Ausschnitt ohne Zusammenfassung

T^{8}  42  136
T^{8} + 1  47  131
T^{8} + T  83  318
T^{8} + T + 1  24  94
T^{8} + T^{2}  108  318
T^{8} + T^{2} + 1  19  80

ANHANG C. 1

Fortsetzung auf der nächsten Seite Fortsetzung q = 2, alle 𝔭 vom Grad 22 und vom Grad 23 für ϕ^{(29)}

a Anzahl Grad 24 Anzahl Grad 25
T^{8} + T^{2} + T  55  149
T^{8} + T^{2} + T + 1  56  149
T^{8} + T^{3}  90  297
T^{8} + T^{3} + 1  26  79
T^{8} + T^{3} + T  51  166
T^{8} + T^{3} + T + 1  42  133
T^{8} + T^{3} + T^{2}  52  140
T^{8} + T^{3} + T^{2} + 1  49  152
T^{8} + T^{3} + T^{2} + T  83  271
T^{8} + T^{3} + T^{2} + T + 1  28  62
T^{8} + T^{4}  105  263
T^{8} + T^{4} + 1  32  78
T^{8} + T^{4} + T  48  149
T^{8} + T^{4} + T + 1  35  149
T^{8} + T^{4} + T^{2}  54  156
T^{8} + T^{4} + T^{2} + 1  50  140
T^{8} + T^{4} + T^{2} + T  114  299
T^{8} + T^{4} + T^{2} + T + 1  36  76
T^{8} + T^{4} + T^{3}  61  168
T^{8} + T^{4} + T^{3} + 1  51  134
T^{8} + T^{4} + T^{3} + T  87  271
T^{8} + T^{4} + T^{3} + T + 1  29  74
T^{8} + T^{4} + T^{3} + T^{2}  93  303
T^{8} + T^{4} + T^{3} + T^{2} + 1  21  64
T^{8} + T^{4} + T^{3} + T^{2} + T  54  121
T^{8} + T^{4} + T^{3} + T^{2} + T + 1  46  184

Ende des Ausschnitts ohne Zusammenfassung

...

T^{11} + O(7)  14641  41887
T^{11} + T^{8} + O(7)  14640  42019
T^{11} + T^{9} + O(7)  14484  41849
T^{11} + T^{9} + T^{8} + O(7)  14401  41692
T^{11} + T^{10} + O(7)  14584  41831
T^{11} + T^{10} + T^{8} + O(7)  14547  41566
T^{11} + T^{10} + T^{9} + O(7)  14752  42260
T^{11} + T^{10} + T^{9} + T^{8} + O(7)  14519  41705
T^{12} + O(7)  29217  41563
T^{12} + T^{8} + O(7)  28908  41716
T^{12} + T^{9} + O(7)  29031  42264
T^{12} + T^{9} + T^{8} + O(7)  28962  42068

...

Fortsetzung auf der nächsten Seite

C.1. Verteilungen für alle Stellen eines festen Grades

Fortsetzung q = 2, alle 𝔭 vom Grad 22 und vom Grad 23 für ϕ^{(29)}

a Anzahl Grad 24 Anzahl Grad 25

Ausschnitt Zusammenfassung bis zum linearen Term

T^{12} + T^{9} + T^{8} + O(1)  424  675
T^{12} + T^{9} + T^{8} + T^{2} + O(1)  456  668
T^{12} + T^{9} + T^{8} + T^{3} + O(1)  433  659
T^{12} + T^{9} + T^{8} + T^{3} + T^{2} + O(1)  473  697
T^{12} + T^{9} + T^{8} + T^{4} + O(1)  465  664
T^{12} + T^{9} + T^{8} + T^{4} + T^{2} + O(1)  417  716
T^{12} + T^{9} + T^{8} + T^{4} + T^{3} + O(1)  440  620
T^{12} + T^{9} + T^{8} + T^{4} + T^{3} + T^{2} + O(1)  417  662
T^{12} + T^{9} + T^{8} + T^{5} + O(1)  460  729
T^{12} + T^{9} + T^{8} + T^{5} + T^{2} + O(1)  444  696
T^{12} + T^{9} + T^{8} + T^{5} + T^{3} + O(1)  502  707
T^{12} + T^{9} + T^{8} + T^{5} + T^{3} + T^{2} + O(1)  477  643
T^{12} + T^{9} + T^{8} + T^{5} + T^{4} + O(1)  458  641
T^{12} + T^{9} + T^{8} + T^{5} + T^{4} + T^{2} + O(1)  448  649
T^{12} + T^{9} + T^{8} + T^{5} + T^{4} + T^{3} + O(1)  467  671
T^{12} + T^{9} + T^{8} + T^{5} + T^{4} + T^{3} + T^{2} + O(1)  451  629

Ende des Ausschnitts Zusammenfassung bis zum linearen Term

...

T^{12} + T^{10} + O(7)  28988  42147
T^{12} + T^{10} + T^{8} + O(7)  29090  41732
T^{12} + T^{10} + T^{9} + O(7)  29233  41896
T^{12} + T^{10} + T^{9} + T^{8} + O(7)  29350  42117
T^{12} + T^{11} + O(7)  29285  41790
T^{12} + T^{11} + T^{8} + O(7)  29384  42187
T^{12} + T^{11} + T^{9} + O(7)  29133  41955
T^{12} + T^{11} + T^{9} + T^{8} + O(7)  29105  42084
T^{12} + T^{11} + T^{10} + O(7)  28996  41875
T^{12} + T^{11} + T^{10} + T^{8} + O(7)  29347  41934
T^{12} + T^{11} + T^{10} + T^{9} + O(7)  29254  42245
T^{12} + T^{11} + T^{10} + T^{9} + T^{8} + O(7)  28749  41617
Durchschnitt für Grad kleiner als 12  14552.4  41936.6
Standardabweichung  109.3  242.0
Durchschnitt für Grad gleich 12  29127.0  41949.4
Standardabweichung  175.0  214.7

Tabelle C.2: Verteilung für ϕ^{(33)}

q = 3, alle 𝔭 vom Grad 14 und vom Grad 15 für ϕ^{(33)}

a Anzahl Grad 14 Anzahl Grad 15
O(4)  9477  35598
T^{5} + O(4)  9457  35358
2T^{5} + O(4)  9536  35189
T^{6} + O(4)  9565  35929
T^{6} + T^{5} + O(4)  9540  35252

...

Ausschnitt ohne Zusammenfassung

T^{6} + T^{5}  39  180
T^{6} + T^{5} + 1  42  134
T^{6} + T^{5} + 2  36  126
T^{6} + T^{5} + T  56  174
T^{6} + T^{5} + T + 1  37  132
T^{6} + T^{5} + T + 2  40  123
T^{6} + T^{5} + 2T  26  118
T^{6} + T^{5} + 2T + 1  33  115
T^{6} + T^{5} + 2T + 2  44  164
T^{6} + T^{5} + T^{2}  47  173
T^{6} + T^{5} + T^{2} + 1  28  119
T^{6} + T^{5} + T^{2} + 2  34  157
T^{6} + T^{5} + T^{2} + T  38  184
T^{6} + T^{5} + T^{2} + T + 1  26  127
T^{6} + T^{5} + T^{2} + T + 2  48  146
T^{6} + T^{5} + T^{2} + 2T  27  148
T^{6} + T^{5} + T^{2} + 2T + 1  47  160
T^{6} + T^{5} + T^{2} + 2T + 2  30  132
T^{6} + T^{5} + 2T^{2}  32  131
T^{6} + T^{5} + 2T^{2} + 1  45  161
T^{6} + T^{5} + 2T^{2} + 2  46  156
T^{6} + T^{5} + 2T^{2} + T  35  166
T^{6} + T^{5} + 2T^{2} + T + 1  45  122
T^{6} + T^{5} + 2T^{2} + T + 2  39  146
T^{6} + T^{5} + 2T^{2} + 2T  66  185
T^{6} + T^{5} + 2T^{2} + 2T + 1  37  121
T^{6} + T^{5} + 2T^{2} + 2T + 2  31  125
T^{6} + T^{5} + T^{3}  54  168
T^{6} + T^{5} + T^{3} + 1  37  145
T^{6} + T^{5} + T^{3} + 2  33  122

Ende des Ausschnitts ohne Zusammenfassung

...

Fortsetzung auf der nächsten Seite

C.1. Verteilungen für alle Stellen eines festen Grades

Fortsetzung q = 3, alle 𝔭 vom Grad 14 und vom Grad 15 für ϕ^{(33)}

a Anzahl Grad 14 Anzahl Grad 15
T^{6} + 2T^{5} + O(4)  9279  35294
2T^{6} + O(4)  9541  35585
2T^{6} + T^{5} + O(4)  9525  35502
2T^{6} + 2T^{5} + O(4)  9412  35333
T^{7} + O(4)  14139  35482
T^{7} + T^{5} + O(4)  14055  35178
T^{7} + 2T^{5} + O(4)  14309  35573
T^{7} + T^{6} + O(4)  14319  35102
T^{7} + T^{6} + T^{5} + O(4)  14324  35599
T^{7} + T^{6} + 2T^{5} + O(4)  14289  35697
T^{7} + 2T^{6} + O(4)  14060  35406
T^{7} + 2T^{6} + T^{5} + O(4)  14213  35206
T^{7} + 2T^{6} + 2T^{5} + O(4)  14342  35531
2T^{7} + O(4)  14198  35354
2T^{7} + T^{5} + O(4)  14297  35397

...

Ausschnitt Zusammenfassung bis Absolutglied

T^{6} + T^{5} + O(0)  117  440
T^{6} + T^{5} + T + O(0)  133  429
T^{6} + T^{5} + 2T + O(0)  103  397
T^{6} + T^{5} + T^{2} + O(0)  109  449
T^{6} + T^{5} + T^{2} + T + O(0)  112  457
T^{6} + T^{5} + T^{2} + 2T + O(0)  104  440
T^{6} + T^{5} + 2T^{2} + O(0)  123  448
T^{6} + T^{5} + 2T^{2} + T + O(0)  119  434
T^{6} + T^{5} + 2T^{2} + 2T + O(0)  134  431

Ende Ausschnitt Zusammenfassung bis Absolutglied

...

2T^{7} + 2T^{5} + O(4)  14200  35097
2T^{7} + T^{6} + O(4)  14149  35660
2T^{7} + T^{6} + T^{5} + O(4)  14026  35454
2T^{7} + T^{6} + 2T^{5} + O(4)  14099  35491
2T^{7} + 2T^{6} + O(4)  14515  35370
2T^{7} + 2T^{6} + T^{5} + O(4)  14265  35537
2T^{7} + 2T^{6} + 2T^{5} + O(4)  14353  35402
Durchschnitt für Grad kleiner als 7  9481.3  35448.9
Standardabweichung  85.1  217.6
Durchschnitt für Grad gleich 7  14230.7  35418.7
Standardabweichung  123.9  173.8

ANHANG C. 1

Die beiden folgenden Tabellen zeigen die Verteilung für den Drinfeld-Modul ϕ^{(23)} für die Grade 20 bis 23.

Tabelle C.3: Verteilung für ϕ^{(32)}

q = 2, alle 𝔭 vom Grad 20 und vom Grad 21 für ϕ^{(23)}

a Anzahl Grad 20  Anzahl Grad 21
O(6)  9945  0
T^{7} + O(6)  16320  0
T^{8} + O(6)  13056  0
T^{8} + T^{7} + O(6)  13056  0
T^{9} + O(6)  0  0
T^{9} + T^{7} + O(6)  0  0
T^{9} + T^{8} + O(6)  0  0
T^{9} + T^{8} + T^{7} + O(6)  0  0
T^{10} + O(6)  0  12463
T^{10} + T^{7} + O(6)  0  12453
T^{10} + T^{8} + O(6)  0  12463
T^{10} + T^{8} + T^{7} + O(6)  0  12453
T^{10} + T^{9} + O(6)  0  12598
T^{10} + T^{9} + T^{7} + O(6)  0  12464
T^{10} + T^{9} + T^{8} + O(6)  0  12554
T^{10} + T^{9} + T^{8} + T^{7} + O(6)  0  12410

Tabelle C.4: Verteilung für ϕ^{(32)}

q = 2, alle 𝔭 vom Grad 22 und vom Grad 23 für ϕ^{(23)}

a Anzahl Grad 22  Anzahl Grad 23
O(6)  0  0
T^{7} + O(6)  0  0
T^{8} + O(6)  0  0
T^{8} + T^{7} + O(6)  0  0
T^{9} + O(6)  0  0
T^{9} + T^{7} + O(6)  0  0
T^{9} + T^{8} + O(6)  0  0
T^{9} + T^{8} + T^{7} + O(6)  0  0
T^{10} + O(6)  23808  0
T^{10} + T^{7} + O(6)  23808  0
T^{10} + T^{8} + O(6)  23808  0
T^{10} + T^{8} + T^{7} + O(6)  23808  0
T^{10} + T^{9} + O(6)  23773  0
T^{10} + T^{9} + T^{7} + O(6)  23744  0
T^{10} + T^{9} + T^{8} + O(6)  24096  0

Fortsetzung auf der nächsten Seite

C.1. Verteilungen für alle Stellen eines festen Grades

Fortsetzung q = 2, alle 𝔭 vom Grad 22 und vom Grad 23 für ϕ^{(23)}

a Anzahl Grad 22  Anzahl Grad 23
T^{10} + T^{9} + T^{8} + T^{7} + O(6)  23712  0
T^{11} + O(6)  0  23018
T^{11} + T^{7} + O(6)  0  22822
T^{11} + T^{8} + O(6)  0  22778
T^{11} + T^{8} + T^{7} + O(6)  0  22678
T^{11} + T^{9} + O(6)  0  22742
T^{11} + T^{9} + T^{7} + O(6)  0  22682
T^{11} + T^{9} + T^{8} + O(6)  0  22886
T^{11} + T^{9} + T^{8} + T^{7} + O(6)  0  22755
T^{11} + T^{10} + O(6)  0  22742
T^{11} + T^{10} + T^{7} + O(6)  0  22682
T^{11} + T^{10} + T^{8} + O(6)  0  22886
T^{11} + T^{10} + T^{8} + T^{7} + O(6)  0  22755
T^{11} + T^{10} + T^{9} + O(6)  0  22778
T^{11} + T^{10} + T^{9} + T^{7} + O(6)  0  22678
T^{11} + T^{10} + T^{9} + T^{8} + O(6)  0  23018
T^{11} + T^{10} + T^{9} + T^{8} + T^{7} + O(6)  0  22822

ANHANG C. 1

128

Literaturverzeichnis

[Bir68] Birch, B. J.: How the number of points of an elliptic curve over a fixed prime field varies. In: J. London Math. Soc. (1968), Nr. 43, S. 50–67

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[Dav96] David, Chantal: Average Distribution of Supersingular Drinfeld Modules. In: J. Number Theory (1996), Nr. 56, S. 366–380

[DH87] Deligne, P. ; Husemöller, D.: Survey of Drinfeld modules. In: Contemp. Math. (1987), Nr. 67, S. 25–91

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[Gek83] Gekeler, E.-U.: Zur Arithmetik von Drinfeld-Moduln. In: Math. Ann. (1983), Nr. 262, S. 167–182

[Gek91] Gekeler, E.-U.: On finite Drinfeld modules. In: J. Algebra 141 (1991), S. 187–203

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Index

A, 15 A-Charakteristik, 28 A-Körper, 28 Algebra

zentral einfache, 35 zentral-einfache, 35

aϕ(L′), 31

Bewertung äquivalente, 15 Betrags-, 14 diskrete, 14, 21 Fortsetzung einer, 16 normierte, 14 triviale, 15

Bewertungsring, 14

Carlitz-Modul, 30, 43 char_{A}(L), 28 Charakteristik

endliche, 28 generische, 28

D(f), 27 deg_{τ}(P), 26 Drinfeldmodul, 29

einfach, 35 End_{L}(𝔾_{a}(L)), 23 Endomorphismus, 33 End_{L}(ϕ), 34 End(ϕ), 35 ε_{ϕ}, 61, 64

Fall (a), 75 Fall (b), 75 Fall (c), 75 Frobenius, 36 Funktionenkörper

algebraischer, 13 rationaler, 13, 20–22

γ, 28 Grad

einer Stelle, 14

in τ, 26 in A, 16

Höhe, 31 Hasse-Invariante, 52, 70 Hom_{L}(ϕ, ψ), 33 ht(ϕ), 31

Isogenie, 34 Isomorphieklassen, 45–49 Isomorphismus, 33

j-Invariante, 44, 72 j(ϕ), 44

Koeffizient

maximaler, 66 Koeffizienten

ganze, 40 Kommutatorregel, 24, 26

L{τ}, 26 L{τ_{p}}, 24

Minimalpolynom, 56 Moore-Determinante, 25 Morphismus, 33 M_{ϕ}(X), 56

N, 56

\underline{INDEX}

Norm, 17 über endlichen Körpern, 17 reduzierte, 36, 56

νϕ, 38

ϕ, 29 ϕ^{(c)}, 71 Polynom

absolut additives, 22, 23 additives, 22 charakteristisches, 56

Polynomring

getwisteter, 24 Potenzrestsymbol, 63 P_{ϕ}(X), 56, 61 Produktformel, 15

Quotientendivisionsring, 27

Rang, 29 rg(ϕ), 29 redN, 36, 56 redTr, 36 Reduktion

gute, 40

potentiell gute, 41 potentiell stabile, 41 stabile, 40

Rekursionsformel, 49 Repräsentantensystem, 45, 78 Restklassengrad, 16 Restklassenkörper, 14 Reziprozitätsgesetz, 64

Signum-Funktion, 63 sgn, 63 S(K), 14 S_{ϕ}(K), 40 Spur, 17

über endlichen Körpern, 17 reduzierte, 36

Standardsituation, 29 Stelle, 14, 15, 20 supersingulär, 69 supesingulär, 53

Tate-Modul, 38

τ, 36 τ_{p}, 23 Teilungspunkt, 31 T_{ν}(ϕ), 38, 39 Torsionspunkt, 31 Trägheitsindex, 16

Uniformisierende, 14

Vervollständigung, 19, 22 Verzweigungsindex, 16

Zentrum, 35 Zentr(M), 35